بيير دي فيرمات

كان بيير دي فيرمات (بين 31 أكتوبر و 6 ديسمبر 1607 – 12 يناير 1665) عالم رياضيات فرنسيًا نُسب إليه الفضل في التطورات المبكرة التي أدت إلى حساب التفاضل والتكامل متناهى الصغر، بما في ذلك أسلوبه في التكافؤ. على وجه الخصوص، تم التعرف عليه لاكتشافه طريقة أصلية لإيجاد أكبر وأصغر إحداثيات للخطوط المنحنية، والتي تماثل تلك الخاصة بحساب التفاضل، ثم غير معروف، وبحثه في نظرية الأعداد. قدم مساهمات ملحوظة في الهندسة التحليلية، والاحتمالات، والبصريات. اشتهر بمبدأ فيرمات الخاص به عن انتشار الضوء ونظرية فيرما الأخيرة في نظرية الأعداد، والتي وصفها في ملاحظة على هامش نسخة من ديوفانتوس أريثميتيكا (كتاب). وكان أيضًا محاميًا في برلمان تولوز بفرنسا.

نظرية فيرما الأخيرة

سيرة حياة بيير دي فيرمات

وُلِد فيرمات عام 1607 في بومون دي لوماني بفرنسا – أصبح القصر الذي يعود تاريخه إلى أواخر القرن الخامس عشر والذي ولد فيه فيرما متحفًا الآن. كان من جاسكوني، حيث كان والده دومينيك فيرمات تاجر جلود ثريًا وخدم ثلاث فترات لمدة عام واحد كأحد القناصل الأربعة في بومون دي لوماني. كانت والدته كلير دي لونج. كان لبيير أخ واحد وأختان، ومن شبه المؤكد أنه نشأ في المدينة التي ولد فيها.

التحق بجامعة أورليان من عام 1623 وحصل على البكالوريوس في القانون المدني عام 1626، قبل أن ينتقل إلى بوردو. في بوردو، بدأ أول أبحاثه الرياضية الجادة، وفي عام 1629 قدم نسخة من ترميمه لكتاب أبولونيوس دي لوكيس بلانيس إلى أحد علماء الرياضيات هناك. بالتأكيد، في بوردو كان على اتصال بـ Beaugrand وخلال هذا الوقت أنتج عملاً هامًا حول الحد الأقصى والحد الأدنى الذي قدمه لـ Etienne d’Espagnet الذي شارك بشكل واضح الاهتمامات الرياضية مع Fermat. هناك تأثر كثيرًا بعمل فرانسوا فييت.

في عام 1630، اشترى مكتب مستشار في Parlement de Toulouse، إحدى المحاكم العليا للقضاء في فرنسا، وأدى اليمين أمام Grand Chambre في مايو 1631. شغل هذا المنصب لبقية حياته. وبذلك أصبح من حق فيرمات تغيير اسمه من بيير فيرمات إلى بيير دي فيرمات. في 1 يونيو 1631، تزوج فيرما من لويز دي لونج، ابن عم رابع لوالدته كلير دي فيرمات (ني دي لونج). أنجبت عائلة فيرمات ثمانية أطفال، خمسة منهم بقوا على قيد الحياة حتى سن الرشد: كليمان صموئيل، وجان، وكلير، وكاثرين، ولويز.

يتقن فيرمات ست لغات (الفرنسية واللاتينية والأوكيتانية واليونانية الكلاسيكية والإيطالية والإسبانية)، وقد تم الإشادة بفيرمات لشعره المكتوب بعدة لغات، وتم طلب نصيحته بشغف فيما يتعلق بتحرير النصوص اليونانية. كان ينقل معظم أعماله في رسائل إلى الأصدقاء، غالبًا مع القليل من الأدلة أو لا دليل على نظرياته. في بعض هذه الرسائل الموجهة لأصدقائه، استكشف العديد من الأفكار الأساسية لحساب التفاضل والتكامل قبل نيوتن أو لايبنيز. كان فيرما محامياً مدرباً في جعل الرياضيات هواية أكثر من كونها مهنة. ومع ذلك، فقد قدم مساهمات مهمة في الهندسة التحليلية والاحتمالات ونظرية الأعداد وحساب التفاضل والتكامل. كانت السرية شائعة في الدوائر الرياضية الأوروبية في ذلك الوقت. أدى هذا بطبيعة الحال إلى نزاعات ذات أولوية مع معاصرين مثل ديكارت وواليس.

يكتب أندرس هالد أن:

“أساس رياضيات فيرما كان الأطروحات اليونانية الكلاسيكية جنبًا إلى جنب مع طرق فيتا الجبرية الجديدة.”

بيير دي فيرمات
بيير دي فيرمات

اعمال بيير دي فيرمات

تم تعميم عمل فيرما الرائد في الهندسة التحليلية (Methodus ad disquirendam maximam et de tangentibus linearum curvarum) في شكل مخطوطة في عام 1636 (استنادًا إلى النتائج التي تم تحقيقها في عام 1629)، قبل نشر كتاب ديكارت الشهير La géométrie (1637) التي استغلت العمل. نُشرت هذه المخطوطة بعد وفاته في عام 1679 في Varia opera mathematica، باسم Ad Locos Planos et Solidos Isagoge (مقدمة إلى المحاور المستوية والصلبة).

في Methodus ad disquirendam maximam et minimam وفي De tangentibus linearum curvarum، طور فيرمات طريقة (كفاية) لتحديد القيم القصوى والدنيا والظلمات لمنحنيات مختلفة كانت مكافئة لحساب التفاضل. في هذه الأعمال، حصل فيرمات على تقنية لإيجاد مراكز الجاذبية لمختلف الأشكال المستوية والصلبة، مما أدى إلى مزيد من عمله في التربيع.

كان فيرمات أول شخص معروف بتقييم تكامل دوال القوة العامة. بفضل طريقته، تمكن من اختزال هذا التقييم إلى مجموع المتسلسلات الهندسية. كانت الصيغة الناتجة مفيدة لنيوتن، ثم لايبنيز، عندما طورا بشكل مستقل النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.

في نظرية الأعداد، درس فيرما معادلة بيل، والأعداد المثالية، والأرقام الودية وما سيصبح لاحقًا أرقام فيرما. أثناء البحث عن الأعداد المثالية اكتشف نظرية فيرما الصغيرة. اخترع طريقة التحليل إلى عوامل – طريقة عامل فيرما – ونشر الدليل من خلال النسب اللانهائي، والذي استخدمه لإثبات نظرية المثلث الأيمن لفيرمات والتي تتضمن نظرية فيرما الأخيرة للحالة n = 4.

طور فيرما نظرية المربعين، ونظرية العدد المضلع، والتي تنص على أن كل رقم هو مجموع ثلاثة أعداد مثلثة، وأربعة أعداد مربعة، وخمسة أعداد خماسية، وهكذا…

على الرغم من ادعاء فيرمات أنه أثبت جميع نظرياته الحسابية، إلا أن القليل من سجلات براهينه قد نجت. شكك العديد من علماء الرياضيات، بما في ذلك جاوس، في العديد من ادعاءاته، خاصة بالنظر إلى صعوبة بعض المشكلات والأساليب الرياضية المحدودة المتاحة لفيرمات. تم اكتشاف نظرية الأخير الشهيرة لأول مرة من قبل ابنه في الهامش في نسخة والده من طبعة ديوفانتوس، وتضمنت بيانًا بأن الهامش كان أصغر من أن يتضمن الدليل.

يبدو أنه لم يكتب لمارين ميرسين حول هذا الموضوع. تم إثباته لأول مرة في عام 1994، بواسطة السير أندرو وايلز، باستخدام تقنيات غير متوفرة لفيرمات.

من خلال مراسلاتهما عام 1654، ساعد فيرما وبليز باسكال في إرساء الأساس لنظرية الاحتمال. من هذا التعاون الموجز ولكن المثمر حول مشكلة النقاط، يُنظر إليهم الآن على أنهم مؤسسون مشتركون لنظرية الاحتمالات. يعود الفضل إلى فيرمات في إجراء أول حساب احتمالي صارم على الإطلاق. في ذلك، سأله أحد المقامر المحترف لماذا إذا راهن على رمي ما لا يقل عن ستة من كل أربع رميات من النرد، فإنه يربح على المدى الطويل، في حين أن الرهان على رمي واحد على الأقل ستة مضاعفات في 24 رمية من نردتين نتج عنها في خسارته. أظهر فيرمات رياضيا لماذا كان هذا هو الحال.

أوضح إقليدس مبدأ التباين الأول في الفيزياء في كتابه Catoptrica. تقول أنه بالنسبة لمسار الضوء المنعكس من المرآة، فإن زاوية السقوط تساوي زاوية الانعكاس. أظهر بطل الإسكندرية لاحقًا أن هذا المسار أعطى أقصر طولًا وأقل وقتًا. صقل فيرما وعمم هذا على “ينتقل الضوء بين نقطتين معينتين على طول مسار أقصر وقت” المعروف الآن بمبدأ أقل وقت. لهذا، تم التعرف على فيرما كشخصية رئيسية في التطور التاريخي للمبدأ الأساسي للعمل الأقل في الفيزياء. تم تسمية المصطلحين مبدأ فيرمات و فيرمات الدالي تقديراً لهذا الدور.

موت بيير دي فيرمات

توفي بيير دي فيرمات في 12 يناير 1665 في كاستر، في مقاطعة تارن الحالية. سميت أقدم وأعرق مدرسة ثانوية في تولوز باسمه: Lycée Pierre-de-Fermat. صنع النحات الفرنسي تيوفيل بارو تمثالًا رخاميًا اسمه Hommage à Pierre Fermat كتقدير لفيرمات، الآن في كابيتول دي تولوز.

لوحة في مكان دفن بيير دي فيرمات. مكان دفن بيير دي فيرما في ساحة جان جوريس، كاستر.

ترجمة اللوحة: في هذا المكان دفن في 13 يناير 1665، بيير دي فيرمات، مستشار في Chambre de l’Édit (محكمة أنشأها مرسوم نانت) وعالم رياضيات ذائع الصيت، احتفل به بسبب نظريته ،an + bn ≠ cn for n >2 .

بيير دي فيرمات
نصب تذكاري لفيرمات في بومونت دي لوماني في تارن وغارون، جنوب فرنسا.
بيير دي فيرمات
تمثال نصفي في قاعة هنري مارتن في كابيتول دي تولوز.
تم كتابة الثلاثية الأبعاد بخط اليد بواسطة فيرمات في 4 مارس 1660، وهي محفوظة الآن في دار المحفوظات الإدارية في هوت غارون ، في تولوز.

تقييم عمل بيير دي فيرمات

إلى جانب رينيه ديكارت، كان فيرما أحد علماء الرياضيات الرائدين في النصف الأول  من القرن السابع عشر. وفقًا لبيتر إل بيرنشتاين، في كتابه الصادر عام 1996 ضد الآلهة، كان فيرمات “عالمًا رياضيًا ذا قوة نادرة. كان مخترعًا مستقلاً للهندسة التحليلية، وساهم في التطور المبكر لحساب التفاضل والتكامل، وأجرى أبحاثًا حول وزن الأرض، وعمل على انكسار الضوء والبصريات. في سياق ما اتضح أنه مراسلات موسعة مع بليز باسكال، قدم مساهمة كبيرة في نظرية الاحتمالات. لكن تتويج فيرما كان في نظرية الأعداد “.

فيما يتعلق بعمل فيرما في التحليل، كتب إسحاق نيوتن أن أفكاره المبكرة حول التفاضل والتكامل جاءت مباشرة من “طريقة فيرما في رسم الظلال”.

كتب عالم الرياضيات في القرن العشرين أندريه ويل من عمل فيرما النظري: “إن ما نمتلكه من أساليبه في التعامل مع منحنيات الجنس 1 متماسك بشكل ملحوظ؛ ولا يزال أساس النظرية الحديثة لمثل هذه المنحنيات. ينقسم بشكل طبيعي إلى قسمين؛ الأول … يمكن أن يوصف بسهولة بطريقة الصعود، على النقيض من النسب الذي يعتبر بحق ملك فيرما. ” فيما يتعلق باستخدام فيرما للصعود، تابع ويل: “تتكون الجدة من الاستخدام الموسع للغاية الذي استخدمه فيرما منها، مما أعطاها على الأقل مكافئًا جزئيًا لما سنحصل عليه من خلال الاستخدام المنهجي للخصائص النظرية للمجموعة للنقاط المنطقية على مكعب قياسي “. بفضل موهبته في العلاقات العددية وقدرته على إيجاد البراهين للعديد من نظرياته، ابتكر فيرمات أساسًا النظرية الحديثة للأرقام.

نظرية المثلث القائم لبيير دي فيرمات

نظرية المثلث القائم لفيرمات هي دليل على عدم الوجود في نظرية الأعداد، نُشرت عام 1670 بين أعمال بيير دي فيرمات، بعد وفاته بفترة وجيزة. إنه الدليل الكامل الوحيد الذي قدمه فيرمات. لها العديد من الصيغ المكافئة، تم ذكر إحداها (ولكن لم يتم إثباتها) في عام 1225 بواسطة فيبوناتشي. تنص في أشكالها الهندسية على:

  • لا يمكن أن يكون للمثلث القائم الزاوية في المستوى الإقليدي الذي تكون أطوال أضلاعه الثلاثة أعدادًا منطقية مساحة تساوي مربع عدد نسبي. تسمى مساحة المثلث الأيمن ذي الجانب العقلاني عددًا مطابقًا، لذلك لا يمكن أن يكون أي رقم مطابق مربعًا.
  • لا يمكن لمثلث قائم الزاوية ومربع بمساحات متساوية أن تتناسب جميع الأضلاع مع بعضها البعض.
  • لا يوجد مثلثا أيمن عدد صحيح حيث يكون ضلعا أحد المثلث هو الساق والوتر للمثلث الآخر.
نظرية المثلث القائم لبيير دي فيرمات
مثلثان قائمان بقدمي أحدهما العلوي متساويان مع الساق والوتر للجزء السفلي. بالنسبة لهذه الأطوال، فإن a2 و b2 وc2  تشكل تقدمًا حسابيًا مفصولة بفجوة d2. ليس من الممكن أن تكون الأطوال الأربعة a و bوc  ووd أعدادًا صحيحة.

بشكل أكثر تجريدًا، كنتيجة حول معادلات ديوفانتين (عدد صحيح أو حلول عدد منطقي للمعادلات متعددة الحدود)، فإنه يكافئ العبارات التي:

  • إذا كانت ثلاثة أرقام مربعة تشكل تقدمًا حسابيًا، فإن الفجوة بين الأرقام المتتالية في التقدم (تسمى التطابق) لا يمكن أن تكون مربعة بحد ذاتها.
  • النقاط المنطقية الوحيدة على المنحنى الإهليلجي y2 = x(x-1)(x + 1) هي النقاط التافهة الثلاث مع x ϵ {-1, 0, 1} و y = 0.
  • لا تحتوي المعادلة الرباعية x4 – y4 = z2 على حل عدد صحيح غير صفري.

النتيجة المباشرة لآخر هذه الصيغ هي أن نظرية فيرما الأخيرة صحيحة في الحالة الخاصة أن الأس هو 4.

الصياغة

المربعات في التقدم الحسابي

في عام 1225، تحدى الإمبراطور فريدريك الثاني عالم الرياضيات فيبوناتشي للمشاركة في مسابقة رياضية ضد العديد من علماء الرياضيات الآخرين، مع ثلاث مشاكل وضعها فيلسوف بلاطه جون باليرمو. طلبت أول هذه المسائل ثلاثة أعداد منطقية كانت مربعاتها متباعدة بشكل متساوٍ بخمس وحدات، وحلها فيبوناتشي بالأرقام الثلاثة 31/12، 41/12 و 49/12. في كتاب المربعات، الذي نشره فيبوناتشي في وقت لاحق من نفس العام، حل المشكلة الأكثر عمومية المتمثلة في إيجاد ثلاثة أرقام مربعة متباعدة بشكل متساوٍ عن بعضها البعض، مشكلاً تقدمًا حسابيًا. وصف فيبوناتشي الفجوة بين هذه الأرقام بأنها متطابقة. تتمثل إحدى طرق وصف حل فيبوناتشي في أن الأرقام المراد تربيعها هي فرق الأرجل والوتر ومجموع أرجل مثلث فيثاغورس، وأن التطابق يساوي أربعة أضعاف مساحة المثلث نفسه. لاحظ فيبوناتشي أنه من المستحيل أن يكون التطابق عددًا مربعًا بحد ذاته ة، لكنه لم يقدم دليلًا مرضيًا على هذه الحقيقة.

إذا كان من الممكن أن تشكل ثلاثة مربعات a2 و b2 و c2 تقدمًا حسابيًا كان تطابقه هو أيضًا مربع d2، فإن هذه الأرقام ترضي معادلات ديوفانتين

a2 + d2 = b2

b2 + d2 = c2

أي، من خلال نظرية فيثاغورس، سيشكلون مثلثين أيمن من جانب عدد صحيح حيث يعطي الزوج (d ،بb) ساقًا واحدة، ويشكل وتر المثلث الأصغر ونفس الزوج أيضًا الاثنين أرجل المثلث الأكبر. ولكن إذا (كما أكد فيبوناتشي) لا يمكن أن توجد تطابقات مربعة، فلا يمكن أن يكون هناك اثنان من المثلثات القائمة الصحيحة التي تشترك في ضلعين بهذه الطريقة.

مناطق المثلثات القائمة

نظرًا لأن الأعداد هي بالضبط الأرقام التي تساوي أربعة أضعاف مساحة مثلث فيثاغورس، والضرب في أربعة لا يغير ما إذا كان الرقم مربعًا، فإن وجود تطابق مربع يعادل وجود مثلث فيثاغورس بمساحة مربعة . إن هذا النوع من المشكلة هو ما يهم برهان فيرما: إنه يوضح أنه لا يوجد مثل هذا المثلث. عند النظر في هذه المشكلة، لم يكن فيرما مستوحى من Fibonacci ولكن من إصدار Arithmetica بواسطة Diophantus، الذي نُشر في ترجمة إلى الفرنسية عام 1621 بواسطة Claude Gaspar Bachet de Méziriac. وصف هذا الكتاب العديد من المثلثات اليمنى الخاصة التي تحتوي مناطقها على أشكال مرتبطة بالمربعات، لكنه لم يأخذ في الاعتبار حالة المناطق التي كانت هي نفسها مربعة.

عن طريق إعادة ترتيب المعادلات لمثلثي فيثاغورس أعلاه، ثم ضربهما معًا، يحصل المرء على معادلة ديوفانتاين المفردة

b4 – d4 = (b2 – d2) (b2 + d2) = a2c2

والتي يمكن تبسيطها بإدخال متغير جديد {e = ac} إلى

b4 – d4 = e2

على العكس من ذلك، فإن أي ثلاثة أعداد صحيحة موجبة تخضع للمعادلة b4 – d4 = e2 تؤدي إلى تطابق مربع: بالنسبة لهذه الأرقام، فإن المربعات 2(b4 – d4 – 2b2 d2) ، 2(b4 + d4)  و (b4 – d4 – 2b2d2)2  تشكل تقدمًا حسابيًا باستخدام  4b2d2(b4 – d4) = (2bde)2وهو مربع بحد ذاته. وبالتالي، فإن قابلية حل  b4 – d4 = e2 تعادل وجود تطابق مربع.  ولكن، إذا كانت نظرية فيرما الأخيرة تحتوي على مثال مضاد للأس 4، حل صحيح للمعادلة x4 + y4 = z4، ثم تربيع أحد الأرقام الثلاثة في المثال المقابل ستعطي ثلاثة أعداد تحل المعادلة b4 – d4 = e2. لذلك، فإن إثبات فيرما أنه لا يوجد مثلث فيثاغورس له مساحة مربعة يدل على حقيقة حالة الأس 4- لنظرية فيرما الأخيرة.

تتضمن الصيغة المكافئة الأخرى لنفس المشكلة أرقامًا متطابقة، وهي الأعداد التي تمثل مساحات من المثلثات القائمة التي تمثل أضلاعها الثلاثة أعدادًا منطقية. بضرب الأضلاع في قاسم مشترك، يمكن تحويل أي رقم متطابق إلى مساحة مثلث فيثاغورس، ويترتب على ذلك أن الأرقام المتطابقة هي بالضبط الأرقام المكونة بضرب التطابق في مربع الرقم المنطقي. لذلك، فإن وجود تطابق مربع يكافئ القول بأن الرقم 1 ليس رقمًا مطابقًا. هناك طريقة هندسية أخرى لتوضيح هذه الصيغة وهي أنه من المستحيل أن يكون للمربع (الشكل الهندسي) والمثلث القائم مساحة متساوية وجميع الجوانب متناسبة مع بعضها البعض.

منحنى الإهليلجي

منحنى الإهليلجي
المنحنى البيضاوي y2 = x(x + 1) (x – 1). النقاط المنطقية الثلاث (−1،0) و (0،0) و (1،0) هي تقاطعات هذا المنحنى مع المحور x.

هناك شكل آخر مكافئ من نظرية فيرما يتضمن المنحنى البيضاوي الذي يتكون من النقاط التي تتوافق إحداثياتها الديكارتية (x ، y) مع المعادلة y2 = x(x + 1) (x-1).

تقدم النقاط (−1،0) و (0،0) و (1،0) حلولاً واضحة لهذه المعادلة. تكافئ نظرية فيرما العبارة القائلة بأن هذه هي النقاط الوحيدة على المنحنى التي يكون فيها كل من x و y منطقيين. بشكل عام، المثلثات القائمة ذات الأضلاع المنطقية والمساحة n تتوافق مع واحد بواحد مع النقاط النسبية ذات الإحداثي y الموجب على المنحنى الإهليلجي  y2 = x x + n) (x-n)

دليل فيرمات

خلال حياته، تحدى فيرما العديد من علماء الرياضيات الآخرين لإثبات عدم وجود مثلث فيثاغورس بمساحة مربعة، لكنه لم ينشر الدليل بنفسه. ومع ذلك، فقد كتب دليلًا في نسخته من Diophantus’s Arithmetica، وهي نفس النسخة التي كتب فيها أنه يمكن أن يثبت نظرية فيرما الأخيرة. نشر نجل فيرما، كليمنت صموئيل، طبعة من هذا الكتاب، بما في ذلك ملاحظات فيرما الهامشية مع إثبات نظرية المثلث الصحيح، في عام 1670.

برهان فيرما هو إثبات بالنسب اللانهائي. إنه يوضح أنه من أي مثال لمثلث فيثاغورس بمساحة مربعة، يمكن للمرء اشتقاق مثال أصغر. نظرًا لأن مثلثات فيثاغورس تحتوي على مساحات صحيحة موجبة، ولا يوجد تسلسل تنازلي لا نهائي من الأعداد الصحيحة الموجبة، فلا يمكن أن يوجد أيضًا مثلث فيثاغورس بمساحة مربعة.

بمزيد من التفاصيل، افترض أن x، y، zهي الأضلاع الصحيحة لمثلث قائم الزاوية بمساحة مربعة. من خلال القسمة على أي عوامل مشتركة، يمكن للمرء أن يفترض أن هذا المثلث بدائي ومن الشكل المعروف لجميع ثلاثية فيثاغورس البدائية، يمكن للمرء تعيين x = 2pq، y = p2 – q2 و z = p2 + q2، والتي يتم من خلالها تحويل المشكلة إلى إيجاد أعداد صحيحة أولية نسبيًا p و q (أحدهما زوجي) بحيث المساحة pq(p2 – q2)  مربعة. لكي يكون هذا الرقم مربعًا، يجب أن تكون عوامله الخطية الأربعة p و q و {p + q} و {p-q} (وهي عدد أولي نسبيًا) مربعات؛ دع {p + q = r2} و {p-q = s2}. يجب أن يكون كل من r و s فرديًا لأن أحدهما بالضبط p أو q زوجي والآخر فردي. لذلك، فإن كلا من {r-s} و {r + s} زوجي، وأحدهما يقبل القسمة على 4. ينتج عن قسمة هذين العددين عددين إضافيين {u = (r-s)/2} و {v = (r + s)/2}، أحدهما حتى من الجملة السابقة. نظرًا لأن u2 + v2 = (r2 + s2)/2 = p مربع، فإن  u و v أرجل كائن بدائي آخر مثلث فيثاغورس مساحته {uv/2 = q/4}. بما أن q هي نفسها مربع ولأن الأشعة فوق البنفسجية متساوية ، فإن q/4 مربع. وبالتالي، فإن أي مثلث فيثاغورس بمساحة مربعة يؤدي إلى مثلث فيثاغورس أصغر بمساحة مربعة، يكمل البرهان.

نظرية الرقم المضلع لفيرمات

لا ينبغي الخلط بين هذه النظرية و نظرية فيرما الأخيرة. في نظرية الأعداد المجمعة، تنص نظرية فيرمات للأرقام المتعددة الأضلاع على أن كل عدد صحيح موجب هو مجموع n عدد مضلعي على الأكثر. أي أن كل عدد صحيح موجب يمكن كتابته كمجموع ثلاثة أو أقل من الأرقام المثلثية، وكمجموع أربعة أو أقل من الأرقام المربعة، وكمجموع خمسة أو أقل من الأعداد الخماسية، وهكذا. أي أن الأرقام المظلعية تشكل أساسًا إضافيًا للطلب n.

أمثلة

ثلاثة تمثيلات من هذا القبيل للرقم 17، على سبيل المثال، موضحة أدناه:

17 = 10 + 6 + 1 (أعداد مثلثة)

17 = 16 + 1 (أعداد مربعة)

17 = 12 + 5 (أرقام خماسية).

تاريخ

تم تسمية النظرية على اسم بيير دي فيرمات، الذي ذكرها، في عام 1638، دون دليل، ووعد بكتابتها في عمل منفصل لم يظهر أبدًا. أثبت جوزيف لويس لاجرانج الحالة المربعة في عام 1770، والتي تنص على أنه يمكن تمثيل كل رقم موجب كمجموع من أربعة مربعات، على سبيل المثال، 7 = 4 + 1 + 1 + 1.

أثبت جاوس الحالة المثلثة في عام 1796، إحياءً لذكرى المناسبة من خلال كتابة السطر في مذكراته “ΕΥΡΗΚΑ! Num = Δ + Δ + Δ” ، ونشر دليلًا في كتابه Disquisitiones Arithmeticae. لهذا السبب، تُعرف نتيجة جاوس أحيانًا باسم نظرية يوريكا. لم يتم حل نظرية العدد المضلع الكامل حتى تم إثباتها أخيرًا بواسطة كوشي في عام 1813. يعتمد إثبات ناثانسون (1987) على اللمة التالية بسبب كوشي:

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة الفردية a و b مثل (b2 < 4a) و (3a <b2 + 2b + 4) يمكننا إيجاد الأعداد الصحيحة غير السالبة s و t و u و v مثل (a = s2 + t2 + u2 + v2) و (b = s + t + u + v).

منشور ذات صلة
التباين ومقاييس التشتت 9 Minutes

قانون التباين| شرح بسيط ومفهوم

عاطفة عكرش

تُستخدم المؤشرات الإحصائية الوصفية مثل مؤشرات التركيز أو مقاييس التشتت (مثل التباين)، لتحديد السكان الإحصائيين. لكن استخدام كل منها على حدة قد لا ينجح. يساعد الاهتمام المتزامن بمعايير التركيز والتشتت على فهم المجتمع الإحصائي بشكل أفضل ويمكن مقارنة سلوكه وتحليله.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة