العمليات الحسابية الأساسية الأربعة المرتبطة بالأعداد الصحيحة هي:

  • جمع الأعداد الصحيحة
  • طرح الأعداد الصحيحة
  • ضرب الأعداد الصحيحة
  • قسمة الأعداد الصحيحة

جمع وطرح الأعداد الصحيحة

جمع وطرح الأعداد الصحيحة عمليتان نقوم بها على الأعداد الصحيحة لزيادة أو تقليل قيمها. أنت تعلم بالفعل عن جمع وطرح الأعداد الكلية. هل تعلم أن الأعداد الكلية جزء من الأعداد الصحيحة؟ الأعداد الصحيحة تشمل الأعداد الكلية وسلبياتها. كل رقم يظهر على خط الأعداد الذي لا يحتوي على جزء كسري هو عدد صحيح. ولكن، مثل الأعداد الكلية، هل يمكننا جمع أو طرح الأعداد الصحيحة أيضًا؟ على سبيل المثال، إذا كانت درجة الحرارة في مدينتك 2 درجة مئوية وهبطت بمقدار 7 درجات مئوية، فما هي درجة الحرارة الحالية في مدينتك؟ دعنا نمضي قدمًا ونتعلم المزيد عن هاتين العمليتين الأساسيتين على الأعداد الصحيحة.

ما المقصود بجمع وطرح الأعداد الصحيحة؟

الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية، أو السلبيات لهذه الأعداد، أو الصفر. الأعداد الصحيحة هي الأرقام التي يمكن أن تكون موجبة، أو سالبة، أو صفرية، بدون أجزاء كسرية (بدون كسور عشرية). مثل الأعداد الكلية، يمكننا أيضًا جمع أو طرح الأعداد الصحيحة.

يعني جمع وطرح الأعداد الصحيحة إجراء عمليات الجمع والطرح على عددين صحيحين أو أكثر عن طريق وضع عامل الجمع والطرح بينهما. قبل التعمق في المفهوم، من المهم جدًا معرفة القيمة المطلقة للعدد الصحيح. على خط الأعداد، المسافة بين الرقم 0 تسمى القيمة المطلقة لعدد صحيح. ولا تشير المسافة إلى أي اتجاه لأنها كمية قياسية. إنه أمر إيجابي دائمًا.

العدد الصحيح| Integer Number

جمع الأعداد الصحيحة

تعني الإضافة بشكل عام زيادة القيمة. ولكن في حالة الأعداد الصحيحة، قد تؤدي عملية الإضافة إلى زيادة أو نقصان قيمة الرقم المحدد.

إذا أضفنا عددًا صحيحًا سالبًا، ستنخفض قيمة الرقم المحدد، وإذا أضفنا عددًا صحيحًا موجبًا، فستزداد القيمة. تأمل الأمثلة التالية.

سالي لديها 3 كرات. تحصل على 4 أكثر من شقيقها. إذًا لديها الآن (3 + 4 = 7) كرات.

جمع وطرح الأعداد الصحيحة

تزداد درجة الحرارة من  -4 إلى 5 درجات فهرنهايت. إذن الزيادة في درجة الحرارة هي (-4 + 5 = 1).

جمع وطرح الأعداد الصحيحة

في الأمثلة أعلاه، استخدمنا مفهوم إضافة الأعداد الصحيحة. أثناء إظهار جمع الأعداد الصحيحة على خط الأعداد، علينا التحرك نحو الجانب الأيمن أو الجانب الموجب عندما نضيف عددًا صحيحًا موجبًا إلى رقم معين. من ناحية أخرى، عندما نضيف رقمًا سالبًا، فإننا نتحرك باتجاه الجانب الأيسر من خط الأعداد، حيث إننا نأخذ بعض القيمة من الرقم المحدد، وبالتالي فإن الرقم الناتج سيكون أصغر من الرقم الأصلي.

يمكن توضيح عملية جمع الأعداد الصحيحة وطرحها بشكل أفضل على خط الأعداد. لكن العمل على خط الأعداد يستغرق وقتًا طويلاً بمجرد أن نحصل على مشكلة إضافة. لذا، لنتعلم كل قواعد جمع الأعداد الصحيحة.

قواعد جمع الاعداد الصحيحة

عندما نتعلم عن إضافة الأعداد الصحيحة، تظهر ثلاث حالات كقاعدة جمع الأعداد الصحيحة، وهي:

  • جمع رقمين موجبين
  • جمع رقم موجب ورقم سالب
  • وجمع رقمين سالبين

القاعدة:

(+a) + (+b) = (a + b)

المثال:

3 + 4 = 7

2 + 11 = 13

القاعدة:

(a + (-b)) = (a – b)

المثال:

4 + (-5) = (-1)

(-5) + 7 = 2

القاعدة:

(-a) + (-b) = -(a + b)

المثال:

(-2) + (-4) = (-6)

(-5) + (-8) = (-13)

في الصورة أدناه، لاحظ قواعد الجمع الثلاث للأعداد الصحيحة على خط الأعداد.

جمع وطرح الأعداد الصحيحة

طرح الأعداد الصحيحة

يعني الطرح عمومًا تقليل القيمة. ولكن في حالة الأعداد الصحيحة، قد تؤدي عملية الطرح إلى زيادة أو نقصان قيمة الرقم المحدد. إذا طرحنا عددًا صحيحًا سالبًا من رقم، فستزداد قيمة الرقم المحدد وإذا طرحنا عددًا صحيحًا موجبًا، ستنخفض القيمة. ضع في اعتبارك بعض الأمثلة الواردة أدناه ولاحظ العملية التي نستخدمها على الأعداد الصحيحة.

يتنحى العامل عن السلم بخطوتين من الخطوة الخامسة التي يعمل عليها: (5 – 2 = 3)

الصورة: طرح الأعداد الصحيحة

تنخفض درجة الحرارة بمقدار 4 درجات من -1 درجة فهرنهايت: (-1 -4 = -5)

في الأمثلة أعلاه، نستخدم مفهوم طرح الأعداد الصحيحة. أثناء عرض طرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد، علينا التحرك نحو الجانب الأيسر أو الجانب السلبي عندما نطرح رقمًا موجبًا من رقم معين. من ناحية أخ، نتحرك نحو الجانب الأيمن أو الجانب الموجب عندما نطرح رقمًا سالبًا من رقم معين.

قواعد طرح الأعداد الصحيحة

لابد أنك درست أن الجمع والطرح عمليتان عكسيتان. لذلك، يمكن كتابة كل مسألة طرح كمسألة جمع. دعنا نتعلم كيف من خلال بعض الأمثلة.

2 – 4 = 2 + (- 4)

6 – 3 = 6 + (- 3)

-4 – 3 = -4 + (- 3)

أثناء كتابة أي مسألة طرح أيضًا، علينا أن نأخذ علامة المطروح داخل القوس ونضيف عامل الجمع بين كلا المصطلحين. هذه طريقة واحدة لحل أسئلة الطرح.

القاعدة:

a – (-b) = (a + b)

(-a) – b= -(a + b)

المثال:

4 – (-5) = 9

(-5) – 7 = -12

القاعدة:

(+a) – (+b) = a – b

المثال:

3 – 4 = -1

11 – 2 = 9

القاعدة:

(-a) – (-b) = ±(a – b)

المثال:

(-2) – (-4) = 2

(-8) – (-5) = (-3)

نقطة لنتذكر:

  • إذا لم تكن هناك علامة برقم، فإننا نعتبرها رقمًا موجبًا. على سبيل المثال، يمكن إعادة كتابة 2 كـ 2+.
  • يمكن إعادة كتابة كل حقيقة طرح كحقيقة إضافة. على سبيل المثال، يمكن إعادة كتابة 9-10 كـ 9 + (10-).
  • اكتب دائمًا أرقامًا سالبة بين قوسين في تعبير.
  • إذا كان هناك تعبير به عمليتا جمع وطرح، فيمكننا حل أي عامل أولاً. على سبيل المثال،  9-10 + 4. في هذا التعبير، يمكننا إما حل (9-10) أولاً أوأولاً  (-10 + 4). لن يؤثر على إجابتنا.

ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة

ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة هما من العمليات الأساسية التي يتم إجراؤها على الأعداد الصحيحة. مضاعفة الأعداد الصحيحة هي نفسها الإضافة المتكررة مما يعني إضافة عدد صحيح لعدد معين من المرات. على سبيل المثال، 4 × 3 تعني جمع 4 ثلاث مرات، أي 4 + 4 + 4 = 12. تقسيم الأعداد الصحيحة يعني تجميع أو تقسيم عدد صحيح إلى عدد محدد من المجموعات. على سبيل المثال، -6 ÷ 2 تعني تقسيم -6 إلى جزئين متساويين، مما ينتج عنه -3. دعونا نتعلم المزيد عن ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة في هذه المقالة.

ما هو ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة؟

يعد ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة من أهم العمليات الحسابية المستخدمة في كثير من الأحيان. دعونا نتعلم بالتفصيل ضرب وقسمة الأعداد الصحيحة.

ضرب الأعداد الصحيحة

مضاعفة الأعداد الصحيحة هي عملية الجمع المتكرر بما في ذلك الأرقام الموجبة والسالبة أو يمكننا ببساطة قول الأعداد الصحيحة. عندما ننتقل إلى حالة ضرب الأعداد الصحيحة، يجب مراعاة الحالات التالية:

  • ضرب عددين موجبين
  • ضرب عددين سالبين
  • وضرب رقم واحد موجب ورقم سالب واحد

عندما تضرب الأعداد الصحيحة بإشارتين موجبتين

موجب × موجب = موجب

2 × 5 = 10

عندما تضرب الأعداد الصحيحة بعلامتين سالبتين

سالب × سلبي = موجب

 –2 × –3 = 6

عندما تضرب الأعداد الصحيحة بعلامة سالبة واحدة وإشارة موجبة واحدة

سالب × موجب = سالب

–2 × 5 = –10

مثال: تأكل زهرا 4 تفاحات يوميًا. كم عدد تفاحات التي تأكلها في 5 أيام؟

 5 × 4 = 20 تفاحات

قواعد وخطوات ضرب الأعداد الصحيحة

ضرب الأعداد الصحيحة يشبه إلى حد كبير الضرب العادي. ومع ذلك، نظرًا لأن الأعداد الصحيحة تتعامل مع الأعداد السالبة والموجبة، فلدينا قواعد أو شروط معينة يجب تذكرها أثناء ضرب الأعداد الصحيحة كما رأينا في القسم السابق. دعونا نلقي نظرة على خطوات ضرب الأعداد الصحيحة.

  • الخطوة 1: حدد القيمة المطلقة للأرقام.
  • الخطوة 2: أوجد ناتج القيم المطلقة.
  • والخطوة 3: بمجرد الحصول على المنتج، حدد علامة الرقم وفقًا للقواعد أو الشروط.

دعونا نلقي نظرة على مثال لفهم الخطوات بشكل أفضل. اضرب –7 × 8

الخطوة 1: تحديد القيمة المطلقة لـ -7 و 8

| 7- | = 7 و | 8 | = 8

الخطوة 2: أوجد حاصل ضرب العددين المطلقين 7 و 8.

7 × 8 = 56

الخطوة 3: تحديد علامة المنتج وفقًا لقواعد ضرب الأعداد الصحيحة. وفقًا لقاعدة ضرب الأعداد الصحيحة، إذا تم ضرب رقم سالب بعدد موجب، فإن المنتج يكون رقمًا سالبًا. إذن:

 –7 × 8 = – 56

قسمة العدد الصحيح

تقسيم الأعداد الصحيحة ينطوي على تجميع العناصر. يتضمن كلا من الأرقام الموجبة والأرقام السالبة. تمامًا مثل الضرب، فإن قسمة الأعداد الصحيحة تتضمن أيضًا نفس الحالات.

  • قسمة رقمين موجبين
  • قسمة رقمين سالبين
  • وقسمة رقم واحد موجب ورقم سالب واحد

عندما تقسم الأعداد الصحيحة ذات العلامتين الموجبتين فإن:

موجب ÷ موجب = موجب

← 16 ÷ 8 = 2

عندما تقسم الأعداد الصحيحة التي تحتوي على علامتين سالبتين:

سالب ÷ سلبي = موجب ← –16 ÷ –8 = 2

عندما تقسم الأعداد الصحيحة بعلامة سالبة واحدة وإشارة موجبة واحدة:

سالب ÷ موجب = سلبي

→ –16 ÷ 8 = –2

لتلخيص كل شيء وتسهيل كل شيء، فإن أهم شيئين يجب تذكرهما عند ضرب الأعداد الصحيحة أو قسمة الأعداد الصحيحة هما:

  • عندما تكون الإشارات مختلفة، تكون الإجابة بالنفي دائمًا.
  • عندما تكون الإشارات متشابهة، تكون الإجابة إيجابية دائمًا.

أمثلة على الضرب وقسمة الأعداد الصحيحة

يتم عرض أمثلة قليلة على الضرب والقسمة للأعداد الصحيحة في الجدول أدناه:

جمع وطرح الأعداد الصحيحة

خواص الضرب وقسمة الأعداد الصحيحة

تساعدنا خصائص الضرب والقسمة للأعداد الصحيحة على تحديد العلاقة بين عددين صحيحين أو أكثر عندما يتم ربطهما بعملية الضرب أو القسمة بينهما. هناك عدد قليل من الخصائص المرتبطة بضرب وقسمة الأعداد الصحيحة.

الخصائص المتعلقة بضرب وقسمة الأعداد الصحيحة مذكورة أدناه:

  • خاصية الإغلاق؛ Closure Property
  • خاصية التبديل؛ Commutative Property
  • ملكية مشتركة؛ Associative Property
  • خاصية التوزيع؛Distributive Property
  • خاصية الهوية؛Identity Property

دعونا نفهم كل خاصية فيما يتعلق بقسمة وضرب الأعداد الصحيحة بالتفصيل.

خاصية الإغلاق لضرب الأعداد الصحيحة

تنص خاصية الإغلاق على أن المجموعة مغلقة لأي عملية حسابية معينة. يتم إغلاق الأعداد الصحيحة بعد الجمع والطرح والضرب. ومع ذلك، فهي ليست مغلقة تحت الانقسام.

جمع وطرح الأعداد الصحيحة

مضاعفة الخاصية التبادلية للأرقام الصحيحة

وفقًا للخاصية التبادلية، لا يؤثر تبادل مواضع المعاملات في العملية على النتيجة.

تتبع عملية جمع الأعداد الصحيحة ومضاعفتها الخاصية التبادلية، في حين أن قسمة الأعداد الصحيحة لا تحمل هذه الخاصية.

جمع وطرح الأعداد الصحيحة

الخاصية الترابطية لضرب الأعداد الصحيحة

وفقًا للخاصية الترابطية، فإن تغيير تجميع الأعداد الصحيحة لا يغير نتيجة العملية. تنطبق الخاصية الترابطية على جمع وضرب عددين صحيحين ولكن ليس في حالة قسمة الأعداد الصحيحة.

خاصية التوزيع لضرب الأعداد الصحيحة

تنص الخاصية التوزيعية على أنه بالنسبة لأي تعبير عن النموذج a (b + c)، مما يعني a × (b + c)، يمكن توزيع المعامل a بين المعاملين b وc  مثل (a × b + a × c), a × (b + c) = a × b + a × c.

ضرب الأعداد الصحيحة هو التوزيع على الجمع والطرح. لا تنطبق خاصية التوزيع على قسمة الأعداد الصحيحة.

منشور ذات صلة
نظرية رامزي 17 Minutes

نظرية رامزي| Ramsey Theorem

عاطفة عكرش

 تنص نظرية رامزي على وجود عدد صحيح موجب على الأقل R(r، s) حيث يحتوي كل تلوين حافة زرقاء حمراء للرسم البياني الكامل على رؤوس R(r، s) على زمرة زرقاء على رؤوس r أو زمرة حمراء على رؤوس s. (هنا تشير R(r، s) إلى عدد صحيح يعتمد على كل من r و s.)

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة