المساحة، Area| شرح بسيط ومفهوم

المساحة

المساحة هي الكمية التي تعبر عن مدى منطقة ثنائية الأبعاد أو شكل أو صفيحة مستوية في المستوى. مساحة السطح هي نظيرتها على السطح ثنائي الأبعاد لجسم ثلاثي الأبعاد. يمكن فهم المساحة على أنها كمية المادة ذات السماكة المحددة التي ستكون ضرورية لتصميم نموذج للشكل، أو كمية الطلاء اللازمة لتغطية السطح بطبقة واحدة. إنه التناظرية ثنائية الأبعاد لطول المنحنى (مفهوم أحادي البعد) أو حجم مادة صلبة (مفهوم ثلاثي الأبعاد).

المساحة، Area|  شرح بسيط ومفهوم
الصورة: تبلغ المساحة المدمجة لهذه الأشكال الثلاثة حوالي 15.57 مربعًا.

يمكن قياس مساحة الشكل بمقارنة الشكل بمربعات ذات حجم ثابت. في النظام الدولي للوحدات (SI)، الوحدة القياسية للمساحة هي المتر المربع (مكتوبًا بالرمز m2)، وهي مساحة المربع الذي يبلغ طول ضلعه مترًا واحدًا. الشكل الذي تبلغ مساحته ثلاثة أمتار مربعة سيكون له نفس مساحة ثلاثة مربعات من هذا القبيل. في الرياضيات، يتم تعريف مربع الوحدة على أنه يحتوي على مساحة واحدة، ومساحة أي شكل أو سطح آخر هي رقم حقيقي بلا أبعاد.

المساحة
الصورة: هذا المربع وهذا القرص لهما نفس المنطقة (انظر: تربيع الدائرة).

هناك العديد من الصيغ المعروفة لمناطق الأشكال البسيطة مثل المثلثات والمستطيلات والدوائر. باستخدام هذه الصيغ، يمكن إيجاد مساحة أي مضلع بتقسيم المضلع إلى مثلثات. بالنسبة للأشكال ذات الحدود المنحنية، عادةً ما يكون حساب التفاضل والتكامل مطلوبًا لحساب المساحة. في الواقع، كانت مشكلة تحديد مساحة الأشكال المستوية دافعًا رئيسيًا للتطور التاريخي لحساب التفاضل والتكامل.

للحصول على شكل صلب مثل كرة أو مخروط أو أسطوانة، تسمى مساحة السطح الحدودي مساحة السطح “Surface area”. تم حساب الصيغ الخاصة بالمساحات السطحية للأشكال البسيطة بواسطة الإغريق القدماء، لكن حساب مساحة السطح ذات الشكل الأكثر تعقيدًا يتطلب عادةً حسابًا متعدد المتغيرات.

تلعب المساحة دورًا مهمًا في الرياضيات الحديثة. بالإضافة إلى أهميتها الواضحة في الهندسة وحساب التفاضل والتكامل، ترتبط المنطقة بتعريف المحددات في الجبر الخطي، وهي خاصية أساسية للأسطح في الهندسة التفاضلية. في التحليل، يتم تحديد منطقة مجموعة فرعية من المستوى باستخدام مقياس لوبيغ (بالإنجليزية: Lebesgue measure)‏، على الرغم من أنه لا يمكن قياس كل مجموعة فرعية. بشكل عام، يُنظر إلى المساحة في الرياضيات العليا على أنها حالة خاصة من الحجم للمناطق ثنائية الأبعاد.

يمكن تحديد المساحة من خلال استخدام البديهيات، وتعريفها كدالة لمجموعة من الأشكال المستوية المحددة لمجموعة الأرقام الحقيقية. يمكن إثبات وجود مثل هذه الدالة.

التعريف الرسمي

نهج لتحديد ما هو المقصود بكلمة “المساحة” من خلال البديهيات. يمكن تعريف “المساحة” على أنها دالة من مجموعة M لأنواع خاصة من الأشكال المستوية (تسمى المجموعات القابلة للقياس) إلى مجموعة الأرقام الحقيقية، والتي تفي بالخصائص التالية:

  • لجميع S في M؛ a(S) ≥ 0 .
  • إذا كانت S و T في M، فإن S ∪ T و S ∩ T كذلك، وكذلك a(S∪T) = a(S) + a(T) – a(S∩T).
  • إذا كانت S و T في M مع S ⊆ T، فإن T – S تكون في M و a(T−S) = a(T) – a(S).
  • وإذا كانت المجموعة S في M و S متطابقة مع T، فإن T تكون أيضًا في M و a(S) = a(T).
  • كل مستطيل R يقع في M. إذا كان للمستطيل الطول h والعرض k فإن a( R) = hk
  • دع Q مجموعة محاطة بين منطقتي خطوتين S و T. تتكون منطقة الخطوة من اتحاد محدود من المستطيلات المجاورة التي تستند إلى قاعدة مشتركة، أي S ⊆ Q ⊆ T. إذا كان هناك رقم فريد c مثل أن a(S) ≤ c ≤ a(T) لجميع مناطق الخطوة S و T، ثم a(Q) = c.

يمكن إثبات أن داله المساحة هذه موجودة بالفعل.

الوحدات

الصورة: مربع مصنوع من الأنابيب البلاستيكية

كل وحدة طول لها وحدة مساحة مقابلة، وهي مساحة مربع بطول ضلع معين. وبالتالي يمكن قياس المساحات بالمتر المربع (m2)، السنتيمتر المربع (cm2)، المليمترات المربعة (mm2)، الكيلومترات المربعة (km2)، القدم المربعة (ft2)، ياردة مربعة (yd2)، ميل مربع (mi2)، وهكذا إيابا. جبريًا، يمكن اعتبار هذه الوحدات مربعات لوحدات الطول المقابلة.

وحدة المساحة في النظام الدولي للوحدات هي المتر المربع، والتي تعتبر وحدة مشتقة من النظام الدولي للوحدات.

التحويلات

المساحة
الصورة: رسم بياني يوضح معامل التحويل بين مساحات مختلفة. على الرغم من وجود 10 mm في 1 cm، إلا أن هناك 100 mm2 في cm2.

حساب مساحة المربع الذي يبلغ طوله وعرضه متر واحد:

1 متر × 1 متر = 1 متر مربع

وهكذا، فإن المستطيل ذي الجوانب المختلفة (على سبيل المثال طوله 3 أمتار وعرضه 2 متر) سيكون له مساحة بوحدات مربعة يمكن حسابها على النحو التالي:

3 متر × 2 متر = 6 متر مربع. هذا يعادل 6 مليون مليمتر مربع. التحويلات المفيدة الأخرى هي:

1 كيلو متر مربع = 1،000،000 متر مربع

1 متر مربع = 10000 سم مربع = 1000000 مليمتر مربع

1 سنتيمتر مربع = 100 ملليمتر مربع.

الوحدات غير المترية

في الوحدات غير المترية، يكون التحويل بين وحدتين مربعتين هو مربع التحويل بين وحدات الطول المقابلة.

1 قدم = 12 بوصة،

العلاقة بين قدم مربع وبوصة مربعة هي:

1 قدم مربع = 144 بوصة مربعة، حيث 144 = 122 = 12 × 12.

1 ياردة مربعة = 9 قدم مربع

1 ميل مربع = 3097600 ياردة مربعة = 27878400 قدم مربع

بالإضافة إلى ذلك، تشمل عوامل التحويل ما يلي:

1 بوصة مربعة = 6.4516 سنتيمترًا مربعًا

1 قدم مربع = 0.09290304 متر مربع

1 ياردة مربعة = 0.83612736 متر مربع

1 ميل مربع = 2.589988110336 كيلومتر مربع

وحدات أخرى بما في ذلك التاريخية

هناك العديد من الوحدات المشتركة الأخرى للمساحة. كانت هذه هي الوحدة الأصلية للمساحة في النظام المتري، مع:

آريس 1 = 100 متر مربع

على الرغم من عدم استخدام الهكتار، لا يزال الهكتار مستخدمًا بشكل شائع لقياس الأرض:

  • 1 هكتار = 100 آريس = 10000 متر مربع = 0.01 كيلومتر مربع

تشمل الوحدات المترية الأخرى غير الشائعة للمنطقة الرباعي، والهكتاد، وعدد لا يحصى.

يستخدم الفدان أيضًا بشكل شائع لقياس مساحات الأرض وأين:

  • 1 فدان = 4840 ياردة مربعة = 43560 قدم مربع.

تبلغ مساحة الفدان حوالي 40٪ من مساحة الهكتار.

على المقياس الذري، تُقاس المساحة بوحدات الحظائر، مثل:

  • 1 حظيرة = 10-28 متر مربع.

تُستخدم الحظيرة بشكل شائع في وصف مساحة المقطع العرضي للتفاعل في الفيزياء النووية.

في الهند:

  • 20 dhurki = 1 dhur
  • 20 dhur = 1 khatha
  • 20 khata = 1 bigha
  • 32 khata = 1 acre

تاريخ

مساحة الدائرة

في القرن الخامس قبل الميلاد، كان أبقراط الخيوسي “Hippocrates of Chios” أول من أظهر أن مساحة القرص (المنطقة المحاطة بدائرة) تتناسب مع مربع قطره، كجزء من تربيعه للون أبقراط، لكنه فعل ذلك. لا تحدد ثابت التناسب. وجد أبقراط الخيوسي، أيضًا في القرن الخامس قبل الميلاد، أن مساحة القرص تتناسب مع نصف قطره المربع.

بعد ذلك، تناول الكتاب الأول من عناصر إقليدس المساواة في المناطق بين الأشكال ثنائية الأبعاد. استخدم عالم الرياضيات أرخميدس أدوات الهندسة الإقليدية لإظهار أن المساحة داخل الدائرة تساوي مساحة المثلث الأيمن الذي قاعدته لها طول محيط الدائرة وارتفاعها يساوي نصف قطر الدائرة، في كتابه قياس الدائرة. (المحيط هو 2πr، ومساحة المثلث نصف القاعدة مضروبة في الارتفاع، مما ينتج عنه المساحة πr2 للقرص.) اقترب أرخميدس من قيمة π  ( و من ثم مساحة دائرة نصف قطرها) بمضاعفته الطريقة، التي نقش فيها مثلثًا عاديًا في دائرة ولاحظ مساحتها، ثم ضاعف عدد الأضلاع لإعطاء شكل سداسي منتظم، ثم ضاعف عدد الأضلاع مرارًا وتكرارًا حيث اقتربت مساحة المضلع من مساحة الدائرة ( وفعل الشيء نفسه مع المضلعات المقيدة).

أثبت العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1761 أن π نسبة مساحة الدائرة إلى نصف قطرها المربع، غير منطقية، مما يعني أنها لا تساوي حاصل قسمة أي عددين صحيحين. في عام 1794، أثبت عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجيندر أن 2 غير عقلاني. هذا يثبت أيضًا أن π غير منطقي. في عام 1882، أثبت عالم الرياضيات الألماني فرديناند فون ليندمان أن π متسامي (وليس حل أي معادلة متعددة الحدود ذات معاملات عقلانية)، مما يؤكد تخمينًا قدمه كل من ليجيندر وأويلر.

مساحة المثلث

وجد مالك الحزين (Hero of Alexandria او هيرو السكندري) من الإسكندرية ما يعرف بصيغة هيرون لمساحة المثلث من حيث جوانبه، ويمكن العثور على دليل في كتابه، Metrica، الذي كتب حوالي 60 م. لقد تم اقتراح أن أرخميدس عرف الصيغة قبل قرنين من الزمان، وبما أن Metrica عبارة عن مجموعة من المعرفة الرياضية المتوفرة في العالم القديم، فمن الممكن أن تكون الصيغة تسبق المرجع الوارد في هذا العمل.

في عام 499، عبّر أريابهاتا، عالم الرياضيات والفلك العظيم من العصر الكلاسيكي للرياضيات الهندية وعلم الفلك الهندي، عن مساحة المثلث بنصف ضعف القاعدة في الارتفاع في أرياباتيا (القسم 2.6).

تم اكتشاف صيغة مكافئة لصيغة هيرون من قبل الصينيين بشكل مستقل عن اليونانيين. تم نشره عام 1247 في Shushu Jiuzhang (“رسالة رياضية في تسعة أقسام”) كتبها تشين جيوشو.

مساحة رباعية

في القرن السابع الميلادي، طور براهماجوبتا معادلة، تُعرف الآن باسم معادلة براهماجوبتا، لمساحة الشكل الرباعي الدوري (رباعي الأضلاع محفور في دائرة) من حيث جوانبه. في عام 1842، وجد عالما الرياضيات الألمانيان كارل أنطون بريتشنيدر وكارل جورج كريستيان فون ستودت بشكل مستقل صيغة، تُعرف باسم صيغة بريتشنايدر، لمنطقة أي رباعي.

مساحة المضلع العامة

سمح تطوير الإحداثيات الديكارتية من قبل رينيه ديكارت في القرن السابع عشر بتطوير صيغة المساح لمنطقة أي مضلع ذات مواقع قمة معروفة بواسطة غاوس في القرن التاسع عشر.

تحديد المساحات باستخدام حساب التفاضل والتكامل

قدم تطوير حساب التفاضل والتكامل في أواخر القرن السابع عشر أدوات يمكن استخدامها لاحقًا لحساب مناطق أكثر تعقيدًا، مثل مساحة القطع الناقص ومساحات سطح العديد من الأجسام المنحنية ثلاثية الأبعاد.

صيغ المساحة

صيغ المضلع

بالنسبة لمضلع غير متقاطع ذاتيًا (بسيط)، الإحداثيات الديكارتية

    \[  {\ (x_{i},y_{i})}(x_{i},y_{i})} \]

  (I = 0, 1, …, n-1)  لرؤوسه n معروفة، يتم إعطاء المنطقة بواسطة صيغة المساح:

    \[ {\ A={\frac {1}{2}}{\Biggl \vert }\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}){\Biggr \vert }} \]

حيث عندما i = n-1، يتم التعبير عن i + 1 كمعامل n وبالتالي يشير إلى 0.

المستطيلات

المساحة
مساحة هذا المستطيل هي lw.

أبسط معادلة للمساحة هي معادلة مساحة المستطيل. بالنظر إلى مستطيل بطول l وعرض w، فإن صيغة المنطقة هي:

A = lw (مستطيل)

أي أن مساحة المستطيل هي الطول مضروبًا في العرض. كحالة خاصة، مثل l = w في حالة مربع، يتم إعطاء مساحة المربع مع طول ضلع s بواسطة الصيغة:

A = s2 (مربع)

تتبع صيغة مساحة المستطيل مباشرةً من الخصائص الأساسية للمساحة، وتُؤخذ أحيانًا على أنها تعريف أو بديهية. من ناحية أخرى، إذا تم تطوير الهندسة قبل الحساب، يمكن استخدام هذه الصيغة لتحديد مضاعفة الأعداد الحقيقية.

متوازيات الأضلاع والمثلثات

تتبع معظم الصيغ البسيطة الأخرى للمساحة طريقة التشريح. يتضمن ذلك قطع الشكل إلى قطع، يجب أن تتلخص مساحتها مع مساحة الشكل الأصلي.

رسم تخطيطي يوضح كيف يمكن إعادة ترتيب متوازي الأضلاع في شكل مستطيل.

على سبيل المثال، يمكن تقسيم أي متوازي أضلاع إلى شبه منحرف ومثلث قائم الزاوية، كما هو موضح في الشكل على اليسار. إذا تم نقل المثلث إلى الجانب الآخر من شبه المنحرف، فإن الشكل الناتج يكون مستطيلًا. ويترتب على ذلك أن مساحة متوازي الأضلاع هي نفس مساحة المستطيل:

A = bh (متوازي الأضلاع)

المساحة

متوازي الأضلاع ينقسم إلى مثلثين متساويين.

ومع ذلك، يمكن أيضًا قطع متوازي الأضلاع نفسه على طول القطر إلى مثلثين متطابقين، كما هو موضح في الشكل على اليمين. ويترتب على ذلك أن مساحة كل مثلث تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع:

A = 1/2bh (مثلث)

يمكن استخدام الحجج المماثلة للعثور على صيغ المساحة لشبه المنحرف بالإضافة إلى المضلعات الأكثر تعقيدًا.

مساحة الأشكال المنحنية

الدوائر

المساحة

يمكن تقسيم الدائرة إلى قطاعات تعيد ترتيبها لتشكل متوازي أضلاع تقريبي.

تعتمد صيغة مساحة الدائرة (التي تسمى بشكل أكثر ملاءمة المنطقة المحاطة بدائرة أو مساحة القرص) على طريقة مماثلة. بالنظر إلى دائرة نصف قطرها r، يمكن تقسيم الدائرة إلى قطاعات، كما هو موضح في الشكل على اليمين. كل قطاع مثلث الشكل تقريبًا، ويمكن إعادة ترتيب القطاعات لتشكيل متوازي أضلاع تقريبي. ارتفاع متوازي الأضلاع هذا هو r، والعرض نصف محيط الدائرة، أو πr. وبالتالي، فإن المساحة الإجمالية للدائرة هي πr2:

A = πr2 (دائرة)

على الرغم من أن التشريح المستخدم في هذه الصيغة تقريبي فقط، فإن الخطأ يصبح أصغر وأصغر حيث يتم تقسيم الدائرة إلى المزيد والمزيد من القطاعات. حدود مساحات متوازي الأضلاع التقريبية هي بالضبط πr2، وهي مساحة الدائرة.

هذه الحجة هي في الواقع تطبيق بسيط لأفكار التفاضل والتكامل. في العصور القديمة، تم استخدام طريقة الاستنفاد بطريقة مماثلة للعثور على مساحة الدائرة، ويتم التعرف على هذه الطريقة الآن على أنها مقدمة لحساب التفاضل والتكامل. باستخدام الطرق الحديثة، يمكن حساب مساحة الدائرة باستخدام تكامل محدد:

    \[ {\ A\;=\;2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.} \]

قطع ناقص

ترتبط صيغة المنطقة المحاطة بقطع ناقص بصيغة الدائرة؛ بالنسبة للقطع الناقص ذي المحاور شبه الرئيسية وشبه الصغيرة x و y، فإن الصيغة هي:

A = πxy

مساحة السطح

أظهر أرخميدس أن مساحة سطح الكرة هي بالضبط أربعة أضعاف مساحة القرص المسطح من نفس نصف القطر، والحجم المحاط بالكرة هو بالضبط ثلثي حجم الأسطوانة التي لها نفس الارتفاع ونصف القط.

يمكن الحصول على معظم الصيغ الأساسية لمساحة السطح عن طريق قطع الأسطح وتسويتها. على سبيل المثال، إذا تم قطع السطح الجانبي للأسطوانة (أو أي منشور) بالطول، فيمكن تسوية السطح إلى مستطيل. وبالمثل، إذا تم إجراء قطع على طول جانب مخروط، فيمكن تسوية السطح الجانبي إلى قطاع من دائرة، ويتم حساب المنطقة الناتجة.

من الصعب اشتقاق صيغة مساحة سطح الكرة: نظرًا لأن الكرة لها انحناء غاوسي غير صفري، فلا يمكن تسويتها. حصل أرخميدس على صيغة مساحة سطح الكرة لأول مرة في عمله على الكرة والأسطوانة. الصيغة هي:

A = 4πr2 (كرة)

أين r هو نصف قطر الكرة. كما هو الحال مع صيغة مساحة الدائرة، فإن أي اشتقاق لهذه الصيغة يستخدم بطبيعته طرقًا مشابهة لحساب التفاضل والتكامل.

الصيغ العامة

مساحات الأشكال ثنائية الأبعاد

منطقة المثلث A = bh/2

  • مثلث:  1/2Bh  (حيث B هو أي جانب، و h هي المسافة من الخط الذي يقع عليه B في الرأس الآخر للمثلث). يمكن استخدام هذه الصيغة إذا كان الارتفاع h معروفًا. إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة معروفة، فيمكن استخدام صيغة هيرون:

        \[ {\sqrt  {s(s-a)(s-b)(s-c)}}  \]

    حيث a، b، c هي أضلاع المثلث، و

        \[ {\ s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} \]

    هي نصف محيطه. إذا تم إعطاء زاوية وضلعيها المضمنين، فإن المساحة هي

        \[ {\tfrac {1}{2}}ab\sin(C )} \]

    حيث C هي الزاوية المعطاة و a و b هي ضلعيها المضمنين. وإذا تم رسم المثلث على مستوى إحداثي، فيمكن استخدام مصفوفة وتبسيطها إلى القيمة المساحة لـ

        \[  {\tfrac {1}{2}}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3})} \]

    . تُعرف هذه الصيغة أيضًا باسم صيغة رباط الحذاء وهي طريقة سهلة لحل مساحة مثلث إحداثيات عن طريق استبدال النقاط الثلاث (x1,y1), (x2,y2), و. (x3,y3)  يمكن أيضًا استخدام صيغة رباط الحذاء للعثور على مناطق المضلعات الأخرى عندما تكون رؤوسها معروفة. طريقة أخرى لمثلث الإحداثيات هي استخدام حساب التفاضل والتكامل لإيجاد المساحة.
  • مضلع بسيط مبني على شبكة من النقاط المتساوية المسافات (أي النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة) بحيث تكون جميع رؤوس المضلع نقاط شبكة:

        \[ {i+{\frac  {b}{2}}-1} \]

    ، حيث i هو عدد نقاط الشبكة داخل المضلع و b هو عدد الحدود نقاط. تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية بيك “Pick’s theorem”.

علاقة المساحة بالمحيط

تنص المتباينة المتساوية على أنه بالنسبة لمنحنى مغلق بطول L (وبالتالي فإن المساحة التي تحيط بها لها محيط L) للمساحة A من المساحة التي تحيط بها،

4πA ≤ L2

وتبقى المساواة إذا وفقط إذا كان المنحنى عبارة عن دائرة. وهكذا فإن الدائرة لها أكبر مساحة من أي شكل مغلق بمحيط معين.

في الطرف الآخر، يمكن أن يكون للشكل ذي المحيط L مساحة صغيرة بشكل تعسفي، كما يتضح من المعين الذي “يميل” بشكل تعسفي بحيث تكون اثنتان من زاويته قريبة بشكل تعسفي من 0 والاثنان الآخران قريبان بشكل تعسفي إلى 180 درجة.

بالنسبة للدائرة، فإن نسبة المساحة إلى المحيط (مصطلح محيط الدائرة) تساوي نصف نصف القطر r. يمكن ملاحظة ذلك من صيغة المنطقة πr2 وصيغة المحيط 2πr.

مساحة المضلع المنتظم تساوي نصف محيطه مضروبًا في الفاصل (حيث يكون القطر هو المسافة من المركز إلى أقرب نقطة على أي جانب).

كسيرة “أشكال هندسية تتدرج زيادة أو نقصاناً ، Fractal”

مضاعفة أطوال حافة المضلع يضاعف مساحته بأربعة، وهو اثنان (نسبة طول الضلع الجديد إلى الضلع القديم) مرفوعًا إلى أس اثنين (بعد المسافة التي يقيم فيها المضلع). ولكن إذا تم مضاعفة أطوال البعد الواحد للفركتلي المرسوم في بعدين، فإن المحتوى المكاني للمقاييس الكسورية بقوة اثنين ليس بالضرورة عددًا صحيحًا. هذه القوة تسمى البعد الكسيري للكسير.

منصفات المساحة

هناك عدد لا حصر له من الخطوط التي تقسم مساحة المثلث. ثلاثة منهم هم متوسطات المثلث (التي تربط نقاط منتصف الأضلاع بالرؤوس المقابلة)، وهي متزامنة عند النقطه الوسطى للمثلث؛ في الواقع، هم منصف المنطقة الوحيد الذي يمر عبر النقطه الوسطى. أي خط يمر بمثلث يقسم مساحة المثلث ومحيطه إلى نصفين يمر عبر مركز المثلث (وسط محيطه). يوجد إما واحد أو اثنان أو ثلاثة من هؤلاء لأي مثلث.

أي خط يمر من منتصف متوازي الأضلاع يقسم المساحة.

تمر جميع منصفات المنطقة لدائرة أو أي شكل بيضاوي آخر عبر المركز، وأي أوتار تمر عبر المركز تقسم المساحة. في حالة الدائرة هم أقطار الدائرة.

Optimization

بالنظر إلى محيط السلك، فإن السطح الأقل امتدادًا (“filling”) يكون سطحًا ضئيلًا. تشمل الأمثلة المألوفة فقاعات الصابون.

تظل مسألة مساحة ملء الدائرة الريمانية مفتوحة.

الدائرة أكبر مساحة لأي جسم ثنائي الأبعاد له نفس المحيط.

يحتوي المضلع الدوري (مضلع مرسوم في دائرة) على أكبر مساحة من أي مضلع مع عدد معين من الأضلاع من نفس الأطوال.

تنص نسخة من المتباينة المتساوية للمثلثات على أن مثلث أكبر مساحة بين كل تلك التي لها محيط معطى متساوي الأضلاع.

مثلث أكبر مساحة من بين كل أولئك المدرجين في دائرة معينة متساوي الأضلاع؛ ومثلث أصغر مساحة من كل تلك المحصورة حول دائرة معينة متساوي الأضلاع.

نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المثلث متساوي الأضلاع،

    \[  {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}} \]

، أكبر من مساحة أي مثلث غير متساوي الأضلاع.

نسبة المساحة إلى مربع محيط المثلث متساوي الأضلاع،

    \[ \frac{1}{12\sqrt{3}} \]

، أكبر من تلك الموجودة في أي مثلث آخر.

منشور ذات صلة
العدد الصحيح 7 Minutes

العدد الصحيح| Integer Number

عاطفة عكرش

العدد الصحيح هو رقم ليس به جزء عشري أو كسري، من مجموعة الأعداد السالبة والموجبة، بما في ذلك الصفر. أمثلة على الأعداد الصحيحة هي: -8 و 8 و 4 و 3 و 177 و 79 و 6789.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة