الدالة الأسية| Exponential function

الدالة الأسية

الدالة الأسية هي دالة رياضية يُشار إليها بالرمز f(x)= exp(x)أو ex (حيث تتم كتابة الوسيطة x كأسس). يمكن تعريفه بعدة طرق مكافئة. وقد أدى انتشارها في كل مكان في الرياضيات البحتة والتطبيقية إلى دفع عالم الرياضيات والتير رودين (Walter Rudin) إلى الاعتقاد بأن الدالة الأسية هي “أهم دالة في الرياضيات”. قيمته عند 1، e = exp(1) هو ثابت رياضي يسمى رقم أويلر.

الدالة الأسية
الصورة: الدالة الأسية الطبيعية على طول جزء من المحور الحقيقي.

الدالة الأسية
الصورة: الدوال الأسية بالقاعدتين 2 و ½.

الدالة الأسية تساوي مشتقها. وهكذا يظهر في حلول العديد من المعادلات التفاضلية.

علاوة على ذلك، فإنه يفي بالهوية

    \[ { e^{x+y}=e^{x}e^{y}{\text{ for all }}x,y\in \mathbb {C} ,} \]

والتي، جنبًا إلى جنب مع التعريف e = e1، تُظهر أن

    \[ { e^{n}=\underbrace {e\times \cdots \times e} _{n{\text{ factors}}}} \]

للأعداد الصحيحة الموجبة n، التي تربط الدالة الأسية بمفهوم الأُس الأولي.

يمكن أن تكون سعة الدالة الأسية أي عدد حقيقي أو مركب. يسمح هذا للمرء بتوسيع مفهوم الأس والذي يتم تعريفه عادةً فقط للأسس الصحيحة مثل:

    \[ { a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n{\text{ factors}}}} \]

للأعداد الصحيحة n، إلى الأس الحقيقي أو المعقدة، من خلال تعريف

 

    \[ { a^{x}:=\exp(x\ln(a))} \]

للإيجابي a و x الحقيقي أو المركب. يرتبط أسي الحجة المعقدة ارتباطًا وثيقًا بعلم المثلثات كما هو موضح في صيغة أويلر. يمكن أن تكون الحجة نوعًا مختلفًا تمامًا من الكائن الرياضي (على سبيل المثال، مصفوفة مربعة).

في الإعدادات المطبقة، تمثل الدوال الأسية علاقة يعطي فيها التغيير المستمر في المتغير المستقل نفس التغيير النسبي (أي النسبة المئوية للزيادة أو النقصان) في المتغير التابع. يحدث هذا على نطاق واسع في العلوم الطبيعية والاجتماعية، كما هو الحال في السكان الذين يتكاثرون ذاتيًا، أو في الصندوق الذي يكتسب فائدة مركبة، أو مجموعة متزايدة من الخبرة التصنيعية. وبالتالي، تظهر الدالة الأسية أيضًا في مجموعة متنوعة من السياقات في الفيزياء وعلوم الكمبيوتر والكيمياء والهندسة وعلم الأحياء الرياضي والاقتصاد.

الدالة الأسية الحقيقية هي انحراف من R  الي (0, ∞). دالتها العكسية هي اللوغاريتم الطبيعي، ويُشار إليها باسم Ln، logeأو Log بسبب هذا، تشير بعض النصوص القديمة إلى الدالة الأسية باسم antilogarithm.

تسمى الدالة الأسية أحيانًا الدالة الأسية الطبيعية لتمييزها عن الدوال الأسية الأخرى، وهي دوال النموذج f(x)=abx حيث يكون الأساس b رقمًا حقيقيًا موجبًا. يحدد تعريف

    \[ { b^{x}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ e^{x\ln b}} \]

للإيجابي b و x الحقيقي أو المركب علاقة قوية بين هاتين الدالتين، وهو ما يفسر هذا المصطلح الغامض.

رسم بياني

الرسم البياني لـ y = ex مائل لأعلى، ويزيد بشكل أسرع كلما زاد x. يقع الرسم البياني دائمًا فوق المحور x، ولكنه يصبح قريبًا منه بشكل عشوائي بالنسبة لـ x سالب كبير؛ وبالتالي، فإن المحور x هو خط مقارب أفقي. تعني المعادلة

    \[ { {\tfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}} \]

أن ميل مماس الرسم البياني عند كل نقطة يساوي إحداثي y عند تلك النقطة.

بالنسبة الدوال الأسية الأكثر عمومية

تسمى الدالة الأسية f(x) = ex أحيانًا الدالة الأسية الطبيعية لتمييزها عن الدوال الأسية الأخرى. يمكن بسهولة اختزال دراسة أي دالة أسية إلى تلك الخاصة بالدالة الأسية الطبيعية، حسب التعريف، للإيجابية b،

    \[ { ab^{x}:=ae^{x\ln b}} \]

كوظائف لمتغير حقيقي، تتميز الدوال الأسية بشكل فريد بحقيقة أن مشتق هذه الدالة يتناسب طرديًا مع قيمة الدالة. ثابت التناسب في هذه العلاقة هو اللوغاريتم الطبيعي للقاعدة b:

    \[ { {\frac {d}{dx}}b^{x}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {d}{dx}}e^{x\ln(b)}=e^{x\ln(b)}\ln(b)=b^{x}\ln(b).} \]

بالنسبة إلى b> 1، تتزايد الدالة bx (كما هو موضح في b = e و b = 2)، لأن ln b>0 تجعل المشتق موجبًا دائمًا؛ بينما بالنسبة لـ b <1، تتناقص الدالة (كما هو موضح في b = ½)؛ وبالنسبة إلى b = 1، تكون الدالة ثابتة.

رقم أويلر e = 2.71828… هو الأساس الفريد الذي يكون فيه ثابت التناسب هو 1، منذ ln(e) = 1، بحيث تكون الدالة مشتقًا خاصًا بها:

    \[ { {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\ln€=e^{x}.} \]

هذه الدالة، التي يشار إليها أيضًا باسم exp x، تسمى “الدالة الأسية الطبيعية”، أو ببساطة “الدالة الأسية”. نظرًا لأنه يمكن كتابة أي دالة أسية من حيث الأسي الطبيعي مثل bx = exlnb، فمن الملائم من الناحية الحسابية والمفاهيمية تقليل دراسة الدوال الأسية إلى هذه الدالة بالذات. يتم الإشارة إلى الأسي الطبيعي من خلال:

    \[ { x\mapsto e^{x}} or {\displaystyle x\mapsto \exp x.} \]

يتم استخدام الترميز السابق بشكل شائع للأسس الأبسط، بينما يُفضل الأخير عندما يكون الأس تعبيرًا معقدًا.

للأرقام الحقيقية c و d، دالة على شكل abcx+d = f(x) هي أيضًا دالة أسية، حيث يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

    \[ { ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.} \]

تعريف رسمي

Gif: الدالة الأسية (باللون الأزرق)، ومجموع أول n + 1 من سلسلتها الأسية (باللون الأحمر).

يمكن وصف الدالة الأسية الحقيقية exp R → R بعدة طرق مكافئة. يتم تعريفه بشكل عام من خلال سلسلة الطاقة التالية:

    \[ {\ \exp x:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+\cdots } \]

نظرًا لأن نصف قطر التقارب لسلسلة القدرة هذه غير محدود، فإن هذا التعريف، في الواقع، ينطبق على جميع الأعداد المركبة x∈C. يمكن بعد ذلك تعريف الثابت e على أنه

    \[ {\textstyle e=\exp 1=\sum _{k=0}^{\infty }(1/k!).} \]

يكشف التمايز مصطلحًا بمصطلح لسلسلة القوة هذه أن

    \[ { {\frac {d}{dx}}\exp x=\exp x} \]

لجميع أنواع x الحقيقية، مما يؤدي إلى توصيف مشترك آخر لـ exp x باعتباره الحل الفريد للمعادلة التفاضلية

    \[ { y'(x)=y(x),} \]

استيفاء الشرط الأولي y(0) = 1

بناءً على هذا التوصيف، تُظهر قاعدة السلسلة أن دالتها العكسية، اللوغاريتم الطبيعي، ترضي

    \[ { {\frac {d}{dy}}\log _{e}y=1/y} \]

لـ

    \[ { y>0,} \]

او

    \[ {\textstyle \log _{e}y=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.}{\textstyle \log _{e}y=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.} \]

تؤدي هذه العلاقة إلى تعريف أقل شيوعًا للدالة الأسية الحقيقية exp x كحل y للمعادلة:

    \[ { x=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.} \]

عن طريق نظرية ذات الحدين وتعريف سلسلة الطاقة، يمكن أيضًا تعريف الدالة الأسية على أنها الحد التالي:

    \[ { \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.} \]

يمكن إثبات أن كل حل مستمر غير صفري للمعادلة الدالة f(x+y)=f(x)f(y) هو دالة أسية

    \[  { f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto e^{kx},} \]

مع

    \[ { k\in \mathbb {R} .} \]

.

ملخص

Gif: المنحنى الأحمر هو الدالة الأسية. توضح الخطوط الأفقية السوداء مكان تقاطعها مع الخطوط الرأسية الخضراء.

تنشأ الدالة الأسية عندما تنمو الكمية أو تتحلل بمعدل يتناسب مع قيمتها الحالية. أحد هذه المواقف هو الاهتمام المركب باستمرار، وفي الواقع كانت هذه الملاحظة هي التي قادت جاكوب برنولي في عام 1683 إلى الرقم

    \[ {\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} \]

المعروف الآن باسم e. في وقت لاحق، في عام 1697، درس يوهان برنولي حساب التفاضل والتكامل للدالة الأسية.

إذا كان المبلغ الأساسي 1 يربح فائدة بمعدل سنوي x مركب شهريًا، فإن الفائدة المكتسبة كل شهر هي x/12 ضعف القيمة الحالية، لذلك كل شهر يتم ضرب إجمالي القيمة بـ (1 + x/12)، و القيمة في نهاية العام هي (1 + x/12)12. إذا تم بدلاً من ذلك مضاعفة الفائدة يوميًا، يصبح هذا (1 + x/365)365. يؤدي السماح لعدد الفواصل الزمنية في السنة بالنمو دون قيود إلى تعريف محدود للدالة الأسية،

    \[ { \exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}} \]

قدمها لأول مرة ليونارد أويلر. هذا واحد من عدد من توصيفات الدالة الأسية؛ يتضمن البعض الآخر معادلات متسلسلة أو تفاضلية.

من أي من هذه التعريفات، يمكن إثبات أن الدالة الأسية تخضع لهوية الأس الأساسية،

    \[ { \exp(x+y)=\exp x\cdot \exp y} \]

الذي يبرر الترميز ex لـ exp x.

مشتق (معدل التغيير) للدالة الأسية هو الدالة الأسية نفسها. بشكل عام، فإن الدالة ذات معدل التغيير المتناسب مع الدالة نفسها (وليس مساويًا لها) يمكن التعبير عنها من حيث الدالة الأسية. تؤدي خاصية الدالة هذه إلى النمو الأسي أو الاضمحلال الأسي.

تمتد الدالة الأسية إلى دالة كاملة على المستوى المعقد. تربط صيغة أويلر قيمها في حجج خيالية بحتة بالدوال المثلثية. تحتوي الدالة الأسية أيضًا على نظائرها حيث تكون الوسيطة عبارة عن مصفوفة، أو حتى عنصر من عناصر جبر باناخ أو جبر لي.

المشتقات والمعادلات التفاضلية

الدالة الأسية
الصورة: مشتق الدالة الأسية يساوي قيمة الدالة. من أي نقطة P على المنحنى (أزرق)، دع خطًا مماسًا (أحمر)، وخطًا رأسيًا (أخضر) بارتفاع h، لتشكيل مثلث قائم الزاوية بقاعدة ب على المحور س. نظرًا لأن ميل خط المماس الأحمر (المشتق) عند P يساوي نسبة ارتفاع المثلث إلى قاعدة المثلث (الارتفاع على المدى)، والمشتق يساوي قيمة الدالة، يجب أن يكون h مساويًا لـ نسبة h إلى b. لذلك، يجب أن تكون القاعدة b دائمًا 1.

تنبع أهمية الدالة الأسية في الرياضيات والعلوم بشكل أساسي من خاصيتها باعتبارها الوظيفة الفريدة التي تساوي مشتقها وتساوي 1 عندما x = 0. أي،

    \[ { {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.} \]

دوال النموذج cex للثابت c هي الدوال الوحيدة التي تساوي مشتقها (بواسطة نظرية Picard-Lindelöf). تشمل الطرق الأخرى لقول نفس الشيء ما يلي:

  • ميل الرسم البياني في أي نقطة هو ارتفاع الدالة عند تلك النقطة.
  • معدل زيادة الدالة عند x يساوي قيمة الدالة عند x.
  • الدالة تحل المعادلة التفاضلية y′ = y.
  • Exp هي نقطة مشتقة ثابتة كدالة.

إذا كان معدل نمو أو اضمحلال متغير ما متناسبًا مع حجمه – كما هو الحال في النمو السكاني غير المحدود (انظر كارثة Malthusian)، أو الفائدة المركبة باستمرار، أو الاضمحلال الإشعاعي – فيمكن عندئذٍ كتابة المتغير كأوقات ثابتة دالة أسية للوق. صراحة لأي ثابت حقيقي k، الدالة f: R → R ترضي f′ = kf إذا وفقط إذا كانت f(x) = cekx لبعض الثابت c. يسمى الثابت k ثابت الانحلال أو ثابت التفكك أو ثابت المعدل أو ثابت التحول.

علاوة على ذلك، لأي دالة قابلة للتفاضل f، نجد، بقاعدة السلسلة:

    \[ { {\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}.} \]

الكسور المستمرة لـ ex

يمكن الحصول على كسر تابع لـ ex عبر هوية أويلر:

يتقارب الكسر المستمر المعمم التالي لـ ez بسرعة أكبر:

أو بتطبيق الاستبدال z = x/y:

مع حالة خاصة لـ z = 2:

تتقارب هذه الصيغة أيضًا، وإن كان ذلك أبطأ، بالنسبة لـ z> 2. على سبيل المثال:

photo

للمزيد اقرأ: صيغة متعددة الوجوه لأويلر

مستوى عقدي

الصورة: قطعة أرض معقدة من exp z z →، مع تمثيل الوسيطة Arg exp z بدرجات متفاوتة. يظهر الانتقال من الألوان الداكنة إلى الفاتحة أن |exp z| تتزايد فقط إلى اليمين. تشير النطاقات الأفقية الدورية المقابلة لنفس الصبغة إلى أن z → exp z دورية في الجزء التخيلي من z.

كما في الحالة الحقيقية، يمكن تعريف الدالة الأسية على المستوى المعقد بعدة أشكال مكافئة. يوازي التعريف الأكثر شيوعًا للدالة الأسية المعقدة تعريف سلسلة الطاقة للحجج الحقيقية، حيث يتم استبدال المتغير الحقيقي بمتغير معقد:

    \[ { \exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}} \]

بدلاً من ذلك، يمكن تعريف الدالة الأسية المعقدة عن طريق نمذجة تعريف الحد للحجج الحقيقية، ولكن مع استبدال المتغير الحقيقي بمتغير معقد:

    \[ { \exp z:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}} \]

بالنسبة لتعريف سلسلة القوة، يُظهر الضرب حسب المصطلح لنسختين من سلسلة القوى هذه بالمعنى الكوشي، الذي تسمح به نظرية ميرتنز، أن الخاصية المضاعفة المحددة للدول الأسية تستمر في الحفاظ على جميع الحجج المعقدة:

    \[ { \exp(w+z)=\exp w\exp z{\text{ for all }}w,z\in \mathbb {C} } \]

يؤدي تعريف الدالة الأسية المعقدة بدوره إلى التعريفات المناسبة لتوسيع الدوال المثلثية إلى الحجج المعقدة.

على وجه الخصوص، عندما z = it (t real)، ينتج عن تعريف السلسلة التوسع:

    \[ { \exp(it)=\left(1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots \right).} \]

في هذا التوسع، يتم تبرير إعادة ترتيب الحدود إلى أجزاء حقيقية وخيالية من خلال التقارب المطلق للسلسلة. يتوافق الجزءان الحقيقي والخيالي من التعبير أعلاه في الواقع مع تمديدات سلسلة cos t و sin t على التوالي.

توفر هذه المراسلات الدافع لتعريف جيب التمام والجيب لجميع الحجج المعقدة من حيث (±iz) وسلسلة القوة المكافئة:

    \[ { {\begin{aligned}\cos z&:={\frac {\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}},\quad {\text{and}}\\\sin z&:={\frac {\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}{\text{for all }}z\in \mathbb {C} .} \]

الدوال exp و cos و sin التي تم تعريفها على هذا النحو لها أنصاف أقطار لانهائية من التقارب من خلال اختبار النسبة وبالتالي فهي وظائف كاملة (أي، هولومورفيك على C. نطاق الدالة الأسية هو C\{0}، بينما نطاقات الجيب المركب وجيب التمام الدوال هي C في مجملها، وفقًا لنظرية بيكارد، التي تؤكد أن نطاق الدالة الكاملة غير الثابتة هو إما C، أو C باستثناء قيمة واحدة مجوفة.

تؤدي هذه التعريفات للدول الأسية والمثلثية بشكل تافه إلى صيغة أويلر:

    \[ { \exp(iz)=\cos z+i\sin z{\text{ for all }}z\in \mathbb {C} } \]

يمكننا بدلاً من ذلك تحديد الدالة الأسية المعقدة بناءً على هذه العلاقة. إذا كانت z = x + iy، حيث x و y كلاهما حقيقي، فيمكننا تعريف الأسي على أنه

    \[ { \exp z=\exp(x+iy):=(\exp x)(\cos y+i\sin y)} \]

حيث يتم تفسير exp و cos و sin على الجانب الأيمن من علامة التعريف على أنها دوال لمتغير حقيقي، تم تعريفه مسبقًا بوسائل أخرى.

بالنسبة إلى t∈R، تظل العلاقة exp(-it)=exp(it) صحيحة، بحيث يقوم |exp(it)|=1 لـ t الحقيقي و t→exp(it) بتعيين الخط الحقيقي  (mod 2π) إلى دائرة الوحدة في المستوى المركب. علاوة على ذلك، بالانتقال من t = 0 إلى t = t0 يتتبع المنحنى المحدد بواسطة y(t)=exp(it) مقطعًا من دائرة وحدة الطول

    \[ { \int _{0}^{t_{0}}|\gamma '(t)|dt=\int _{0}^{t_{0}}|i\exp(it)|dt=t_{0}} \]

بدءًا من z = 1 في المستوى المركب والذهاب عكس اتجاه عقارب الساعة. بناءً على هذه الملاحظات وحقيقة أن قياس الزاوية بالراديان هو طول القوس على دائرة الوحدة المقابلة للزاوية، فمن السهل أن نرى، مقيدًا بالحجج الحقيقية، أن دالات الجيب وجيب التمام على النحو المحدد أعلاه تتطابق مع دوال الجيب وجيب التمام كما تم تقديمها في الرياضيات الأولية عبر المفاهيم الهندسية.

تعتبر الدالة الأسية المعقدة دورية مع الفترة 2πi و exp(x+2πik) صالحة لجميع z∈C، k∈Z .

عندما يمتد مجالها من الخط الحقيقي إلى المستوى المعقد، تحتفظ الدالة الأسية بالخصائص التالية:

    \[ { {\begin{aligned}e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,\\e^{0}=1\,\\e^{z}\neq 0\\{\tfrac {d}{dz}}e^{z}=e^{z}\\\left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} \end{aligned}}{\text{ for all }}w,z\in \mathbb {C} } \]

يؤدي توسيع اللوغاريتم الطبيعي إلى وسيطات معقدة إلى إنتاج اللوغاريتم المركب log z، وهو دالة متعددة القيم.

يمكننا بعد ذلك تحديد الأس الأكثر عمومية:

    \[ z^{w}=e^{w\log z} \]

لجميع الأعداد المركبة z و w. هذه أيضًا دالة متعددة القيم، حتى عندما تكون z حقيقية. يعد هذا التمييز مشكلة، حيث يتم الخلط بسهولة بين الدالات متعددة القيم log z و zw مع مكافئاتها أحادية القيمة عند استبدال رقم حقيقي لـ z. يجب تعديل القاعدة الخاصة بضرب الأسس في حالة الأعداد الحقيقية الموجبة في سياق متعدد القيم:

 (ez)w ≠ ezw, ، لكن بالأحرى  (ez)w = e(z + 2niπ)w متعدد القيم على الأعداد الصحيحة n

انظر فشل هويات القوة واللوغاريتم لمزيد من المعلومات حول مشاكل الجمع بين القوى.

تقوم الدالة الأسية بتعيين أي خط في المستوى المركب إلى حلزوني لوغاريتمي في المستوى المركب مع المركز في الأصل. توجد حالتان خاصتان: عندما يكون الخط الأصلي موازيًا للمحور الحقيقي، فإن اللولب الناتج لا ينغلق على نفسه؛ عندما يكون الخط الأصلي موازيًا للمحور التخيلي، يكون اللولب الناتج عبارة عن دائرة نصف قطرها.

قطع ثلاثية الأبعاد لجزء حقيقي، وجزء تخيلي، ومعامل للدالة الأسية.

الدالة الأسية
الصورة: z = Re(ex + iy)

الدالة الأسية
الصورة: z = Im(ex + iy)

الدالة الأسية
الصورة: z = |ex + iy|

النظر إلى الدالة الأسية المعقدة كدالة تتضمن أربعة متغيرات حقيقية:

    \[ { v+iw=\exp(x+iy)} \]

الرسم البياني للدالة الأسية هو سطح ثنائي الأبعاد ينحني من خلال أربعة أبعاد.

بدءًا من الجزء المرمز بالألوان من النطاق xy، فيما يلي صور للرسم البياني كما تم إسقاطه بشكل متنوع في بعدين أو ثلاثة أبعاد.

الرسوم البيانية للدالة الأسية المعقدة

الدالة الأسية

مفتاح لوحة المدقق:

    \[ { x>0:\;{\text{green}}} \]

    \[ { x<0:\;{\text{red}}} \]

    \[ { y>0:\;{\text{yellow}}} \]

الدالة الأسية
الصورة : الإسقاط على مستوى مجمع المدى (V / W). قارن بالصورة التالية المنظور.

    \[ { y<0:\;{\text{blue}}} \]

الدالة الأسية
الصورة :الإسقاط في الأبعاد x وv وw، مما ينتج عنه قرن متوهج أو شكل قمعي (متصور كصورة منظور ثنائي الأبعاد).

الدالة الأسية
 الصورة :الإسقاط في الأبعاد y و v و w، مما ينتج عنه شكل حلزوني. (تم تمديد النطاق y إلى ±2π  مرة أخرى كصورة منظور ثنائية الأبعاد).

تُظهر الصورة الثانية كيف يتم تعيين مستوى مجمع المجال في مستوى مجمع النطاق:

  • يتم تعيين الصفر على 1
  • يتم تعيين المحور x الحقيقي إلى المحور الحقيقي الموجب v
  • يتم لف المحور y التخيلي حول دائرة الوحدة بمعدل زاوي ثابت
  • يتم تعيين القيم ذات الأجزاء الحقيقية السالبة داخل دائرة الوحدة
  • يتم تعيين القيم ذات الأجزاء الحقيقية الموجبة خارج دائرة االوحد
  • يتم تعيين القيم ذات الجزء الحقيقي الثابت إلى الدوائر المتمركزة عند الصفر
  • يتم تعيين القيم ذات الجزء التخيلي الثابت للأشعة الممتدة من الصفر

توضح الصورتان الثالثة والرابعة كيف يمتد الرسم البياني في الصورة الثانية إلى أحد البعدين الآخرين غير الموضحين في الصورة الثانية.

تُظهر الصورة الثالثة الرسم البياني ممتدًا على طول المحور الحقيقي x. يُظهر الرسم البياني سطحًا للثورة حول المحور  xللرسم البياني للدالة الأسية الحقيقية، مما ينتج عنه شكل قرن أو قمع.

تُظهر الصورة الرابعة الرسم البياني ممتدًا على طول المحور y التخيلي. إنه يوضح أن سطح الرسم البياني لقيم y الموجبة والسالبة لا يلتقيان فعليًا على طول المحور الحقيقي السالب v، ولكنه بدلاً من ذلك يشكل سطحًا حلزونيًا حول المحور {y}. نظرًا لأن قيمها y قد تم تمديدها إلى ± 2π ، فإن هذه الصورة تصور أيضًا بشكل أفضل الدورية  2π  في قيمة y التخيلية.

حساب ab حيث يكون كل من a و b معقدين

يمكن تعريف الأُس المعقد ab عن طريق تحويل a إلى إحداثيات قطبية واستخدام الهوية (eln a)b = ab:

    \[ { a^{b}=\left(re^{\theta i}\right)^{b}=\left(e^{(\ln r)+\theta i}\right)^{b}=e^{\left((\ln r)+\theta i\right)b}} \]

ومع ذلك، عندما لا تكون b عددًا صحيحًا، فإن هذه الدالة متعددة القيم، لأن ليست فريدة.

المصفوفات و جبرالبناخ

يعتبر تعريف سلسلة القوة للدالة الأسية منطقيًا للمصفوفات المربعة (التي تسمى الدالة لها المصفوفة الأسية) وبشكل أكثر عمومية في أي جبر باناخ أحادي B. X لأي x في B. في هذا الإعداد، يكون e0=1 و ex قابلين للانعكاس مع e-x معكوس لأي x في B.

إذا كانت xy = yx، إذن ex + y = exey، ولكن يمكن أن تفشل هذه المطابقة لعدم الالتزام بـ x و y.

بعض التعريفات البديلة تؤدي إلى نفس الدالة. على سبيل المثال، يمكن تعريف ex على النحو التالي:

    \[ { \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.} \]

أو يمكن تعريف ex على أنه fx(1)، حيث fx: R → B هو حل المعادلة التفاضلية.

dfx/dt (t) = xfx(t)، بالشرط الأولي fx(0) = 1؛ يتبع ذلك fx(t) = etx لكل t في R.

 الجيراة لاي

بالنظر إلى مجموعة الكذب G وما يرتبط بها من جبر لاي g، فإن الخريطة الأسية هي خريطة g→G تحقق خصائص مماثلة. في الواقع، نظرًا لأن R هي جبر الكذب لمجموعة لي لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة تحت الضرب، فإن الدالة الأسية العادية للحجج الحقيقية هي حالة خاصة لحالة جبر اللاي. وبالمثل، نظرًا لأن مجموعة لاي GL(n، R) لمصفوفات n × n القابلة للانعكاس لها مثل Lie algebra M(n، R)، وهي مساحة جميع مصفوفات n × n، فإن الوظيفة الأسية للمصفوفات المربعة هي حالة خاصة من كذبة الجبر خريطة أسية.

الهوية exp(x + y) = exp x exp y يمكن أن تفشل لعناصر الكذب في الجبر x و y التي لا تنتقل؛ توفر صيغة Baker–Campbell–Hausdorff formula شروط التصحيح اللازمة.

دالة متسامية

الدالة ez ليست في C(z) (أي أنها ليست حاصل قسمة اثنين من كثيرات الحدود ذات المعاملات المعقدة). بالنسبة لعدد n من الأعداد المركبة {a1،…، an}، تكون المجموعة {ea1z، …، eanz} مستقلة خطيًا على C(z).

الدالة ez هي دالة متسامية C(z).

حساب

عند حساب (تقريب) الدالة الأسية بالقرب من الوسيطة 0، ستكون النتيجة قريبة من 1، وقد يؤدي حساب قيمة الفرق exp x-1 بحساب الفاصلة العائمة إلى فقدان (ربما جميع) الأرقام المهمة، مما يؤدي إلى إنتاج خطأ حسابي كبير، وربما حتى نتيجة لا معنى لها.

بعد اقتراح من William Kahan، قد يكون من المفيد أن يكون لديك روتين مخصص، غالبًا ما يسمى expm1، للحوسبة ex – 1 مباشرةً، وتجاوز حساب ex. على سبيل المثال، إذا تم حساب الأسي باستخدام سلسلة Taylor الخاصة به

    \[ { e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots ,} \]

يمكن للمرء استخدام سلسلة من ex-1 تايلور.

    \[ { e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .} \]

تم تنفيذ هذا لأول مرة في عام 1979 في آلة حاسبة هوليت-باكارد Hewlett-Packard HP-41C، وتم توفيره بواسطة العديد من الآلات الحاسبة وأنظمة التشغيل (على سبيل المثال Berkeley UNIX 4.3BSD) وأنظمة الجبر الحاسوبية ولغات البرمجة (على سبيل المثال C99).

بالإضافة إلى القاعدة e، يحدد معيار IEEE 754-2008 وظائف أسية مماثلة بالقرب من 0 للقاعدة 2 و 10:

    \[ { 10^{x}-1} \]

و

    \[  {\ 2^{x}-1} \]

تم استخدام نهج مماثل للوغاريتم.

هوية من حيث الظل الزائدي،

    \[ { \operatorname {expm1} (x)=e^{x}-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},} \]

يعطي قيمة عالية الدقة لقيم صغيرة لـ x على الأنظمة التي لا تطبق expm1 (x).

منشور ذات صلة
هل 52 عدد زوجي أم فردي؟ 1 Minutes

هل 52 عدد زوجي أم فردي؟

عاطفة عكرش

إذا كان الرقم الأخير هو 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8، فإن الرقم يكون زوجيًا، وإذا كان 1، 3 أو 5 أو 7 أو 9 فهو رقم فردي. الرقم الأخير في 52 هو 2، لذلك 52 عدد زوجي.

المنشور 4 Minutes

المنشور| Prism

عاطفة عكرش

المنشور له شكل صلب يتكون من طرفين متطابقين (مثل مثلث، مربع، مستطيل و.. )، وجوه مسطحة أو أسطح ومقطع عرضي منتظم عبر طوله. المقطع العرضي يشبه المثلث ومن ثم يسمى المنشور الثلاثي.

فكره واحده بخصوص “الدالة الأسية| Exponential function

  1. احلام

    يسعدني التعرف على هذا الموقع، انا أبحث عن مقال لأقرأ عن الزوايا المختلفة.

    مارس 30, 2022 - 5:13 ص

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة