التكامل بالتجزيء (integration by parts)

التكامل بالتجزيء

في هذا القسم ، يتم تقديم تعليم التكامل بالتجزيء (integration by parts)  مع حل بعض الامثله. تُستخدم طريقة التكامل بالتجزيء على نطاق واسع في حساب التكاملات وتحول العديد من التكاملات الصلبة إلى تكاملات أبسط.

يستخدم التكامل الجزئي في الرياضيات وخاصة في حساب التكامل. في هذه الطريقة ، يتم تحويل التكامل الذي يستحيل حسابه أو معقدًا إلى تكامل مكافئ ولكنه قابل للحساب عن طريق تغيير المتغير. في الواقع ، لا يمنحك التكامل إجابة التكامل مباشرةً ، ولكن يمكنك تحويل التكامل الذي عليك حله إلى تكامل أبسط باستخدام طريقة المكون على حدة ثم حل التكامل الأبسط.

افترض دالتين (u (x و (v (x. تخيل أننا نريد الحصول على تكامل الدالة ((u ‘(x) v (x). يمكن حساب تكامل هذه الدالة باستخدام الصيغة التالية.

التكامل بالتجزيء

دعنا نعود كفيلم ونحكي قصة كيف ظهرت هذه الصيغة. لهذا الغرض، افترض دالتین (u (x و (v (x. نعلم أن مشتق الدالة ((u (x) v (x) يساوي التعبير التالي.

ننقل المصطلح الثاني على الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه إلى الجانب الأيسر؛ من خلال القيام بذلك، يمكن إعادة كتابة العلاقة أعلاه على النحو التالي.

التكامل بالتجزيء

الآن نأخذ التكامل من طرفي هذه العلاقة. كما نعلم ، فإن تكامل مشتقة الدالة يساوي الدالة نفسها. لذلك يمكننا أن نكتب:

نتيجة لذلك، من خلال دمج العلاقة أعلاه ، نصل إلى الصيغة النهائية المقدمة.

لذلك يمكن القول:

التكامل بالتجزيء
علاقة (*)

بالطبع، يمكن تنفيذ الصيغة أعلاه بطريقة أسهل على النحو التالي.

علاقة (**)

لذلك، من أجل حساب تكامل باستخدام طريقة التجزئ على حدة، يجب تحديد الدالتين f و g بطريقة يمكن حساب تكاملات الدالتين f و g’f. بعد ذلك، بوضع هذه القيم في المعادلة أعلاه، يمكن بسهولة الحصول على تكامل الدالة fg. الطريقة المذكورة أعلاه تستخدم أيضًا في حساب التكامل المزدوج(double integral).

قد تبدو الصيغة أعلاه صعبة بعض الشيء في البداية. لذلك نقترح عليك دراسة الأمثلة التالية. نذكر أن أهم خطوة في حساب التكامل هو الاختيار الصحيح للوظائف f و g. على سبيل المثال ، افترض أن جزءًا من الوظيفة یتکون من \frac{sin(x)}{x} الذی يقع ضمن تكامل التعبير. من الواضح أنك إذا اعتبرت هذه الدالة على أنها f، فلن يكون من الممكن حساب F (وهوتکامل f).

مثال 1

يعلم التكامل بل تجزئ: في الشكل أدناه ، يتم حساب تكامل xsinx بطريقة التجزئ. يمكن ملاحظة أننا اخترنا x كوظيفة يتم اشتقاقها و sinx كوظيفة يتم الحصول علی التکامل منها. يجب أن تتم هذه الاختيارات بشكل صحيح. إذا كنت ستفعل عكس ما تم القيام به هنا، فإن التكامل النهائي الذي ستحصل عليه في طريقة الاستثناء سيكون أبسط من لا شيء، وأكثر صعوبة. يظهر استمرار حل المثال حتى الوصول إلى نهايته في الشكل أدناه.

التكامل بالتجزيء

مثال 2

يواجه العديد من الطلاب صعوبة في حساب Lnx المتكامل. كما ترى في الشكل أدناه، من السهل جدًا حساب تكامل Lnx باستخدام طريقة الاستثناء. يكفي اعتبار Lnx نفسه الوظيفة التي يجب اشتقاقها والرقم 1 كوظيفة يتم الحصول علی التکامل منها. يظهر استمرار حل المثال في الشكل أدناه. يمكنك أن ترى أنه مع الاستخدام الصحيح لطريقة التجزئ، فإن التكامل الذي تم الحصول عليه أخيرًا على الجانب الأيمن من المعادلة هو تكامل بسيط للغاية، ونتيجة لذلك، يمكن أن يكون استخدام هذه الطريقة مفيدًا للغاية.

التكامل بالتجزيء

يوصى بقراءة مقال كيف تتعلم متكامل.

مثال 3

احصل على الاستجابة المتكاملة للوظيفة (xcos (x باستخدام المكون بطريقة التجزئ.

لاحظ أنه يجب دائمًا مراعاة f و g بطريقة تجعل من الممكن حساب تكامل الدالة g’f. بالطبع، يجب أيضًا اعتبار الدالة f بطريقة يمكننا من خلالها حساب تكاملها. في هذا المثال، نعتبر أن x و (cos (x مساويان لـ g و f على التوالي. لذلك، بوضع هاتين الوظيفتين في الصيغة **، يكون لدينا:

بشكل عام، يمكن القول أن الوظيفة الأبسط يجب اعتبارها g. على سبيل المثال، في هذا المثال، اعتبرنا x كدالة لـ g. يساعد المثال5 على فهم أفضل لاختيار f و g.

مثال 4

أعثر على نتيجة التعبير:

في هذا المثال، يبدو أنه إذا اعتبرنا أن x هي f، فإن F، وهي تكامل لـ f، يسهل حسابها ويمكن أيضًا العثور على تكامل الدالة g’f بسهولة أكبر. لذلك، نفترض أن x يساوي f و (ln (x يساوي g. لذلك، وفقًا للافتراض المقدم، يمكننا كتابة:

التكامل بالتجزيء

لاحظ أنه في بعض الحالات قد يكون من الضروري الحصول على النتيجة المتكاملة باستخدام طريقة المكون على حدة مرتين. يتم إعطاء مثال على هذا المثال في المثال6.

مثال 5

احصل على ال إجابة ل:

كما ذكرنا أعلاه، من الأفضل عادةً اعتبار الدالة الأبسط مثل g في حساب تكامل بطريقة المكون. نتيجة لذلك، في هذا المثال، نعتبر الدالة g تساوي x2؛ لذلك، (sin (x مكافئ أيضًا لـ f. كما في الأمثلة السابقة، باستخدام الصيغة **، لدينا:

كما ترى، لحساب إجابة هذا المثال على التعبير\int xcos(x) وصلنا تم حساب إجابة هذا البيان في المثال 3. لذلك، من خلال وضع إجابة المثال 3 في العلاقة أعلاه، يتم العثور على الإجابة النهائية على النحو التالي.

قد تتساءل لماذا استخدمنا c بدلاً من 2c. يجب أن تلاحظ أن مشتق رقم ثابت يكون دائمًا صفرًا، لذا فإن أي قيمة ثابتة بدلاً من c تكون صحيحة.

حان الوقت الآن لاختبار نفسك. المثال التالي أصعب قليلاً من الأمثلة السابقة.

مثال 6

أعثر على تكامل الوظيفة:

 x\sqrt{(x+1))} كما هو مذكور، ضع في اعتبارك أولاً الوظيفة الأبسط التي تساوي g وتحقق مما إذا كان يمكن حل المشكلة بهذا الافتراض. لذلك، في هذا المثال، الدالة g تساوي x والدالة f تساوي \sqrt{x} + 1 سوف نأخذة بعين الاعتبار. ذكرنا أعلاه أن F هو تكامل الدالة f. وفقًا للمفاهيم الواردة في المقالة حول طرق الحساب التكاملية، ذكرنا قانون القوة في حساب التكامل على النحو التالي:

التكامل بالتجزيء

باستخدام قانون القوة، تكامل الدالة

،على النحو التالي.

الآن، بعد الحصول على F، يمكننا استخدام الصيغة ** على النحو التالي:

إتقان هذه الطريقة يعتمد على حل الأمثلة. في هذه الطريقة ، النقطة المهمة هي اختيار وظائف f و g المناسبة. في هذا الجزء، تم تدريس التكامل جزءًا تلو الآخر مع حل الأسئلة والتمارين والأمثلة. بالطبع، إذا كنت تريد استخدام هذه الطريقة جيدًا، فيجب أن تعرف أولاً كيفية حساب التكاملات البسيطة. لأنه كما ذكرنا، في هذه الطريقة تقوم بتحويل تكامل صلب قد لا يكون عمليًا حتى يتم حسابه إلى تكامل أبسط. لذلك، لا يتم الحصول على حل التكامل الأول بشكل مباشر، بل يتم تحويل التكامل الصلب إلى تكامل أبسط بطريقة الاستثناء. لذلك، على الأقل في نهاية العمل، يجب أن تعرف كيفية حل التكامل البسيط بالطرق المعتادة.

منشور ذات صلة

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة