نقطة الانعطاف والقيمة القصوى والصغرى للدالة| شرح بسيط ومفهوم

في المقالات السابقة، قدمنا ​​موضوع المشتقات. أحد استخدامات هذه الأداة هو العثور على القيم القصوى و الاقل للدَوَالّ. لذلك يمكن طرح السؤال ما هي القيمة القصوى (MAX) والصغرى (MIN) للدالة في فترات زمنية معينة؟

كيفية إيجاد القيمة القصوى والأدنى من نسب الدالة

الحد الأقصى النسبي للدالة هو في الواقع الإحداثيات التي تصل فيها الوظيفة إلى أقصى قيمة لها بالنسبة إلى النقاط المحيطة بها. أيضًا، الحد الأدنى النسبي للدالة هو النقطة التي يكون فيها للوظيفة أدنى قيمة بالنسبة لأقرب نقاطها. هذه النقاط موضحة في الشكل أدناه.

بشكل عام، تسمى النقطة القصوى أو الدنيا أيضًا المتطرفة.

في دالة تتغير بشكل موحد، تكون قيمها القصوى و الأدنى هي النقاط التي يكون عندها ميل الوظيفة المفترضة صفرًا. بما أن ميل الدالة يساوي مشتقها، فيمكننا القول:

الحد الأقصى والحد الأدنى النسبي للدالة هو النقطة التي يكون عندها مشتق الدالة صفرًا.

لفهم أفضل، ضع في اعتبارك المثال التالي.

مثال

وفقًا للشكل أدناه، يتم رمي الكرة لأعلى بزاوية مع الأفق. وفقًا للأدوات المادية المتاحة، يمكن الحصول على ارتفاع الكرة في أي لحظة وفقًا للمعادلة التالية.

 H = 3 + 14t – 5t²

مع هذه الافتراضات، إلى أي مدى تعتقد أن الكرة سترتفع؟

أقصى ارتفاع في هذه المسألة يساوي القيمة القصوى للدالةh. للحصول على القيمة القصوى للدالة، نأخذ أولًا مشتق h بالنسبة إلى t. هذا المشتق يساوي:

(d/dt) h = 0 + 14 – 5(2t)

= 14 – 10t

من خلال ضبطه على الصفر والحصول على tيتم الحصول علي الموقع التي يصل الارتفاع إلى قيمته القصوى. من خلال ضبط المشتق h على صفر فيما يتعلق بالوقت، لدينا:

14 – 10t =  0

10t = 14

T = 14 / 10 = 1.4

نتيجة لذلك، فإن ميل الدالة h في اللحظة t = 1.4 ثانية يساوي صفرًا. يتم الحصول على الارتفاع المقابل لهذا الوقت أيضًا بوضع 1.4 بالنسبة إلى 1. النتيجة (h (1.4 تساوي:

H = 3 + 14 × 1.4 – 5 × 1.4²

H = 3 + 19.6 – 9.8 = 12.8

لذلك، يبلغ أقصى ارتفاع للكرة 12.8 مترًا، ويحدث في الوقت t = 1.4 ثانية.

القيمة القصوى أم الحد الأدنى؟

في المثال 1، يمكننا أن نرى من الرسم البياني أن النقطة التي تم الحصول عليها هي القيمة القصوى؛ لكن يجب أن تلاحظ أن ميل الرسم البياني عند أدنى نقطة يساوي صفرًا أيضًا. لتحديد ما إذا كانت النقطة هي الحد الأقصى أم الحد الأدنى:

• احصل على المشتق الثاني للدالة عند النقطة المفترضة.
• إذا كان المشتق الثاني الذي تم الحصول عليه موجبًا، فإن النقطة المفترضة هي الحد الأدنى للدالة.
• إذا كان المشتق الثاني سالبًا، فإن النقطة التي تم الحصول عليها هي الحد الأقصى.

بالنسبة للمثال الثاني، مشتق الدالة h في المثال 1 يساوي:

h” = – 10

نتيجة لذلك، يكون المشتق الثاني للدالة h دائمًا سالبًا. نتيجة لذلك، تكون هذه القيمة أيضًا أقل من الصفر عند t = 1.4 ؛ لذلك، فإن النقطة المفترضة هي الحد الأقصى h .

مثال

أوجد الحد الأقصى والأدنى لالداله التالية.

Y = 5x³ + 2x² – 3x

مشتق (أو ميل) الدالة y يساوي:

d/dx y = 15x² + 4x – 3

العلاقة أعلاه هي من الدرجة الثانية لذا سيكون لها جذران. إذن بحلها، فإن جذور x تساوي:

X = − 3/5

X = + 1/3

هل تعتقد أن هاتين النقطتين هما الحد الأقصى أم الحد الأدنى أم كلاهما؟ للإجابة عن هذا السؤال، نجد أولًا المشتق الثاني للدالة y وفقًا للمعادلة التالية.

Y’’ = 30x + 4

قيمة هذه الدالة بنقطتين تساوي:

At x = −3/5

Y’’ = 30 (−3/5) + 4 = −14

إنه أقل من 0، لذا  -3.5 هو الحد الأقصى.

At x = +1/3

Y’’ = 30 (+1/3) + 4 = +14

إنه أكبر من 0 ، لذا +3.1 هو الحد الأدنى.

(الآن يمكنك إلقاء نظرة على الرسم البياني) يوضح الشكل التالي الدالة y.كما ترى، عندx = 13 تكون قيمة الدالة هي الحد الأدنى وعندx = –35، تكون قيمة الدالة هي القصوى.

لاحظ أن هذه الطريقة تستخدم فقط إذا كانت الدالة مشتقة عند النقطة قيد الدراسة. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الدالة | y = | x

كما هو موضح في الشكل أدناه، لا يمكن اشتقاق هذه الوظيفة عند x = 0 لذلك لا يمكن التحقق من الحد الأقصى أو الحد الأدنى للنقطة x = 0 باستخدام الطريقة الموضحة في هذه المقالة.

في القسم التالي سوف نتحدث عن العلاقة بين نقطة التحول والمشتق الثاني للدالة.

كما هو موضح في هذه المقالة، يحدث الحد الأقصى أو الحد الأدنى للدالة عندما يكون المشتق الأول صفرًا. ربما طرح السؤال في ذهنك، ما الذي يمثله المشتق الثاني للدالة؟ باستخدام المشتق الثاني، يمكن إيجاد نقطة تحول الدالة. في هذه المقالة، نعتزم شرح هذا المفهوم.

نقطة انعطاف الدالة

ضع في اعتبارك دالة مثل y = f (x) متصلة عند النقطة . x0 يمكن أن تحتوي هذه الدالة أيضًا على مشتق لا نهائي أو محدود f (x0) عند النقطهx0  . إذا تغيرت الداله من النقطة x0 إلى تقعر الدالة، فإن النقطة تسمى نقطة التحول او الانعطاف.  الشيء المثير للاهتمام حول نقطة التحول هو أن الخطوط المتعامدة مع منحنى الوظيفة متعامدة مع بعضها البعض عند هذه النقطة.

شرط أساسي لنقطة تحول

إذا كانت x₀ هي نقطة تحول الدالة f(x) وكانت هذه الوظيفة قابلة للاشتقاق عند النقطة   x₀فإن المشتق الثاني للدالة عند هذه النقطة سيكون صفرًا.

لذلك، يمكن القول أنه عند نقطة التحول، يتم إنشاء العلاقة التالية.

F” (x₀) = 0

لإثبات الاقتراح أعلاه، افترض أن مشتق الوظيفة f عند النقطة  x₀ غير صفري 0  f” (x₀) ≠

في هذه الحالة، هناك فترة مثل δ حول x₀ حيث تحتفظ الوظيفة  f (x)  بعلامتها. لذلك، في شكل رياضيات، يمكن التعبير عن العبارة التالية:

F′′ (x₀) < 0 or f′′ (x₀) < 0 ∀ x ∈ (x₀ – δ , x₀ + δ)

يشير التعبير أعلاه إلى أنه في الفترة (x0 – δ , x0 + δ ) يكون تقعر الوظيفة منخفضًا تمامًا (f′′(x)<0 ) أو اعلي f′′(x)>0

لذلك، لن تكون هذه النقطة نقطة تحول. و لذلك، فإن افتراض أن المشتق الثاني ليس صفريًا خاطئ.

الشرط الأول الكافي لنقطة التحول

إذا كانت الدالة f (x) لها مشتق عند النقطة x₀ والمشتق الثاني للدالة يغير العلامة في الفترة δ حول النقطةx0 ، فإن النقطة x₀ هي نقطة التحول.

الشرط الثاني الكافي لنقطة التحول

افترض أن المشتق الثاني للدالة يقع عند نقطة تساوي الصفر (f “(x₀) = 0 )

في هذه الحالة، إذا كان المشتق الرابع f ′′′ (x₀) ≠ 0 غير صفري، فإن x₀ ستكون نقطة التحول.

مثال

ابحث عن معالم الوظيفة التالية.

F(x) = x⁴ – 12 x³ + 48 x² + 12x + 1

أولًا نحصل على المشتقتين الأولى والثانية للدالة على النحو التالي.

F ‘(x) = ( x⁴ – 12 x3 + 48 x2 + 12x + 1) ′ = 4 x3 – 36 x2 + 96x + 12 = 4 ( x3 – 9 x2 + 24x + 3 )

F ′′ (x) = ( 4 ( x3 – 9 x2 + 24x + 3 ) ) ′ = 4 ( 3 x2 – 18x + 24 ) = 12  ( x2 – 6x + 8 )

لذلك فإن جذور المشتق الثاني تساوي:

F”(x) = 0⇒12 (x2–6x + 8) = 0⇒x2–6x + 8 = 0⇒x1 = 2، x2 = 4

الآن يمكن استخدام الشرط الكافي الثاني على النحو التالي. لهذا الغرض، نحسب المشتق الثالث.

و ′ ′ ′ (س) = (12 (س 2-6 س + 8)) ′ = 12 (2 س – 6) = 24 (س – 3)

بوضع النقطتين x1 = 2 و x1 = 4  في العلاقة أعلاه، ستلاحظ أن المشتق الثالث عند هذه النقطتين غير صفري. لذا فإن كلاهما يمثل نقطة تحول.

مثال

أوجد نقاط التحول في الدالة f (x) = x²lnx.

المشتقات الأولى والثانية للدالة تساوي:

F′(x) = (x²lnx)′

= (x²)′lnx + x²(lnx)′

=2x lnx + x² ⋅ 1/x

=2x lnx + x

= x (2lnx + 1)

F′′(x) = [x (2lnx + 1) ]′

=x′ (2lnx + 1) + x (2lnx + 1)′

= 2lnx + 1 + x⋅2/x

=2lnx + 3

لذلك فإن جذور المشتق الثاني تساوي:

⇒2lnx + 3 ⇒ lnx = –3/2 ⇒ x = e^–3/2 = 1/√e³