المعادلات التفاضلية | شرح كامل

تسمى المعادلة التي تحتوي على مشتق دالة غير معروفة معادلة تفاضلية. يتم تحديد معدل تغيير الوظيفة عند نقطة ما من خلال مشتقات الوظيفة. تربط المعادلة التفاضلية هذه المشتقات بالدالات الأخرىات. تُستخدم المعادلات التفاضلية بشكل أساسي في مجالات الأحياء والفيزياء والهندسة والعديد من المجالات. الغرض الرئيسي من المعادلة التفاضلية هو دراسة الحلول التي تلبي المعادلات وخصائص الحلول. دعونا نناقش التعريف والأنواع والطرق لحل المعادلة التفاضلية وترتيب ودرجة المعادلة التفاضلية وأنواع المعادلات التفاضلية وأمثلة من العالم الحقيقي ومشكلات الممارسة.

ما هي المعادلات التفاضلية؟

المعادلة التفاضلية هي معادلة تحتوي على مشتق واحد على الأقل لداله غير معروفة ، إما مشتق عادي أو مشتق جزئي. لنفترض أن معدل تغير الدالة y بالنسبة إلى x يتناسب عكسياً مع y ، فإننا نعبر عنها بالصيغة dy / dx = k / y.

في حساب التفاضل والتكامل، المعادلة التفاضلية هي معادلة تتضمن مشتق (مشتقات) المتغير التابع فيما يتعلق بالمتغير المستقل (المتغيرات). لا يمثل المشتق سوى معدل التغيير، وتساعدنا المعادلة التفاضلية على تقديم علاقة بين الكمية المتغيرة فيما يتعلق بالتغير في كمية أخرى. y = f (x) دالة حيث y متغير تابع، f دالة غير معروفة، x متغير مستقل.

فيما يلي بعض المعادلات التفاضلية.

(dy / dx) = sin x
(d²y / dx²) + k²y = 0
(d²y / dt²) + (d²x / dt²) = x
(d³y / dx³) + x (dy / dx) – 4xy = 0
(rdr / dθ) + cosθ = 5

ماذا يعني حل المعادلة التفاضلية؟

يتم حل المعادلة التفاضلية عندما يتم العثور على الدالة y من حيث المتغيرات التابعة لها. بتعبير أدق، يعني ذلك معرفة، على سبيل المثال، y، والتي تعتبر دالة للمتغير x، وفقًا للعلاقة الموصوفة. هناك طرق مختلفة لحل المعادلات التفاضلية، لكن علينا أولاً أن نفهم سبب أهمية المعادلات التفاضلية.

لماذا المعادلات التفاضلية مفيدة؟

نحن نعيش في عالم تتغير فيه الظواهر باستمرار. ومع ذلك، يمكن وصف معظم هذه التحولات باستخدام المعادلات التفاضلية. على سبيل المثال، استخدم ألبرت أينشتاين معادلات تفاضلية لوصف قوة الجاذبية. بمساعدة هذه المعادلات، شرح هذه القوة وأثبت أنه من الممكن السفر إلى المستقبل! فيما يلي، نقدم مثال عملي لهذه المعادلات.

مثال: العلاقة بين تعداد الأرانب والمعادلة التفاضلية

كلما زاد عدد الأرانب، زاد عدد الأرانب الصغيرة. سوف تنمو هذه الأرانب الصغيرة أيضًا وتتكاثر. لذلك، مع مرور الوقت، سيزداد عدد الأرانب أكثر فأكثر. حسنًا، دعنا نرى كيف وبأي سرعة تحدث عملية الزيادة هذه. لهذا الغرض، فإننا نعتبر أولاً الافتراضات التالية.

N: عدد الأرانب في الوقت t
r: معدل المواليد (معدل المواليد يعني عدد الأرانب التي ينتجها الأرنب في فترة زمنية معينة.)
dN / dt: معدل الزيادة في العدد الإجمالي للأرانب

افترض الآن هذه الأرقام في شكل مثال حقيقي:

حاليًا ، العدد الإجمالي للأرانب يساوي N = 1000.
ينتج كل أرنب r = 0.01 طفل في الأسبوع.

مع الافتراضين المذكورين أعلاه ، يمكننا أن نستنتج أن العدد الإجمالي للأرانب سينتج dN / dt = 1000×0.01 = 10 أطفال جدد كل أسبوع. لاحظ أن هذه الأرقام تتعلق فقط بفترة زمنية معينة ولا تعني أن الأرانب تتزايد باستمرار. لذلك ، من الأفضل أن نقول إن معدل زيادة عدد الأرانب في أي لحظة يساوي: dN / dt = rN. إذا نظرت بعناية ، تعتبر هذه العلاقة معادلة تفاضلية لأنه يتم التعبير عنها (N (t كدالة لمشتقاتها.

هذا هو المكان الذي ندرك فيه قوة الرياضيات. تقول هذه المعادلة: “إن معدل نمو أعداد الأرانب لكل وحدة زمنية يساوي ناتج معدل النمو بعددهم”.

تخبرنا المعادلات التفاضلية كيف ينمو السكان ، وكيف تتحرك الحرارة ، وبالمثل تصف تحلل المواد المشعة والعديد من الظواهر الأخرى. وتجدر الإشارة إلى أن هذه المعادلات هي الطريقة الأكثر طبيعية لإظهار آلية عمل الكون.

ترتيب المعادلات التفاضلية (Order of Differential Equations)

ترتيب المعادلة التفاضلية هو أعلى ترتيب للمشتق يظهر في المعادلة. ضع في اعتبارك المعادلات التفاضلية التالية،

dy / dx = e^x
 (d⁴y / dx⁴) + y = 0
 (d³y / dx³) + x² (d²y / dx²) = 0

في أمثلة المعادلات التفاضلية أعلاه، أعلى مشتق من الرتبة الأولى والرابعة والثالثة على التوالي.

معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى (First Order Differential Equation)

يمكنك أن ترى في المثال الأول ، أنها معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى لها درجة تساوي 1. جميع المعادلات الخطية في شكل مشتقات هي بالترتيب الأول. يحتوي على المشتق الأول فقط مثل dy / dx، حيث x و y هما المتغيرين ويتم تمثيلهما على النحو التالي:

dy / dx = f (x,y) = y

معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية (Second-Order Differential Equation)

المعادلة التي تتضمن مشتق من الدرجة الثانية هي المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية. يتم تمثيلها على النحو التالي:

d / dx (dy / dx) = d2y / dx2 = f ”(x) = y”.

درجة المعادلات التفاضلية (Degree of Differential Equations)

إذا كانت المعادلة التفاضلية قابلة للتعبير عنها في شكل متعدد الحدود، فإن القوة المتكاملة لأعلى مشتق من الدرجة التي تظهر تسمى درجة المعادلة التفاضلية. درجة المعادلة التفاضلية هي قوة أعلى مشتق مرتب موجود في المعادلة. لإيجاد درجة المعادلة التفاضلية، نحتاج إلى عدد صحيح موجب كمؤشر لكل مشتق. مثال:

هنا ترتيب المعادلة التفاضلية هو 4 والدرجة 3.

ملاحظة: إذا كانت المعادلة التفاضلية غير قابلة للتعبير عنها من حيث المعادلة متعددة الحدود التي لها أعلى مشتق من الدرجة الأولى باعتبارها المصطلح الرئيسي، فإن هذه الدرجة من المعادلة التفاضلية غير محددة.

أنواع المعادلات التفاضلية

تصنف المعادلات التفاضلية على النحو التالي:

• المعادلات التفاضلية العادية(Ordinary Differential Equations)
• المعادلات التفاضلية الجزئية(Partial Differential Equations)

المعادلة التفاضلية العادية(ODE)

“المعادلة التفاضلية العادية” المعروفة أيضًا باسم ODE هي معادلة تحتوي على متغير مستقل واحد وواحد أو أكثر من مشتقاتها فيما يتعلق بالمتغير. وبالتالي ، يتم تمثيل المعادلة التفاضلية العادية كعلاقة لها متغير مستقل واحد x ، المتغير التابع الحقيقي y ، مع بعض مشتقاته y ‘، y “، … .yn، … فيما يتعلق بـ x. يمكن أن تكون المعادلة التفاضلية العادية متجانسة أو غير متجانسة

مثال: (d²y / dx²) + (dy / dx) = 3y cosx

مثال المعادلة التفاضلية أعلاه هی معادلة تفاضلية عادية لأنها لا تحتوي على مشتقات جزئية.

معادلة تفاضلية متجانسة(Homogenous Differential Equation)

تُعرف المعادلة التفاضلية التي تكون فيها درجة جميع المصطلحات متشابهة باسم المعادلة التفاضلية المتجانسة. بشكل عام ، يمكن تمثيلها على أنها P (x ، y) dx + Q (x ، y) dy = 0 ، حيث P (x ، y) و Q (x ، y) هي وظائف متجانسة من نفس الدرجة.

أمثلة على المعادلة التفاضلية المتجانسة:

• y + x (dy / dx) = 0 هي معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة 1
• x⁴ + y⁴ (dy / dx) = 0 هي معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة 4
• xy (dy / dx) + y² + 2x = 0 ليست معادلة تفاضلية متجانسة

معادلة تفاضلية غير متجانسة (Non-Homogenous Differential Equation)

تُعرف المعادلة التفاضلية التي تختلف فيها درجة جميع المصطلحات باسم المعادلة التفاضلية الغیرمتجانسة.

مثال: xy (dy / dx) + y² + 2x = 0 ليست معادلة تفاضلية متجانسة.

أحد أنواع المعادلات التفاضلية غير المتجانسة هي المعادلة التفاضلية الخطية ، على غرار المعادلة الخطية. المعادلة التفاضلية للنموذج (dy / dx) + Py = Q (حيث P و Q هما دوال x) تسمى المعادلة التفاضلية الخطية. (dy / dx) + Py = Q (حيث P ، Q ثابتة أو دوال y). الحل العام هو

y × (I.F.) =∫ Q (IF) dx + c

حيث

  IF = e^∫pdx

المعادلة التفاضلية الجزئية (PDE)

تسمى المعادلة التي تتضمن مشتقات جزئية فقط لداله واحدة أو أكثر من متغيرين مستقلين أو أكثر بالمعادلة التفاضلية الجزئية المعروفة أيضًا باسم PDE. بعض الأمثلة هي:

𝛿u / dx + / dy = 0 ،

𝛿2u / 𝛿x2 + 𝛿2u / 𝛿x2 = 0

طرق حل المعادلات التفاضلية

هناك 5 طرق لحل المعادلة التفاضلية. هذه الطرق الخمسة هي:

• الحل بالتفتيش(Solution by inspection)
• متغير قابل للفصل(Variable separable)
• متجانس(Homogeneous)
• المعادلة التفاضلية الخطية(Linear differential equation)
• عام(General)

الحل العام لمعادلة تفاضلية

يتم تعريف الحل العام للمعادلة التفاضلية من الرتبة n على أنه الحل الذي يتضمن ثوابت عشوائية مهمة. من الضروري بالنسبة لنا إدخال ثابت تعسفي بمجرد إجراء التكامل إذا قمنا بحل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى بطريقة متغيرة. ومن ثم ، يمكنك أن ترى بعد التبسيط أن حل المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى يتضمن ثابتًا تعسفيًا مهمًا.

وبالمثل، فإن الحل العام لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية سيشمل ثوابت تعسفية مهمة وما إلى ذلك. هندسيًا، يمثل الحل العام مجموعة منحنيات ذات معلمة n. على سبيل المثال، يمثل الحل العام للمعادلة التفاضلية dy / dx = 8x² والتي تم العثور عليها على أنها y = x³ + C، حيث يعتبر c ثابتًا عشوائيًا، يمثل عائلة منحنيات مكونة من معلمة واحدة

حل معين لمعادلة تفاضلية

الحل المعين للمعادلة التفاضلية هو الحل الذي نحصل عليه من الحل العام بإعطاء قيم معينة لحل عشوائي. يمكن إعطاء شروط حساب قيم الثوابت التعسفية لنا في شكل مشكلة القيمة الأولية أو الشروط الحدودية اعتمادًا على الأسئلة.

حل فردي لمعادلة تفاضلية

الحل المفرد للمعادلة التفاضلية هو نوع خاص من الحلول الخاصة للمعادلة التفاضلية ولكن لا يمكن اشتقاقه من الحل العام للمعادلة التفاضلية عن طريق تعيين قيم الثابت العشوائي.

طرق الحل

الطرق الخمس للحل هي:

الحل بالاستقصاء: إذا كانت المعادلة التفاضلية بالصيغة

ثم يمكن دمج كل مصطلح بشكل منفصل.

طريقة الفصل المتغير: إذا كان من الممكن كتابة معادلة تفاضلية في شكل بحيث يتم فصل المتغيرات للتكامل، فيمكن حل المعادلة. يمكن كتابة هذا النوع من المعادلة بالصيغة y ’= f (x) g (y) حيث y’ هو تفاضل x بالنسبة إلى y.

معادلة تفاضلية متجانسة: معادلة بالصيغة

حيث تكون f و g متجانستين ثم تُعرف هذه المعادلة التفاضلية بالمعادلة التفاضلية المتجانسة.

المعادلة التفاضلية الخطية: تُعرف المعادلة التفاضلية للصيغة dy / dx + Py = Q حيث P و Q ثوابت تعسفية أو دوال x ، تُعرف باسم المعادلة التفاضلية الخطية.

الحل العام: الحل العام للمعادلة التفاضلية هو المعادلة ذات المتغيرات التابعة من حيث المتغيرات المستقلة.

مشاكل ممارسة للمعادلات التفاضلية

هنا ، يمكنك أن ترى بعض مسائل ممارسة المعادلة التفاضلية.

1.أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية التالية dt / dx = (1 + x²) (1+ t²)

الحل: المعادلة التفاضلية المعطاة هي dt / dx = (1 + x²) (1+ t²)

dt / (1+ t²) = (1 + x²) / dx

من خلال دمج طرفي المعادلة أعلاه، نحصل على

dt / (1+ t²) = ∫ (1 + x²) / dx∫
tan-1t = ∫dx + dx²
tan-1t = x + x³ / 3 + C

المعادلة أعلاه هي الحل العام المطلوب للمعادلة التفاضلية.

2.أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية الموضحة أدناه dtdx = ez + t

الحل: لدينا

 Dt/dx = e ^{z + t}

باستخدام قانون الأس، نحصل على:

dt / dz = ez + et

من خلال فصل المتغيرات عن طريق إجراء قابل للفصل المتغير، نحصل على:

e ^{− t}dt = e^zdz

الآن بأخذ تكامل كلا الطرفين، نحصل على:

 e ^{− t}dt =∫ e^zdz∫

عند الدمج، نحصل على

e ^{− t} = e^z + C-
e^z + e ^{− t} = −Core^z + e ^{− t} = C

تطبيقات المعادلات التفاضلية

تُستخدم تطبيقات المعادلات التفاضلية العادية في الحياة الواقعية لحساب حركة أو تدفق الكهرباء، وحركة الجسم ذهابًا وإيابًا مثل البندول، لشرح مفاهيم الديناميكا الحرارية. أيضًا، من الناحية الطبية، يتم استخدامها للتحقق من نمو الأمراض في التمثيل البياني. المعادلات التفاضلية مفيدة في وصف النماذج الرياضية التي تتضمن النمو السكاني أو الاضمحلال الإشعاعي.

المصادر:

الأول
الثاني
الثالث