خوارزمية القسمة (Division Algorithm)

القسمة هي عملية حسابية تتالف من تقسیم العناصر في أجزاء متساوية. يُفهم أيضًا على أنها العملية العكسية للضرب. على سبيل المثال ، في الضرب ، 3 مجموعات من 6 تكون 18. الآن ، إذا تم تقسيم 18 إلى 3 مجموعات ، فإنه يعطي 6 عناصر في كل مجموعة. هنا 18 هو المقسوم (dividend)، و 3 هو القاسم(divisor) ، و 6  هو حاصل القسمة(quotient). المقسوم هو ناتج المقسوم عليه والحاصل ، مضافًا إلى الباقي (remainder)إن وجد وتعرف هذه القاعدة باسم خوارزمية القسمة. تنطبق خوارزمية القسمة أيضًا على قسمة كثيرات الحدود.

يتضمن تقسيم كثيرات الحدود (polynomials) قسمة كثير الحدود على أحادي (monomial) أو ذي الحدين (binomial) أو ثلاثي الحدود (trinomial) أو كثير الحدود بدرجة أقل. في قسمه متعددة الحدود ، تكون درجة المقسوم أكبر من أو تساوي المقسوم عليه. للتحقق من النتيجة ، نضرب كثير الحدود المقسوم عليه و الحاصل ونضيفه إلى الباقي ، إن وجد. على سبيل المثال ، نستخدم خوارزمية القسمة للتحقق من النتيجة.

ما هي خوارزمية القسمة؟

تقول خوارزمية القسمة عندما يتم قسمة الرقم “a” على رقم “b” يعطي حاصل القسمة “q” والباقي سيكون “r” ثم a=bq+r حيث . يُعرف هذا أيضًا باسم “تمهیدیه تقسيم إقليدس”(Euclid’s division lemma). يمكن تمثيل خوارزمية القسمة بكلمات بسيطة على النحو التالي:

المقسوم = القاسم × الحاصل + الباقي

دعونا نتحقق فقط من خوارزمية القسمة لبعض الأرقام. نعلم أنه عند قسمة 59 على 7، يكون حاصل القسمة 8 والباقي 3. هنا،

المقسوم = 59

القاسم = 7

الحاصل = 8

الباقي = 3

التحقق من خوارزمية القسمة:

المقسوم = القاسم × الحاصل + الباقي

59 = 7 × 8 + 3

59 = 56 + 3

59 = 59

وبالتالي، يتم التحقق من خوارزمية القسمة.

هنا مثال آخر على خوارزمية القسمة.

خوارزمية تقسيم كثيرات الحدود

تتكون كثيرات الحدود من تعبيرات جبرية بدرجات مختلفة. تسمى كثيرات الحدود من الدرجة الأولى متعددات الحدود الخطية(linear polynomials) ، وتسمى الدرجة الثانية تربيعية(quadratic polynomials ) وتسمى الدرجة الثالثة متعددة الحدود التكعيبية(cubic polynomials). أصفار هذه كثيرات الحدود هي النقاط التي تصبح فيها كثيرات الحدود صفراً. يحدث أحيانًا أن يكون لدينا بعض أصفار كثيرات الحدود ، وعلينا إيجاد الأصفار الأخرى. على سبيل المثال ، لنفترض أن كثير الحدود p (x) = x3 – 3×2 – x + 3 ، ونحن نعلم أن أحد الأصفار هو 1. ثم x – 1 يجب أن يكون عاملاً في كثير الحدود هذا. الهدف هو إيجاد اثنين من الأصفار الأخرى. في مثل هذه الحالات ، تساعدنا خوارزمية القسمة.

تقول خوارزمية قسمة كثيرات الحدود ، إذا كانت p (x) و g (x) هما متعددتي الحدود ، حيث g (x) ≠ 0 ، يمكننا كتابة قسمة كثيرات الحدود على النحو التالي: p (x) = q (x) × g (x) + r (x) ، حيث درجة r (x) <درجة g (x) و

p (x) هو المقسوم

g (x) هو القاسم

q (x) هو حاصل القسمة

r (x) هو الباقي

إذا قارنا هذا بالتقسيم المنتظم للأرقام ، يمكننا بسهولة فهم ذلك على النحو التالي:

المقسوم= (القاسم × الحاصل) + الباقي. سنتحقق من خوارزمية القسمة لكثيرات الحدود في المثال التالي.

مثال: أوجد حاصل القسمة والباقي عند قسمة كثير الحدود 4×3 + 5×2 + 5x + 8 على (4x + 1) وتحقق من النتيجة بخوارزمية القسمة.

الحل:

أولاً، نقسم كثير الحدود المعطى p (x) = 4×3 + 5×2 + 5x + 8 على g (x) = (4x + 1) باستخدام القسمة المطولة(long division).

وجدنا أن حاصل القسمة هو q (x) = x2 + x + 1 و r (x) = 7. سنتحقق الآن من خوارزمية القسمة.

P(x)=g(x).q(x)+r(x)

x3 + 5×2 + 5x + 8 = (x2 + x + 1) (4x + 1) + 7

x3 + 5×2 + 5x + 8 = 4×3 + 4×2 + 4x + x2 + x + 1 + 7

x3 + 5×2 + 5x + 8  = 4×3 + 5×2 + 5x + 8

وبالتالي، يتم التحقق من خوارزمية القسمة.

إجراء قسمة كثير الحدود على كثير حدود آخر

فيما يلي خطوات تقسيم متعدد الحدود.

الخطوة 1: رتب المقسوم والمقسوم عليه بالترتيب التنازلي لأسسهم.
الخطوة 2: ابحث عن الحد الأول من حاصل القسمة عن طريق قسمة الحد الأعلى لدرجة المقسوم على أقصى حد درجة للمقسوم عليه.
الخطوة 3: ثم اضرب المقسوم عليه في حاصل القسمة الحالي واطرح الناتج من المقسوم الحالي. سيعطي هذا عائدًا جديدًا.
الخطوة 4: ابحث عن المصطلح التالي من حاصل القسمة عن طريق قسمة أكبر حد لدرجة العائد الجديد الذي تم الحصول عليه في الخطوة 3 على أكبر حد لدرجة المقسوم عليه.
الخطوة 5: كرر الخطوتين 3 و 4 مرة أخرى حتى تصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.

دعونا نفهم هذه العملية بمثال: قسّم 2x³ + 3x² + 4x + 3 على x + 1.

هنا، p (x) = 2x³ + 3x² + 4x + 3  و g (x) = x + 1.

سوف نستخدم الخطوات المذكورة أعلاه لقسمة p (x) على g (x).

الخطوة 1: كثيرات الحدود مرتبة بالفعل بترتيب تنازلي لدرجاتها.
الخطوة 2: يتم الحصول على المصطلح الأول من حاصل القسمة عن طريق قسمة أكبر حد درجة من المقسوم على أكبر حد من الدرجة للمقسوم عليه.

المصطلح الأول :                (2x³) / x = 2x².

الخطوة 3: ثم العائد الجديد هو x² + 4x والذي يتم الحصول عليه على النحو التالي:

الخطوة 4: يتم الحصول على المصطلح الثاني من حاصل القسمة عن طريق قسمة أكبر حد درجة من العائد الجديد الذي تم الحصول عليه في الخطوة 2 على أكبر حد درجة للمقسوم عليه.

المصطلح الثاني :                     (x²) / x = x.

الخطوة 5: كرر الخطوتين 3 و 4 مرة أخرى حتى تصبح درجة الباقي أقل من درجة القسمة. ثم نحصل على حاصل القسمة 2x² + x + 3.

هنا p (x) = 2x³ + 3x³ + 4x + 3، g (x) = x + 1، q (x) = 2x² + x + 3 و r (x) = 0. حاول التحقق من خوارزمية القسمة لكثيرات الحدود الآن.

خوارزمية القسمة للمقسومات الخطية

عندما يتم قسمة كثير الحدود من الدرجة n ≥ 1 على مقسوم عليه من الدرجة 1 ، فإننا نسميها قسمة على القاسم الخطي. إن خوارزمية القسمة للمقسمات الخطية(Linear Divisors) هي نفس خوارزمية القسمة متعددة الحدود التي تمت مناقشتها فی  الأعلا باستثناء حقيقة أن المقسوم عليه من الدرجة 1.

دعونا نلقي نظرة على المثال أدنا:

 لنفترض أن p (x) = x² + x + 1 هو المقسوم و g (x) = x – 1 يكون المقسوم عليه. هنا درجة المقسوم عليه هي 1. هنا g (x) تسمى “المقسوم الخطي. دعونا نقسم p (x) على g (x).

دعنا نتحقق من خوارزمية القسمة لكثيرات الحدود هنا.

X² + x + 1 = (x-1) (x+2) + 3

x² + x + 1 = x2 + 2x – 1x – 2 + 3

x² + x + 1 = x² + x + 1

خوارزمية التقسيم للمقسومات العامة

خوارزمية القسمة للقواسم العامة هي نفس خوارزمية القسمة متعددة الحدود التي نوقشت في قسم قسمة كثير الحدود على كثير الحدود آخر. إحدى الحقائق المهمة حول هذا القسمة هي أن درجة المقسوم عليه يمكن أن تكون أي عدد صحيح موجب أقل من المقسوم.

لنأخذ مثالاً: لنفترض أن p (x) = x⁴ – 4x³ + 3x² + 2x – 1 هو المقسوم و g (x) = x2 – 2x + 1 هو المقسوم عليه. هنا درجة المقسوم عليه هي 2 ، وهي أقل من درجة المقسوم أو تساويها. سنقسم p (x) على g (x) الآن.

حاول التحقق من خوارزمية القسمة في هذه الحالة.

ملاحظات مهمة حول خوارزمية التقسيم

يمكن تقسيم كثير الحدود على كثير حدود أخرى من الدرجة الأدنى فقط.

رتب كثير الحدود المقسوم من أكبر قوة إلى أقل قوة قبل بدء القسمة.

إذا لم يكن كثير الحدود المقسوم عليه الذي تم الحصول عليه في أي خطوة من تقسيم متعدد الحدود عاملاً في المقسوم ، فهذا يعني أن الباقي الذی سيتم تركه لن یکون 0

يمكننا استخدام خوارزمية القسمة لإيجاد أحد المقسوم أو القاسم أو حاصل القسمة أو الباقي عند إعطاء الثلاثة الأخرى.

المراجع

الأول
الثاني