في الهندسة الإقليدية، الزاوية هي الشكل الذي يتكون من شعاعين، يُطلق عليهما جوانب الزاوية، ويشتركان في نقطة نهاية مشتركة تسمى رأس الزاوية. تقع الزوايا المكونة من شعاعين في المستوى الذي يحتوي على الأشعة. تتشكل الزوايا أيضًا عن طريق تقاطع مستويين. وتسمى هذه الزوايا ثنائية الأضلاع. يمكن أيضًا أن يحدد منحنيان متقاطعتان الزاوية، وهي زاوية الأشعة التي تلامس المنحنيات ذات الصلة عند نقطة تقاطعها.

الزاوية
الصورة: زاوية تتكون من شعاعين ينبثقان من قمة الرأس.

تستخدم الزاوية أيضًا لتحديد قياس الزاوية أو الدوران. هذا المقياس هو نسبة طول القوس الدائري إلى نصف قطره. في حالة الزاوية الهندسية، يتمركز القوس عند الرأس ويتم تحديده بواسطة الجانبين. في حالة الدوران، يتمركز القوس في مركز الدوران ويتم تحديده بأي نقطة أخرى وصورته بالدوران.

التاريخ وأصل الكلمة

تأتي كلمة angle من الكلمة اللاتينية angulus التي تعني “الزاوية”؛ الكلمات المشابهة هي اليونانية ἀγκύλος (ankylοs)، والتي تعني “ملتوية، منحنية”، والكلمة الإنجليزية “ankle”. كلاهما مرتبط بجذر البروتو الهندو أوروبي * ank-، وهذا يعني “الانحناء” أو “bow”.

يعرّف إقليدس زاوية المستوى على أنها الميل إلى بعضهما البعض، في مستوى، لخطين يلتقيان ببعضهما البعض، ولا يقعان بشكل مستقيم فيما يتعلق ببعضهما البعض. وفقًا لـ برقلس، يجب أن تكون الزاوية إما صفة أو كمية أو علاقة. تم استخدام المفهوم الأول بواسطة اوديموس اوف روديس، الذي اعتبر الزاوية انحرافًا عن الخط المستقيم؛ الثاني من قبل Carpus of Antioch، الذي اعتبره الفاصل أو المسافة بين الخطوط المتقاطعة؛ اعتمد إقليدس المفهوم الثالث.

تحديد الزوايا

في التعبيرات الرياضية، من الشائع استخدام الأحرف اليونانية  (α, β, γ, θ, φ, . . . )  كمتغيرات تشير إلى حجم زاوية ما (لتجنب الالتباس مع معناها الآخر، لا يتم استخدام الرمز π عادةً لهذا الغرض). كما تستخدم الأحرف الرومانية الصغيرة (a, b, c, . . . )، وكذلك الأحرف الرومانية الكبيرة في سياق المضلعات. انظر إلى الأشكال في هذه المقالة للحصول على أمثلة.

في الأشكال الهندسية، يمكن أيضًا تحديد الزوايا من خلال الملصقات المرفقة بالنقاط الثلاث التي تحددها. على سبيل المثال، الزاوية عند الرأس A المحاطة بالأشعة AB و AC (أي الخطوط من النقطة A إلى النقطة B والنقطة A إلى النقطة C) يُرمز إليها ∠BAC(في U+2220 ∠ ANGLE) أو

    \[ {\ {\widehat {\rm {BAC}}}} \]

. في حالة عدم وجود خطر حدوث ارتباك، يمكن أحيانًا الإشارة إلى الزاوية ببساطة من خلال رأسها (في هذه الحالة “الزاوية A”).

من المحتمل أن تشير الزاوية التي يُشار إليها، على سبيل المثال، ∠BAC، إلى أي من الزوايا الأربع: زاوية اتجاه عقارب الساعة من B إلى C، أو الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من B إلى C، أو الزاوية في اتجاه عقارب الساعة من C إلى B، أو الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة من C إلى B، حيث يحدد الاتجاه الذي تقاس فيه الزاوية علامتها (انظر الزوايا الموجبة والسالبة). ومع ذلك، في العديد من المواقف الهندسية، من الواضح من السياق أن الزاوية الإيجابية أقل من أو تساوي 180 درجة، وفي هذه الحالة لا ينشأ أي غموض. خلاف ذلك، يمكن اعتماد اتفاقية بحيث تشير ∠BAC دائمًا إلى الزاوية (الموجبة) عكس اتجاه عقارب الساعة من B إلى C، و CAB الزاوية (الموجبة) عكس اتجاه عقارب الساعة من C إلى B.

أنواع الزوايا

الزوايا الفردية

هناك بعض المصطلحات الشائعة للزوايا، والتي يكون قياسها دائمًا غير سالب :

  • تسمى الزاوية التي تساوي 0 درجة أو لا تدور بزاوية الصفر.
  • الزاوية الأصغر من الزاوية اليمنى (أقل من 90 درجة) تسمى الزاوية الحادة (“sharp” يعني “حاد”).
  • الزاوية التي تساوي ¼ دورة (90 درجة أو π/2  راديان) تسمى الزاوية اليمنى. يقال إن الخطين اللذين يشكلان زاوية قائمة هما خطان عاديان أو متعامدان.
  • الزاوية الأكبر من الزاوية اليمنى وأصغر من الزاوية المستقيمة (بين 90 درجة و 180 درجة) تسمى الزاوية المنفرجة (“منفرجة” وتعني “غير حادة”).
  • الزاوية التي تساوي ½ دورة (180 درجة أو π راديان) تسمى الزاوية المستقيمة.
  • الزاوية الأكبر من الزاوية المستقيمة ولكن أقل من دورة واحدة (بين 180 درجة و 360 درجة) تسمى زاوية الانعكاس.
  • الزاوية التي تساوي 1 دورة (360 درجة أو 2πراديان) تسمى الزاوية الكاملة، الزاوية المستديرة أو right angle.

الزاوية التي ليست من مضاعفات الزاوية القائمة تسمى الزاوية المائلة.

الزاوية اليمنى
الزاوية اليمنى

 الزوايا الحادة والمنفرجة
الزوايا الحادة (a) والمنفرجة (b) والمستقيمة (c). تُعرف الزوايا الحادة والمنفرجة أيضًا باسم الزوايا المائلة

زاوية الانعكاس
زاوية الانعكاس

لللمزيد اقرأ: أنواع الزوايا| شرح بسيط ومفهوم

أزواج زاوية التكافؤ

  • الزوايا التي لها نفس القياس (أي نفس الحجم) يقال إنها متساوية أو متطابقة. يتم تحديد الزاوية بقياسها ولا تعتمد على أطوال جوانب الزاوية (على سبيل المثال، جميع الزوايا القائمة متساوية في القياس).
  • الزاويتان اللتان تشتركان في جوانب طرفية، ولكنهما يختلفان في الحجم بعدد صحيح مضاعف للانعطاف، تسمى الزوايا المشتركة.
  • الزاوية المرجعية هي النسخة الحادة لأي زاوية يتم تحديدها عن طريق الطرح المتكرر للزاوية المستقيمة أو إضافتها (1/2 لفة، 180 درجة، أو π راديان)، إلى النتائج حسب الضرورة، حتى يصبح حجم النتيجة زاوية حادة، a قيمة بين 0 و ¼ دورة، 90 درجة، أو π/2 راديان. على سبيل المثال، زاوية مرجعية مقدارها 30 درجة لها زاوية مرجعية 30 درجة، وزاوية قياسها 150 درجة لها أيضًا زاوية مرجعية 30 درجة (180-150). زاوية قياسها 750 درجة لها زاوية مرجعية 30 درجة (750-720).

أزواج الزاوية الرأسية والمجاورة

الزاويتان A و B زوجان من الزوايا الرأسية؛ الزاويتان C و D زوجان من الزوايا الرأسية. تُستخدم علامات التظليل هنا لإظهار المساواة في الزاوية

عندما يتقاطع خطان مستقيمان في نقطة ما، تتكون أربع زوايا. تتم تسمية هذه الزوايا بشكل ثنائي وفقًا لموقعها بالنسبة لبعضها البعض.

زوج من الزوايا المتقابلة، يتكون من خطين مستقيمين متقاطعين يشكلان شكلًا مشابهًا لـ “X”، تسمى الزوايا الرأسية أو الزوايا المعاكسة أو الزوايا المتقابلة رأسياً. يتم اختصارها كـ Vert. مقابل. ∠s.

تسمى مساواة الزوايا المتقابلة عموديًا نظرية الزاوية العمودية. نسب اوديموس اوف روديس الدليل إلى طاليس ميليتس. أظهر الاقتراح أنه نظرًا لأن كلا الزوجين من الزوايا الرأسية مكملان لكل من الزاويتين المتجاورتين، فإن الزوايا الرأسية متساوية في القياس. وفقًا لمذكرة تاريخية، عندما زار طاليس مصر، لاحظ أنه كلما رسم المصريون خطين متقاطعين، كانوا يقيسون الزوايا الرأسية للتأكد من أنها متساوية. خلص تاليس إلى أنه يمكن للمرء أن يثبت أن جميع الزوايا الرأسية متساوية إذا قبل المرء بعض المفاهيم العامة مثل:

  • كل الزوايا المستقيمة متساوية.
  • يساوي تضاف إلى يساوي متساوية.
  • يساوي طرح من يساوي يساوي.

عندما تشكل زاويتان متجاورتان خطًا مستقيمًا، فإنهما مكملان لبعضهما البعض. لذلك، إذا افترضنا أن قياس الزاوية A يساوي x، فإن قياس الزاوية C سيكون180° − x . وبالمثل، فإن قياس الزاوية D سيكون 180° − x. كل من الزاوية C والزاوية D لهما قياسات تساوي 180° – x وهما متطابقتان. بما أن الزاوية B مكملة للزاويتين C و D، فيمكن استخدام أي من قياسات الزاوية لتحديد قياس الزاوية B. باستخدام قياس الزاوية C أو الزاوية D، نجد أن قياس الزاوية B يساوي 180° − (180° − x) = 180° − 180° + x = x. إذن، كل من الزاوية a والزاوية b لهما قياسات مساوية لـ x ومتساويان في القياس.

الزاويتان المتجاورتان
الزاويتان A و B متجاورتان

  • الزوايا المتجاورة، وغالبًا ما يتم اختصارها كـ متجاورة. ∠s، هي زوايا تشترك في رأس وحافة مشتركة ولكن لا تشترك في أي نقاط داخلية. بعبارة أخرى، هي زوايا تقع جنبًا إلى جنب، أو متجاورة، وتتشارك “ذراعًا”. الزوايا المتجاورة التي تجمع الزاوية اليمنى أو الزاوية المستقيمة أو الزاوية الكاملة خاصة وتسمى على التوالي الزوايا التكميلية والتكميلية والتكميلية.

المستعرض هو خط يتقاطع مع زوج من الخطوط (المتوازية غالبًا)، ويرتبط بزوايا داخلية بديلة وزوايا متناظرة وزوايا داخلية وزوايا خارجية.

الجمع بين أزواج الزاوية

تتضمن ثلاثة أزواج زوايا خاصة جمع الزوايا:

الزاويتان المكمّلتان
الزاويتان المكمّلتان q وb (b مكملان a، و a مكمل b)

الزوايا المكملة هي أزواج زوايا مجموع قياساتها زاوية قائمة واحدة (1/4 دورة، 90 درجة، أو π/2 راديان). إذا كانت الزاويتان التكميليتان متجاورتان، فإن ضلعيهما غير المشتركين يشكلان زاوية قائمة. في الهندسة الإقليدية، الزاويتان الحادتان في المثلث القائم يكملان بعضهما البعض، لأن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة، والزاوية القائمة نفسها تساوي 90 درجة.

يُطلق على الفرق بين الزاوية والزاوية القائمة اسم تكملة الزاوية. إذا كانت الزاويتان A و B متكاملتان، فإن العلاقات التالية تصمد:

    \[ {\displaystyle {\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}} \]

(ظل الزاوية يساوي ظل التمام لمكملها وقاطعها يساوي قاطع التمام لمكملها). البادئة “co-” في أسماء بعض النسب المثلثية تشير إلى كلمة “مكمل”.

الزاويتان (a) و (b) هما زاويتان مكملتان

الزاويتان اللتان مجموعهما زاوية مستقيمة (1/2 دورة، 180 درجة، أو π راديان) تسمى الزوايا التكميلية.

إذا كانت الزاويتان التكميليتان متجاورتان (أي لهما رأس مشترك وتشتركان في جانب واحد فقط)، فإن جوانبهما غير المشتركة تشكل خطًا مستقيمًا. تسمى هذه الزوايا زوجًا خطيًا من الزوايا. ومع ذلك، لا يجب أن تكون الزوايا الإضافية على نفس الخط، ويمكن فصلها في الفراغ. على سبيل المثال، الزوايا المتجاورة لمتوازي أضلاع تكميلية، والزوايا المقابلة لشكل رباعي دوري (زاوية تقع جميع رؤوسها في دائرة واحدة) زوايا تكميلية.

إذا كانت النقطة P خارجية لدائرة ذات مركز O، وإذا كانت الخطوط المماس من P تلامس الدائرة عند النقطتين T و Q، فإن ∠TPQ و ∠TOQ تكملة.

جيوب الزوايا التكميلية متساوية. إن جيب التمام والظلال (ما لم يكن غير محدد) متساويان في الحجم لكن لهما إشارات معاكسة. في الهندسة الإقليدية، أي مجموع زاويتين في المثلث مكمل للثالث، لأن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو زاوية مستقيمة.

مجموع زاويتين مكملتين هو زاوية كاملة

الزاويتان اللتان مجموعهما زاوية كاملة (دورة واحدة، 360 درجة، أو2π  راديان) تسمى الزوايا التكميلية أو الزوايا المترافقة.

يُطلق على الفرق بين الزاوية والزاوية الكاملة تنفيذ الزاوية أو اقتران الزاوية.

الزوايا مع صلة بالمضلع

الزوايا الداخلية والخارجية
الزوايا الداخلية والخارجية
  • الزاوية التي هي جزء من مضلع بسيط تسمى الزاوية الداخلية إذا كانت تقع داخل ذلك المضلع البسيط. يحتوي المضلع المقعر البسيط على زاوية داخلية واحدة على الأقل وهي زاوية انعكاس.
  • في الهندسة الإقليدية، تضيف قياسات الزوايا الداخلية للمثلث ما يصل إلى π راديان، 180 درجة، أو ½ دورة؛ تضيف قياسات الزوايا الداخلية لشكل رباعي محدب بسيط ما يصل إلى 2π  راديان أو 360 درجة أو دورة واحدة. بشكل عام، تضيف قياسات الزوايا الداخلية لمضلع محدب بسيط مع n جوانب ما يصل إلى (n – 2)π  راديان، أو  (n – 2)180درجة،  (n – 2)2 من الزوايا القائمة، أو  (n – 2)½ دورة.
  • يسمى ملحق الزاوية الداخلية بالزاوية الخارجية، أي أن الزاوية الداخلية والزاوية الخارجية تشكلان زوجًا خطيًا من الزوايا. توجد زاويتان خارجيتان عند كل رأس من رأس المضلع، يتم تحديد كل منهما بتمديد أحد جانبي المضلع اللذين يلتقيان عند الرأس؛ هاتان الزاويتان عموديتان وبالتالي متساويتان. تقيس الزاوية الخارجية مقدار الدوران الذي يجب على المرء القيام به عند القمة لتتبع المضلع. إذا كانت الزاوية الداخلية المقابلة زاوية انعكاسية، فيجب اعتبار الزاوية الخارجية سالبة. حتى في المضلع غير البسيط، قد يكون من الممكن تحديد الزاوية الخارجية، ولكن سيتعين على المرء اختيار اتجاه المستوى (أو السطح) لتحديد علامة قياس الزاوية الخارجية.

في الهندسة الإقليدية، سيكون مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب بسيط، إذا افترضت واحدة فقط من الزاويتين الخارجيتين عند كل رأس، دورة كاملة واحدة (360 درجة). الزاوية الخارجية هنا يمكن أن تسمى الزاوية الخارجية التكميلية. تُستخدم الزوايا الخارجية بشكل شائع في برامج لوغو (لغة برمجة) عند رسم المضلعات العادية.

  • في المثلث، يكون منصف زاويتين خارجيتين ومنصف الزاوية الداخلية الأخرى متزامنين (يلتقيان عند نقطة واحدة).
  • في المثلث، ثلاث نقاط تقاطع، كل منها منصف زاوية خارجية مع الجانب الممتد المعاكس، تكون متداخلة.
  • وفي المثلث، ثلاث نقاط تقاطع، اثنتان منها بين منصف الزاوية الداخلية والجانب المقابل، والثالثة بين منصف الزاوية الخارجية الأخرى والجانب المقابل الممتد، متداخلة.
  • يستخدم بعض المؤلفين الاسم الخارجي للزاوية لمضلع بسيط ليعني ببساطة الزاوية الخارجية المكتملة (وليس المكمل!) للزاوية الداخلية. هذا يتعارض مع الاستخدام أعلاه.

قياس الزوايا

عادة ما يتسم حجم الزاوية الهندسية بحجم أصغر دوران يرسم أحد الشعاعين إلى الآخر. يقال إن الزوايا التي لها نفس الحجم متساوية أو متطابقة أو متساوية في القياس.

في بعض السياقات، مثل تحديد نقطة على دائرة أو وصف اتجاه كائن في بعدين متعلقين بالاتجاه المرجعي، تكون الزوايا التي تختلف عن طريق مضاعف دقيق لدوران كامل مكافئة بشكل فعال. في سياقات أخرى، مثل تحديد نقطة على منحنى حلزوني أو وصف الدوران التراكمي لكائن في بعدين متعلقين بالاتجاه المرجعي، فإن الزوايا التي تختلف بمضاعف غير صفري لدورة كاملة ليست مكافئة.

منشور ذات صلة
نظرية النقطة الثابتة 15 Minutes

نظرية نقطة بروير الثابتة

عاطفة عكرش

من بين مئات من نظريات النقطة الثابتة، اشتهر بروير بشكل خاص، ويرجع ذلك جزئيًا إلى استخدامه في العديد من مجالات الرياضيات. في مجالها الأصلي، هذه النتيجة هي واحدة من النظريات الرئيسية التي تميز طوبولوجيا الفضاء الإقليدي.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة