- موقع كرسي للتعليم

المشتق (Derivative)

المشتق هو أحد المفاهيم الأكثر استخدامًا في الرياضيات. في الواقع، يمكن القول أن جوهر الرياضيات الحديثة هو مفهوم الاشتقاق.

تطبيقات المشتق

يعبر مفهوم الاشتقاق في الرياضيات عن مدى سرعة تغير المعلمة بمرور الوقت. ومن ثم، فإن هذه الأداة لها العديد من التطبيقات في الفيزياء. على سبيل المثال، تخيل أن سيارة تسير لمسافة معينة. في هذه الحالة، إذا كانت التغيرات في المسافة المقطوعة بمرور الوقت معروفة، فيمكن حساب معدل هذه المسافة لكل وحدة زمنية.

لذلك، في معظم المشاكل التي تتعامل مع المعدل الذي تتغير به المعلمة، سيظهر المشتق.

اشتقاق الدوال — يُظهر ميل الخط في الرسم الحركة-وقت في اللحظة t0 السرعة في هذه اللحظة

مفهوم المشتق

كما ذكرنا سابقًا، تنص المشتقات على معدل تغير وظيفة (على سبيل المثال، إزاحة بواسطة سيارة) بالنسبة لمتغيرها التابع. في السيارة، على سبيل المثال، يكون ميل التغير في المسافة بمرور الوقت هو نفسه المشتق.

لنفترض أن سيارة تسافر مسافة معينة. تخيل أيضًا أن لدينا مخططًا للمسافة المقطوعة بمرور الوقت. يوضح الشكل التالي هذه التغييرات.

يوضح هذا الرسم البياني مكان وجود السيارة في أي لحظة. لذلك، من خلال الحصول على ميل هذا المخطط، من الممكن فهم مقدار تحرك السيارة في الثانية. هذا الرقم هو نفسه مفهوم السرعة.

تخيل الآن أن هذه التغييرات غير خطية مثل الرسم البياني أدناه. حقا كيف يمكن تحقيق السرعة في هذه الحالة؟

لنفترض أننا نريد إيجاد ميل الرسم البياني عند النقطة ( x₀, y₀)، لذلك نحن بحاجة إلى نقطة ثانية. إذا نظرنا إلى هذه النقطة على مسافة كبيرة من (x₀ ، y₀) ، فإن الميل بين هاتين النقطتين لا يحصل على عدد المنحدرات بالضبط عند النقطة (x₀ ، y₀).

اذًا مالعمل؟

الآن ضع في اعتبارك النقطة الثانية قريبة جدًا من (x₀, y₀ ). في الواقع، تعتبر إحداثيات النقطة الثانية (x₀ + Δx , y₀ + Δy). لذلك، فإن الميل بين هاتين النقطتين يساوي:

$(\frac{y _ 0 + \Delta y - y _ 0}{x _ 0 + \Delta x - x _ 0} = \frac{ \Delta y }{ \Delta x })$

ومن ثم فإن الميل بين النقطتين(x₀، y₀) و (x₀ + Δx، y₀ + Δy) يساوي ΔyΔx. لكنها ما زالت لا تعطينا قيمة الميل الدقيقة عند النقطة (x₀ ، y₀). إذا أغلقنا المسافة بين النقطتين إلى الصفر، فسيتم الحصول على الميل بالضبط عند النقطة المحددة. لذلك، يمكننا القول إن الميل عند النقطة (x₀ ، y₀) يساوي:

$\lim _{\Delta x \to\ 0} \frac{ \Delta y }{ \Delta x } = \frac{ dy }{ dx }$

التعبير $\frac{ dy }{ dx }$ مشتق من الدالة Y بالنسبة إلى X. تحسب هذه القيمة التغييرات في الدالة y بالنسبة إلى المتغير x عند نقطة معينة. تسمى العملية التي تم إجراؤها أعلاه اشتقاق الوظيفة y بالنسبة إلى x. لذلك فإن مشتق الوظيفة (y = f(x يساوي:

$f^'(x) = \lim _{ \Delta x \to\ 0} \frac{ f(x + \Delta x) - f(x) }{ \Delta x } = \frac{ dy }{ dx }$

محاسبه المشتق في وظائف مختلفة

في هذا القسم نريد الحصول على مشتق من عدة دوال. لاحظ، مع ذلك، أنه يمكن استخدام الاشتقاق الضمني حيث لا يتم التعبير عن الدالة y صراحةً من حيث x.

مثال

احصل على مشتق الدالة f (x) = x.

بوضع الدالة f في المعادلة أعلاه، لدينا:

$f^'(x) = \lim _{\Delta x \to\ 0} \frac{ f(x + \Delta x) - f(x) }{ \Delta x } = \frac{ x + \Delta x - x }{ \Delta x } = 1$

وفقًا للإجابة التي تم الحصول عليها، فإن ميل هذه الوظيفة يساوي 1 في جميع نقاطها.

دَوَالّ أخرى

لنفترض أنك في جلسة اختبار وتريد حساب مشتق الدالة (f (x) = xtan (x.

في البداية يبدو الأمر صعبًا للغاية، لكن الحقيقة هي أنه يمكن إيجاد مشتقات وظائف مختلفة باستخدام القوانين التي تحكمها، وليس من الضروري دائمًا العمل من خلال المعادلة الأولى.

يوضح الجدول التالي ناتج أشهر الوظائف في الرياضيات.

المشتق الجزئي

يعد اشتقاق الدالة مفيدًا جدًا في العثور على أقصى الرسوم البيانية أو حساب القيم المثلى في المشكلات الهندسية. هناك طرق مختلفة للدَوَالّ المختلفة اعتمادًا على عدد المتغيرات المستقلة فيها.

في استمرار لهذه المقالة، سيتم فحص مفهوم المشتق الجزئي وطريقة حسابه، وفي النهاية، سيتم عرض تطبيق هذا المشتق في شكل بعض الأمثلة.

مشتق لدالة ذات متغير مستقل

في هذا القسم، يتم فحص المشتق في الوظائف ذات المتغير المستقل. هذه هي نفس الطريقة التي تمت دراستها في الماضي. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك f كدالة للمتغير x، والذي يتم تمثيله بالصيغة التالية:

F( x ) = x²

للحصول على مشتق الوظيفة المذكورة أعلاه، نقوم بما يلي:

F’( x ) = 2x

مشتق جزئي لدالة ذات عدة متغيرات مستقلة

كما ذكرنا، فإن حساب مشتقات الوظائف ذات المتغيرات المستقلة المتعددة له تطبيقات عديدة في الحسابات الهندسية.

لذلك، نقوم بتعميم حساب المشتق في دالة ذات متغير مستقل على الطريقة الموضحة أدناه.

بعد ذلك، هدفنا هو حساب دالة ذات متغيرين x و y، والتي يتم تعريفها على النحو التالي:

F( x,y ) = x² + y³

لحساب المشتق الجزئي لهذه الدالة بالنسبة إلي، x نعتبرy أولاً عددًا ثابتا وفي الاشتقاق نعاملها كرقم.

لذلك، فإن المشتق الجزئي لهذه الدالة بالنسبة إلى x هو كما يلي:

F’x = 2x + 0 = 2x

في هذا المثال، مشتق X² يساوي 2X، وبما أننا نعتبر y ثابتًا، فسيكون Y³ أيضًا ثابتًا، ومشتقه يفترض أنه صفر.

من المهم ملاحظة أنه يمكن أيضًا الإشارة إلى المشتق الجزئي لـ x بالرمز . $\frac{ \delta F }{ \delta x }$

لحساب مشتق الدالة الموضحة بالنسبة إلى y، هذه المرة نعتبر x ثابتًا، لذلك لدينا:

F’y = 0 + 3y² = 3y²

عند حساب المشتق فيما يتعلق بـy ،فإن مشتق المصطلح الأول للدالة، الذي يُفترض أنه رقم ثابت، هو صفر، ومشتق المصطلح الثاني فقط مهم. يُشار أيضًا إلى المشتق الجزئي للدالة f بالنسبة إلى y بالرمز $\frac{ \delta x}{ \delta y }$

أمثلة

قد يكون لديك السؤال الذي في أي الحالات يعتبر متغير الوظيفة ثابتًا، وفي أي الحالات يتم استخدام المشتق الجزئي بشكل عام؟

لذلك، في الأمثلة التالية، يتم عرض استخدام المشتق الجزئي.

تذكر أن أهم خطوة في مسائل الاشتقاق الجزئي هي تحديد المتغير الذي يجب اعتباره ثابتًا.

مثال 1

ضع في اعتبارك أسطوانة ارتفاعها h ونصف قطرها r. احسب تغيرات حجم الاسطوانة في حالتين.

في الحالة الأولى، يُسمح فقط بتغيير نصف قطر الأسطوانة، وفي الحالة الثانية، يتم تغيير ارتفاع الأسطوانة فقط.

يتم تحديد حجم هذه الأسطوانة باستخدام العلاقة v = πr²h ويمكن كتابة هذه العلاقة كدالة لمتغيرين r و h :

F( r , h ) = πr²h

إذا تغير نصف قطر الأسطوانة فقط، فإننا نعتبر h ثابتًا لحساب تغيرات الحجم. لذلك، سيكون مشتق دالة المتغيرين لحجم الأسطوانة كما يلي:

F’r = π (2r) h = 2πrh

لاحظ أنه في هذه الحالة، الإجابة هي حاصل ضرب محيط المقطع العرضي للأسطوانة (πr_²) في ارتفاع الأسطوانة (h). في هذه الحالة، يبدو الأمر كما لو أن قذيفة نصف قطرها r وارتفاعها h قد أضيفت إلى الأسطوانة.

في الحالة الثانية، يُسمح فقط بتغيير ارتفاع الأسطوانة، لذلك لحساب تغيرات الحجم، نعتبر r ثابتًا و h متغيراً .

F’h = πr² (1) = πr²

كما يتضح، في هذه الحالة تكون التغييرات في الحجم بشكل πr². يبدو الأمر كما لو أنه تم إضافة قرص رفيع بمساحة πr² إلى الأسطوانة.

مثال 2

لنفترض مكعبًا مستطيلًا مساحة المقطع العرضي له مربع طول ضلعه x وارتفاعه y. احسب التغيرات في مساحة السطح الجانبية لهذا المكعب المستطيل في حالتين.

في الحالة الأولى، يتغير طول جانب المقطع العرضي للمستطيل (x) فقط، وفي الحالة الثانية، يُسمح فقط بتغيير ارتفاعه (y).

تتكون المساحة الجانبية لهذا المكعب المستطيل من سطحين علوي وسفلي بمساحة x² وأربعة أسطح جانبية بمساحة xy. لذلك، فإن دالة مساحة السطح الجانبية تساوي:

F( x,y ) = 2x² + 4xy

لحساب التغييرات في مساحة السطح الجانبي، في الحالة التي يتغير فيها طول جانب مساحة المقطع العرضي للمستطيل x فقط، نحسب المشتق الجزئي للدالة بالنسبة إلى x، وفي الحالة الثانية حيث فقط الارتفاع (y) يتغير، المشتق الجزئي للدالة بالنسبة لـ y هو إجابة المسألة. اذا لدينا:

F’x = 4x + 4y

F’y = 0 + 4x = 4x

مثال 3

كما هو موضح في الشكل أدناه، ضع في اعتبارك مكعب طوله z مع مكعب مستطيل يتقاطع مع مقطع عرضي مربع بطول x وارتفاع y. أوجد المشتق الجزئي لدالة الحجم المتبقي بالنسبة إلى y و x و z.

يمكن حساب الحجم المتبقي والمشتق الجزئي فيما يتعلق بـ y و x و z على النحو التالي:

F(x, y, z) = z3 – x2y

F’x = 0 – 2xy j – 2xy

F’y = 0 – x² = – x²

F’z = 3z² – 0 = 3z²

عندما يكون هناك العديد من قيم x و y في الدالة، يصبح حساب المشتق الجزئي صعبًا بعض الشيء. في هذه الحالة، اقتراحنا هو استبدال المتغير الثابت للمشكلة بأحرف مثل “c” و “k” التي تكون ثباتهما ملموسة أكثر بالنسبة لنا.

This article is useful for me

1+ 5 People like this post

اشتقاق الدوال| شرح بسيط ومفهوم

المشتق (Derivative)

تطبيقات المشتق