التطابق الاستلزامي أو “إذا وفقط إذا”

iff

إذا وفقط إذا، if and only if

في المنطق والمجالات ذات الصلة مثل الرياضيات والفلسفة، “if and only if” (اختصارًا كـ “iff”) عبارة عن رابط منطقي ثنائي الشرط بين العبارات، حيث تكون كلتا العبارتين صحيحة أو كلاهما خاطئ.

الرابط هو ثنائي الشرط (بيان تكافؤ المواد)، ويمكن تشبيهه بالمادة القياسية المشروطة (“فقط إذا”، تساوي “إذا … ثم”) مقترنة بعكسها (“إذا”)؛ ومن هنا الاسم. والنتيجة هي أن حقيقة أي من العبارات المتصلة تتطلب حقيقة الآخر (أي أن كلا العبارتين صحيحان أو كلاهما خطأ)، على الرغم من أنه من المثير للجدل ما إذا كان الرابط الذي تم تعريفه بهذه الطريقة قد تم تقديمه بشكل صحيح من قبل اللغة الإنجليزية “if and only if ” بمعناها الموجود مسبقًا.على سبيل المثال، P إذا وفقط إذا كانت Q تعني أن P صحيحة عندما يكون Q صحيحًا، والحالة الوحيدة التي يكون فيها P صحيحة هي إذا كان Q صحيحًا أيضًا، بينما في حالة P إذا Q، يمكن أن يكون هناك سيناريوهات أخرى حيث P صحيحة و Q خطأ.

في الكتابة، العبارات شائعة الاستخدام كبدائل لـ P “إذا وفقط إذا” Q تشمل: Q ضرورية وكافية لـ P ،P مكافئة (أو مكافئة ماديًا) لـ Q (مقارنة مع ضمني مادي)، P تحديدًا إذا Q ،P بالضبط (أو بالضبط) عندما Q ،P بالضبط في حالة Q، و P فقط في حالة Q. يعتبر بعض المؤلفين “iff” غير مناسب في الكتابة الرسمية؛ يعتبرها آخرون “حالة حدودية” ويتسامحون مع استخدامها.

في الصيغ المنطقية، يتم استخدام الرموز المنطقية، مثل ⇒ و ≡ ، بدلاً من هذه العبارات.

تعريف التطابق الاستلزامي أو iff

جدول الحقيقة لـ P⇔ Q هو كما يلي (في نهاية هذه المقالة، قدمنا ​​شرحًا كاملاً حول مفهوم جدول الحقيقة):

جدول الحقيقة

التطابق الاستلزامي أو "إذا وفقط إذا"

إنه مكافئ لتلك التي تنتجها بوابة اختيار حصري سالبة، وعكس تلك التي تنتجها بوابة فصل إقصائي.

إستعمال iff

الرموز

الرموز المنطقية المقابلة هي “⇔” و “→ و” و “≡” وأحيانًا “iff”. يتم التعامل مع هذه عادة على أنها مكافئة. ومع ذلك، فإن بعض نصوص المنطق الرياضي (خاصة تلك المتعلقة بمنطق الدرجة الأولى، بدلاً من المنطق الافتراضي) تميز بين هذه، حيث يتم استخدام الأول، ↔، كرمز في الصيغ المنطقية، بينما يستخدم ⇔ في التفكير حول تلك الصيغ المنطقية (على سبيل المثال، في ميتالوجيك). في التدوين البولندي لـ Łukasiewicz، هو رمز البادئة “E”.

في TeX او تخ (برمجية)، يظهر “if and only if” كسهم مزدوج طويل: ⇔ لالعبر عن \iff.

البراهين

في معظم الأنظمة المنطقية، يثبت المرء بيانًا من النموذج “P iff Q” بإثبات إما “if P، ثم Q” و “if Q، ثم P”، أو “if P، ثم Q” و “إذا لم يكن P، ثم لا- Q “. يؤدي إثبات هذين الزوجين من العبارات أحيانًا إلى دليل أكثر طبيعية، نظرًا لعدم وجود شروط واضحة يمكن فيها للمرء أن يستنتج الشرط الثنائي مباشرة. البديل هو إثبات الانفصال “(P و Q) أو (not-P و not-Q)”، والذي يمكن استنتاجه في حد ذاته مباشرةً من أيٍّ من المفصولين – أي لأن “iff” تعمل على الحقيقة، ” يتبع P iff Q “إذا ثبت أن P و Q صحيحان أو كلاهما خطأ.

أصل iff والنطق

ظهر استخدام الاختصار “iff” لأول مرة في الطباعة في كتاب John L. Kelley لعام 1955 في الطوبولوجيا العامة. غالبًا ما يُنسب اختراعها إلى Paul Halmos، الذي كتب “لقد اخترعت” iff “لـ” if and only if “- لكنني لم أصدق أبدًا أنني مخترعها الأول حقًا”.

من غير الواضح إلى حد ما كيف كان من المفترض أن تُلفظ كلمة “iff”. في الممارسة الحالية، تُقرأ “الكلمة” المفردة “iff” دائمًا على أنها أربع كلمات “إذا وفقط إذا”. ومع ذلك، في مقدمة الطبولوجيا العامة، يقترح كيلي أنه يجب قراءتها بشكل مختلف: “في بعض الحالات التي يتطلب فيها المحتوى الرياضي” إذا وفقط إذا، وتتطلب النغمة شيئًا أقل من استخدام بول هالموس، رياضياتي أمريكي. يقترح مؤلفو أحد كتب الرياضيات المنفصلة ما يلي: “إذا كنت بحاجة إلى نطق iff، فعليك التمسك حقًا بـ” ff “حتى يسمع الناس الاختلاف من” if “، مما يعني ضمنيًا أن” iff “يمكن نطقها كـ [ ɪfː].

استخدام iff في التعاريف

من الناحية الفنية، تكون التعريفات دائمًا عبارة “إذا وفقط إذا”؛ بعض النصوص – مثل طوبولوجيا Kelley العامة – تتبع المتطلبات الصارمة للمنطق، وتستخدم “if and only if” أو iff في تعريفات المصطلحات الجديدة. ومع ذلك، فإن هذا الاستخدام الصحيح منطقيًا لعبارة “if and only if” غير شائع نسبيًا، نظرًا لأن غالبية الكتب المدرسية والأبحاث والمقالات (بما في ذلك مقالات Wikipedia الإنجليزية) تتبع العرف الخاص لتفسير “if” as “if and only if”، كلما تم تضمين تعريف رياضي (كما هو الحال في “الفضاء الطوبولوجي يكون مضغوطًا إذا كان كل غطاء مفتوح يحتوي على غطاء فرعي محدود”).

تمييز “إذا وفقط إذا” (iff) من “إذا” و “فقط إذا”

“احمد سوف يأكل الفاكهة إذا كانت تفاحة.” (ما يعادل “فقط إذا أكل احمد الفاكهة، فهل يمكن أن تكون تفاحة” أو “سيأكل احمد الفاكهة ← الفاكهة هي تفاحة”) هذا ينص على أن أحمد سوف يأكل ثمار التفاح. ومع ذلك، فإنه لا يستبعد احتمال أن يأكل احمد أيضًا الموز أو أنواعًا أخرى من الفاكهة. كل ما هو معروف على وجه اليقين هو أنها ستأكل كل التفاح الذي تصادفه. أن تكون الفاكهة تفاحة هو شرط كافٍ لاحمد لأكل الفاكهة.

“لن يأكل احمد الفاكهة إلا إذا كانت تفاحة.” (ما يعادل “إذا أكل احمد الفاكهة، فهي تفاحة” أو “سيأكل احمد الفاكهة ← الفاكهة تفاحة”) ينص هذا على أن الفاكهة الوحيدة التي سيأكلها احمد هي تفاحة. ومع ذلك، فإنه لا يستبعد احتمال أن يرفض احمد تفاحة إذا تم توفيرها، على عكس (1)، الذي يتطلب من احمد تناول أي تفاحة متاحة. في هذه الحالة، أن تكون فاكهة معينة هي تفاحة هو شرط ضروري لكي يأكلها احمد. إنها ليست حالة كافية لأن احمد قد لا تأكل كل التفاح الذي أعطيت لها.

“سوف يأكل احمد الفاكهة إذا وفقط إذا كانت تفاحة.” (ما يعادل “احمد سوف يأكل الفاكهة، الفاكهة هي تفاحة”)

يوضح هذا البيان أن احمد سوف يأكل كل ثمار التفاح فقط. لن تترك أي تفاحة دون أن تأكل، ولن تأكل أي نوع آخر من الفاكهة.  أن تكون فاكهة معينة هي تفاحة هو شرط ضروري وكافٍ لاحمد لأكل الفاكهة.

الاكتفاء هو عكس الضرورة. وهذا يعني، بالنظر إلى P → Q (أي إذا كانت P ثم Q)، ستكون P شرطًا كافيًا لـ Q، وستكون Q شرطًا ضروريًا لـ P. أيضًا، بالنظر إلى P → Q ، فمن الصحيح أن ¬Q → ¬P (حيث ¬ هي عامل النفي، أي “لا”). هذا يعني أن العلاقة بين P و Q، التي أنشأتها P → Q، يمكن التعبير عنها بالطرق التالية، جميعها مكافئة:

P يكفي لـ Q

Q ضروري لـ P.

¬Q كافية لـ ¬P

¬P ضروري لـ ¬Q

كمثال، خذ المثال الأول أعلاه، الذي ينص على P → Q، حيث P هي “الفاكهة المعنية تفاحة” و Q هي “سوف يأكل احمد الفاكهة المعنية”. فيما يلي أربع طرق مكافئة للتعبير عن هذه العلاقة بالذات:

  • إذا كانت الفاكهة المعنية عبارة عن تفاحة، فسوف يأكلها احمد.
  • فقط إذا أكل احمد الفاكهة المعنية، هل هي تفاحة.
  • إذا لم يأكل احمد الفاكهة المعنية، فهي ليست تفاحة.
  • فقط إذا كانت الفاكهة المعنية ليست تفاحة، فلن يأكلها احمد.

هنا، يمكن إعادة صياغة المثال الثاني في شكل إذا … ثم “إذا كان أحمد سيأكل الفاكهة المعنية، فهي إذن تفاحة”؛ مع أخذ هذا بالاقتران مع المثال الأول، نجد أن المثال الثالث يمكن ذكره على أنه “إذا كانت الفاكهة المعنية تفاحة، فسيأكلها احمد؛ وإذا كان أحمد سيأكل الفاكهة، فهذا يعني أنها تفاحة”.

iff من حيث مخططات أويلر

إذا وفقط إذا، if and only if
A هي مجموعة فرعية مناسبة من B. الرقم موجود في أ فقط إذا كان في B؛ إذا كان الرقم في B إذا كان في A.
iff من حيث مخططات أويلر
C هي مجموعة فرعية ولكنها ليست مجموعة فرعية مناسبة من B. ويكون الرقم في B إذا وفقط إذا كان في C، والرقم موجود في C إذا وفقط إذا كان في B.

تُظهر مخططات أويلر العلاقات المنطقية بين الأحداث والخصائص وما إلى ذلك. “P only if Q” و “if P ثم Q” و “P → Q” كلها تعني أن P هي مجموعة فرعية، سواء كانت صحيحة أو غير مناسبة، من Q. “P إذا Q”، “إذا Q ثم P”، و Q → P تعني جميعها أن Q هي مجموعة فرعية مناسبة أو غير مناسبة من P. “P if and only if Q” و “Q if and only if P” تعنيان أن المجموعتين P و Q متطابقتان مع بعضهما البعض.

استخدام iff الأكثرعمومية

يستخدم Iff خارج مجال المنطق أيضًا. حيثما يتم تطبيق المنطق، خاصة في المناقشات الرياضية، يكون له نفس المعنى كما هو مذكور أعلاه: إنه اختصار لـ if، فقط إذا، يشير إلى أن أحد الجمل ضروري وكافٍ للآخر. هذا مثال على المصطلحات الرياضية (على الرغم من أنه، كما هو مذكور أعلاه، إذا تم استخدامه في كثير من الأحيان أكثر من iff في عبارات التعريف).

عناصر X هي كلها وعناصر Y فقط تعني: “بالنسبة إلى أي z في مجال الخطاب، يكون z في X إذا وفقط إذا كان z في Y.”

جدول الحقيقة

جدول الحقيقة هو جدول رياضي يستخدم في المنطق – على وجه التحديد فيما يتعلق بالجبر المنطقي والدوال المنطقية وحساب التفاضل والتكامل – الذي يحدد القيم الداله للتعبيرات المنطقية في كل من وسيطاتها الداله، أي لكل مجموعة من القيم المأخوذة من خلال متغيراتهم المنطقية. على وجه الخصوص، يمكن استخدام جداول الحقيقة لإظهار ما إذا كان التعبير الافتراضي صحيحًا لجميع قيم الإدخال المشروعة، أي أنها صحيحة منطقيًا.

يحتوي جدول الحقيقة على عمود واحد لكل متغير إدخال (على سبيل المثال، P و Q)، وعمود نهائي واحد يعرض جميع النتائج المحتملة للعملية المنطقية التي يمثلها الجدول (على سبيل المثال، P XOR Q). يحتوي كل صف من جدول الحقيقة على تكوين واحد محتمل لمتغيرات الإدخال (على سبيل المثال، P = true Q = false)، ونتيجة العملية لتلك القيم.

انظر الأمثلة أدناه لمزيد من التوضيح. يُنسب لودفيج فيتجنشتاين عمومًا إلى اختراع جدول الحقيقة ونشره في كتابه Tractatus Logico-Philosophicus، الذي اكتمل في عام 1918 ونشر في عام 1921. تم اقتراح مثل هذا النظام بشكل مستقل في عام 1921 من قبل إميل ليون بوست. تم العثور أيضًا على تكرار سابق لجدول الحقيقة في المخطوطات غير المنشورة من قبل تشارلز ساندرز بيرس من عام 1893، والتي سبقت كلا المنشورين بحوالي 30 عامًا.

عمليات أحادية

هناك 4 عمليات أحادية:

  • دائما صحيح او صادق
  • أبدا صحيح، خطأ أحادي
  • هوية أحادية
  • نفي أحادي

منطقي صحيح

تكون قيمة المخرجات صحيحة دائمًا، بغض النظر عن قيمة إدخال p

استخدام iff الأكثرعمومية
منطقي صحيح

خطأ منطقي

قيمة المخرجات ليست صحيحة أبدًا: أي دائمًا خطأ، بغض النظر عن قيمة الإدخال p

استخدام iff الأكثرعمومية
خطأ منطقي

الهوية المنطقية

الهوية المنطقية هي عملية على قيمة منطقية واحدة p، والتي تظل قيمة المخرجات لها p.

جدول الحقيقة لعامل الهوية المنطقية هو كما يلي:

استخدام iff الأكثرعمومية
الهوية المنطقية

النفي المنطقي

النفي المنطقي هو عملية يتم إجراؤها على قيمة منطقية واحدة، عادةً ما تكون قيمة الاقتراح، والتي تنتج قيمة صحيحة إذا كان معاملها خاطئًا وقيمة خطأ إذا كان معاملها صحيحًا.

جدول الحقيقة لـ NOT p (مكتوب أيضًا كـ ¬p أو Np أو Fpq أو ~ p) هو كما يلي:

استخدام iff الأكثرعمومية
النفي المنطقي

تاريخ جدول الحقيقة

يُظهر بحث إيرفينغ أنيليس أن سي إس بيرس يبدو أنه أول منطقي (في عام 1893) ابتكر مصفوفة جدول الحقيقة. من ملخص ورقته:

في عام 1997، اكتشف جون شوسكي، على ظهر صفحة من النص المكتوب لمحاضرة برتراند راسل عام 1912 حول “فلسفة الذرة المنطقية” مصفوفات جدول الحقيقة. مصفوفة النفي هي مصفوفة راسل، بجانبها مصفوفة تضمين المواد في يد لودفيج فيتجنشتاين. يتضح أن مخطوطة غير منشورة حددها بيرس في عام 1893 تتضمن مصفوفة جدول الحقيقة التي تعادل مصفوفة تضمين المواد التي اكتشفها جون شوسكي. مخطوطة غير منشورة من تأليف بيرس تم تحديدها على أنها مؤلفة في 1883-1884 فيما يتعلق بتأليف كتاب بيرس “حول جبر المنطق: مساهمة في فلسفة التدوين” والذي ظهر في المجلة الأمريكية للرياضيات في عام 1885 يتضمن مثالاً على جدول الحقيقة غير المباشر للشرطية.

منشور ذات صلة
نظرية فيرما 17 Minutes

نظرية فيرما الأخيرة

عاطفة عكرش

تنص نظرية فيرما الأخيرة “Fermat’s Last Theorem” (تسمى أحيانًا حدسية فيرما، خاصة في النصوص القديمة) على أنه لا توجد ثلاثة أعداد صحيحة موجبة a، b، c تفي بالمعادلة an + bn = cn لأي قيمة عدد صحيح من n أكبر من 2.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة