مجموع غاوسي في الرياضيات بلغة بسيطة

مجموع غاوسي

في نظرية الأعداد، مجموع غاوس (بالإنجليزية: Gauss sum)‏ أو مجموع غاوسي (بالإنجليزية: Gaussian sum) هو مجموع محدود يعود إلى جذر الوحدة (Unit Root). في هذه المقالة، سوف ندرس المجموع الغاوسي في الرياضيات ونتعرف على أساسياته.

مجموع غاوسي في الرياضيات

في نظرية الأعداد الجبرية (Algebra Number Theory)، فإن مجموع غاوس او مجموع غاوسي هو مجموع محدود. هذا المبلغ مبين أدناه.

\large G(\chi ): = G(\chi ,\psi ) = \sum \chi (r) \cdot \psi (r)

تتكون هذه المجموعة من عناصر r مأخوذة من حلقة تبادلية محدودة (finite commutative ring) مثل R، و ψ هي تماثل (homomorphism) لمجموعة المواد المضافة (additive group) مثل R+ استنادًا إلى دائرة بنصف قطر واحد.X  هي أيضًا مجموعة متجانسة من مجموعة الوحدات ×R إلى (Into) واحد في دائرة الوحدة. نتيجة لذلك، كما يمكن رؤيته، ستكون هذه المجموعة مرتبطة بـ “جذر الوحدة” (Unit Root). تعتبر هذه المجموعة أيضًا الحالة الممتدة للجذر غير الوحدة (non-unit) أو r على “الحقول المحدودة” (Finite Fields) لدالة جاما.

يستخدم المبلغ الغاوسي على نطاق واسع في نظرية الأعداد. على سبيل المثال، تُستخدم هذه المجموعة معادلات دالة غير متصلة في أي مكان أو دالة منقطعة في كل مكان (Dirichlet Function). في هذه الحالة، تخلق المعادلة علاقة بين  L(s,\chi) و L(1-s , \bar{\chi}) .

 من الواضح أن χ هي شخصية Dirichlet و X هي اقترانها المختلط. في هذه الحالة، سيكون لدينا العامل أو النسبة على النحو التالي.

 \large {\displaystyle {\frac {G(\chi )}{ |G ( \chi )| }}}

توصيف المبلغ الغاوسي لأعراض دريكل

يتم كتابة المبلغ الغاوسي لحرف Dirichlet في N حالات على النحو التالي.

 \large {\displaystyle G(\chi ) = \sum_{a = 1}^{N} \chi (a) e^{ \frac {2\pi i a}{ N }}}

إذا كانت χ  قيمة أولية (على سبيل المثال، رقم أولي)، فإن القيمة المطلقة للعلاقة أعلاه ستكون على النحو التالي. من الواضح أن هذه القيمة ليست صفرية.

\large |G(\chi )| = {\sqrt {N}}

 

بشكل عام ، إذا كان N0 موصلًا لـ χ نفس حرف Dirichlet و χ0 هو حرف الحفر الأولي في المعامل N0، فإن مجموع غاوس علي χ الناتج عن χ0 موضح أدناه.

 \large {\displaystyle G( \chi ) = \mu \left( {\frac {N}{N_{0}}} \right)\chi_{0} \left( {\frac {N}{N_{0}}} \right) G \left( \chi _{0} \right) } }

لاحظ أن μ هنا تعني “تابع Möbius function”. وبالتالي فإن G(χ) هي قيمة غير صفرية بشرط أن تكون النسبة N/N0 تربيعية والنسبة إلى N0 أولية.

يتم تلخيص العلاقات الأخرى بين G(χ)  و صيغ مجموع غاوسي على الأحرف الأخرى على النحو التالي.

\large G(\overline { \chi }) = \chi (-1) \overline {G( \chi )}

في العلاقة أعلاه، تعني χ  الاتحاد المختلط لحرف Dirichlet. أيضًا، إذا كانت χ’   حرفًا في Dirichlet في الوحدة النمطية N ب بحيث يُعتبر N و N’ متناسبين مع بعضهما البعض، فعندئذ يكون لدينا:

 \large {\displaystyle G \left( \chi \chi ^{\prime } \right) = \chi \left( N^{\prime } \right) \chi ^{\prime }(N)G(\chi )G\left(\chi ^{\prime } \right) }

العلاقة بين G(χχ′) وG(χ) وG(χ′) عندما تكونchii وχ’  علي نفس المعامل وأيضًا χχ′ هي الأولى من خلال مجموع جاكوبي يقاس xxxxx في هذه الحالة، سيتم إنشاء العلاقة التالية.

\large {\displaystyle G \left( \chi \chi ^{\prime } \right) = {\frac {G(\chi )G \left( \chi ^{\prime } \right) }{J\left( \chi ,\chi ^{\prime } \right) }}}

تم تحديد الخصائص التالية أيضًا لمجموع غاوسي.

  • يمكن استخدام المجموع الغاوسي لإثبات المعارضة التربيعية والمقاومة التكعيبية والمقاومة من الدرجة الرابعة.
  • يمكن استخدام مجموع غاوسي لحساب عدد حلول المعادلات متعددة الحدود في الحقول المحددة، وبالتالي يمكن أيضًا استخدامها لحساب بعض “وظائف زيتا” (Zeta Function).

ملخص

يستخدم المبلغ أو المجموع الغاوسي أيضًا لإثبات القانون ونظريات المعارضة التربيعية والمعارضة التكعيبية. تحدد هذه القواعد كيفية جمع الأسس الثانية والثالثة للأرقام. يمكن أيضًا استخدام مجموع غاوسي لتحديد عدد الإجابات أو جذور كثير الحدود. في الرياضيات، تُستخدم المبالغ الجاوسية أيضًا لحساب القيم المحددة لـ “دالة زيتا”.

منشور ذات صلة
متوازي السطوح 1 Minutes

متوازي السطوح

عاطفة عكرش

مساحة سطح متوازي المستطيلات: 2 × ( العرض×الطول + الطول×الارتفاع + العرض×الارتفاع)

الأعداد الحقيقية، النسبية والغامضة 8 Minutes

الأعداد الحقيقية، النسبية والغامضة

عاطفة عكرش

تسمى مجموعة الأعداد النسبية وغير النسبية مجموعة الأعداد الحقيقية. مجموعة الأرقام الحقيقية يمثلها {R}. في الواقع ، تقريبًا أي رقم يتبادر إلى الذهن هو رقم حقيقي.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة