نظرية منصف الزاوية بلغة بسيطة

في الهندسة، تُعنى نظرية منصف الزاوية (Angle bisector theorem) بالأطوال النسبية للقطعين اللذين يقسم ضلع المثلث إليهما بخط يقسم الزاوية المقابلة إلى نصف. إنها تساوي أطوالها النسبية مع الأطوال النسبية للجانبين الآخرين من المثلث.

نظرية منصف الزاوية

اعتبر المثلث ABC. دع منصف للزاوية A يتقاطع مع الجانب BC عند النقطة D بين B و C. تنص نظرية منصف الزاوية على أن نسبة طول قطعة الخط BD إلى طول القطعة CD تساوي نسبة طول الضلع AB على طول الضلع AC:

${\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},$

وعلى العكس من ذلك، إذا كانت النقطة D على الضلع BC من المثلث ABC تقسم BC بنفس نسبة الضلع AB و AC، فإن AD هو منصف الزاوية للزاوية ∠A.

تنص نظرية منصف الزاوية المعمم على أنه إذا كانت D تقع على الخط BC، إذن:

${\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}.$

هذا يقلل إلى الإصدار السابق إذا كان AD هو منصف ∠ BAC. عندما يكون D خارجيًا للجزء BC، يجب استخدام مقاطع خطية موجهة وزوايا موجهة في الحساب.

تُستخدم نظرية منصف الزاوية بشكل شائع عندما تكون منصفات الزاوية وأطوال الأضلاع معروفة. يمكن استخدامه في الحساب أو في الإثبات.

النتيجة المباشرة لهذه النظرية هي أن منصف الزاوية لزاوية رأس المثلث متساوي الساقين سيقسم أيضًا الجانب المقابل.

البراهين

إثبات 1

في الرسم البياني أعلاه، استخدم قانون الجيب على المثلثات ABD و ACD:

${\frac {|AB|}{|BD|}}={\frac {\sin \angle ADB}{\sin \angle DAB}}$

(1)

${\frac {|AC|}{|CD|}}={\frac {\sin \angle ADC}{\sin \angle DAC}}$

(2)

تشكل الزاويتان ∠ADB و ∠ADC زوجًا خطيًا، أي أنهما زاويتان مكملتان متجاورتان. بما أن الزوايا المكملة لها جيوب متساوية،

${\sin \angle ADB}={\sin \angle ADC}.$

الزاويتان ∠DAB و ∠DAC متساويتان. لذلك، الجانب الأيمن من المعادلتين (1) و (2) متساويان، لذلك يجب أن تكون جوانب اليد اليسرى متساوية أيضًا.

${\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}},$

وهي نظرية منصف الزاوية.

إذا كانت الزاويتان ∠DAB و ∠DAC غير متساويتين، فيمكن إعادة كتابة المعادلتين (1) و (2) على النحو التالي:

${{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ DAB=\sin \angle ADB},$

${{\frac {|AC|}{|CD|}}\sin \angle \ DAC=\sin \angle ADC}.$

لا تزال الزاويتان ∠ADB و ∠ADC مكملتين، لذا لا يزال الجانب الأيمن من هذه المعادلات متساويين، لذلك نحصل على:

${{\frac {|AB|}{|BD|}}\sin \angle \ DAB={\frac {|AC|}{|CD|}}\sin \angle \ DAC},$

الذي يعيد ترتيب النسخة “المعممة” من النظرية.

إثبات 2

لنفترض أن D نقطة على الخط BC، وليست مساوية لـ B أو C بحيث لا يكون AD ارتفاعًا للمثلث ABC.

لنفترض أن B₁ هي قاعدة (base) الارتفاع في المثلث من ABD إلى B ونفترض أن C₁ هي أساس الارتفاع في المثلث ACD عبر C. ثم، إذا كانت D تقع بين B و C تمامًا، فإن واحدًا وواحدًا فقط من B₁ أو C₁ تقع داخل المثلث ABC ويمكن افتراضها دون فقدان العمومية التي يفعلها B₁. تم تصوير هذه الحالة في الرسم التخطيطي المجاور. إذا كانت D تقع خارج القطعة BC، فلا يوجد B₁ ولا C₁ داخل المثلث.

∠DB₁B و ∠DC₁C هما زاويتان قائمتان، بينما الزاويتان ∠B₁DB و ∠C₁DC متطابقتان إذا كانت D تقع على القطعة BC (أي بين B و C) وتكونان متطابقتين في الحالات الأخرى التي يتم النظر فيها، وبالتالي فإن المثلثات DB₁B و DC₁C متشابهان (AAA)، مما يعني أن:

${\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}}.$

إذا كانت D هي سفح ارتفاع،

${\frac {|BD|}{|AB|}}=\sin \angle \ BAD{\text{ and }}{\frac {|CD|}{|AC|}}=\sin \angle \ DAC,$

والشكل المعمم يتبع.

إثبات 3

يمكن الحصول على دليل سريع بالنظر إلى نسبة محيط المثلثين BAD و CAD، والتي تم إنشاؤها بواسطة منصف الزاوية في A. سيؤدي حساب هذه المحیط مرتين باستخدام صيغ مختلفة، وهي 1/2gh مع القاعدة g والارتفاع h و 1/2absin(γ) بالجوانب a و b والزاوية المغلقة γ، إلى النتيجة المرجوة.

لنفترض أن h تشير إلى ارتفاع المثلثات على القاعدة BC وأن يكون α نصف الزاوية في A. ثم

${\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|BD|h}{{\frac {1}{2}}|CD|h}}={\frac {|BD|}{|CD|}}$

و:

${\frac {|\triangle ABD|}{|\triangle ACD|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|AB||AD|\sin(\alpha )}{{\frac {1}{2}}|AC||AD|\sin(\alpha )}}={\frac {|AB|}{|AC|}}$

عائدات

${\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}.$

منصفات الزاوية الخارجية

الصورة: منصفات الزاوية الخارجية (منقط باللون الأحمر): النقاط D و E و F متداخلة وتكون المعادلات التالية للنسب ثابتة:

${\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}, {\displaystyle {\frac {|FB|}{|FA|}}={\frac {|CB|}{|CA|}}}{\displaystyle {\frac {|FB|}{|FA|}}={\frac {|CB|}{|CA|}}$ .

بالنسبة لمنصّفات الزوايا الخارجية في مثلث غير متساوي الأضلاع، توجد معادلات مماثلة لنسب أطوال أضلاع المثلث. بتعبير أدق إذا كان منصف الزاوية الخارجية في A يتقاطع مع الجانب الممتد BC في E، فإن منصف الزاوية الخارجية في B يتقاطع مع الجانب الممتد AC في D ومنصف الزاوية الخارجية في C يتقاطع مع الجانب الممتد AB في F، ثم تبقى المعادلات التالية:

${\tfrac {|EB|}{|EC|}}={\tfrac {|AB|}{|AC|}}}, {\displaystyle {\tfrac {|FB|}{|FA|}}={\tfrac {|CB|}{|CA|}}}, {\displaystyle {\tfrac {|DA|}{|DC|}}={\tfrac {|BA|}{|BC|}}$

نقاط التقاطع الثلاثة بين منصفات الزاوية الخارجية وأضلاع المثلث الممتد D و E و F مترابطة، أي أنها تقع على خط مشترك.

This article is useful for me

1+ 1 People like this post

نظرية منصف الزاوية بلغة بسيطة

نظرية منصف الزاوية