يتم تقديم تعليم التكامل بالتجزئة أو التكامل بالأجزاء (integration by parts) في هذه المقالة، عن طريق حل بعض الأمثلة. تُستخدم طريقة التكامل بالتجزئة على نطاق واسع في حساب التكاملات وتحول العديد من التكاملات الصلبة إلى تكاملات أكثر بساطة وسهولة.
يستخدم التكامل بالتجزئة في الرياضيات وخاصة في حساب التكامل. في هذه الطريقة، يتم تحويل التكامل الذي يستحيل حسابه أو معقدًا إلى تكامل مكافئ ولكنه قابل للحساب عن طريق تغيير المتغير. في الواقع، لا يمنحك التكامل إجابة التكامل مباشرةً، ولكن يمكنك تحويل التكامل الذي عليك حله إلى تكامل آخر كثر بساطة وسهولة باستخدام طريقة المكون على حدة ثم حل التكامل الأبسط والأسهل.
افترض دالتين (u (x و (v (x. وتخيل أننا نريد الحصول على تكامل الدالة ((u ‘(x) v (x). فيمكن حساب تكامل هذه الدالة باستخدام الصيغة التالية.
دعنا نعود كفيلم ونروي قصة كيفية ظهور هذه الصيغة. لهذا الغرض، افترض دالتین (u (x و (v (x. نعلم أن مشتق الدالة ((u (x) v (x) يساوي التعبير التالي.
ننقل المصطلح الثاني من الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه إلى الجانب الأيسر؛ من خلال القيام بذلك، يمكن إعادة كتابة العلاقة أعلاه على النحو التالي.
الآن نأخذ التكامل من طرفي هذه العلاقة. وكما نعلم، فإن تكامل مشتقة الدالة يساوي الدالة نفسها. لذلك يمكننا أن نكتب:
نتيجة لذلك، من خلال دمج العلاقة أعلاه، نصل إلى الصيغة النهائية المقدمة.
لذلك، يمكن القول:
بالطبع، يمكن تنفيذ الصيغة أعلاه بطريقة أسهل على النحو التالي.
لذلك، من أجل حساب تكامل باستخدام طريقة التجزئة على حدة، يجب تحديد الدالتين f و g بطريقة يمكن حساب تكاملات الدالتين f و g’f. بعد ذلك، بوضع هذه القيم في المعادلة أعلاه، يمكن الحصول على تكامل الدالة fg بسهولة. الطريقة المذكورة أعلاه، تستخدم أيضًا في حساب التكامل المزدوج (double integral).
قد تبدو الصيغة أعلاه صعبة بعض الشيء في البداية. لذلك نقترح عليك دراسة الأمثلة التالية. ونذكر أن أهم خطوة في حساب التكامل هو الاختيار الصحيح للوظائف f و g. على سبيل المثال، افترض أن جزءًا من الوظيفة یتکون من 
الذي يقع ضمن تكامل التعبير. واضح أنك إذا اعتبرت هذه الدالة على أنها f، فلن يكون من الممكن حساب F (وهو تکامل f).
مثال 1
يُعلّم التكامل بالتجزئة: في الشكل أدناه، يتم حساب تكامل xsinx بالتجزئة. يمكن ملاحظة أننا اخترنا x كوظيفة يتم اشتقاقها و sinx كوظيفة يتم الحصول علی التکامل منها. يجب أن تتم هذه الاختيارات بشكل صحيح. إذا كنت ستفعل عكس ما تم القيام به هنا، فإن التكامل النهائي الذي ستحصل عليه في طريقة الاستثناء سيكون أبسط من لا شيء، وأكثر صعوبة. يظهر استمرار حل المثال حتى الوصول إلى نهايته في الشكل أدناه.
مثال 2
يواجه العديد من الطلاب صعوبة في حساب Lnx المتكامل. كما ترى في الشكل أدناه، من السهل جدًا حساب تكامل Lnx باستخدام طريقة الاستثناء. يكفي اعتبار Lnx نفسه الوظيفة التي يجب اشتقاقها والرقم 1 كوظيفة يتم الحصول علی التکامل منها. يظهر استمرار حل المثال في الشكل أدناه. يمكنك أن ترى أنه مع الاستخدام الصحيح لطريقة التجزئة، فإن التكامل الذي تم الحصول عليه أخيرًا على الجانب الأيمن من المعادلة، هو تكامل بسيط للغاية، ونتيجة لذلك، يمكن أن يكون استخدام هذه الطريقة مفيدًا للغاية.
يوصى بقراءة مقالة كيف تتعلم التكامل بالتجزئة.
مثال 3
احصل على الاستجابة المتكاملة للوظيفة (xcos (x باستخدام المكون بطريقة التجزئة.
لاحظ أنه يجب دائمًا مراعاة f و g بطريقة تجعل من الممكن حساب تكامل الدالة g’f. بالطبع، يجب أيضًا اعتبار الدالة f بطريقة يمكننا من خلالها حساب تكاملها. في هذا المثال، نعتبر أن x و (cos (x مساويان لـ g و f على التوالي. لذلك، بوضع هاتين الوظيفتين في الصيغة **، يكون لدينا:
بشكل عام، يمكن القول أن الوظيفة الأبسط يجب اعتبارها g. ففي هذا المثال، اعتبرنا x كدالة لـ g. يساعد المثال 5 على فهم أفضل لاختيار f و g.
مثال 4
أعثر على نتيجة التعبير:
في هذا المثال، يبدو أنه إذا اعتبرنا أن x هي f، فإن F، وهي تكامل لـ f، يسهل حسابها ويمكن أيضًا العثور على تكامل الدالة g’f بسهولة أكثر. لذلك، نفترض أن x يساوي f و (ln (x يساوي g. لذلك، وفقًا للافتراض المقدم، يمكننا كتابة:
لاحظ أنه في بعض الحالات قد يكون من الضروري الحصول على النتيجة المتكاملة باستخدام طريقة المكون على حدة مرتين. ويتم إعطاء مثال على هذا المثال في المثال 6.
مثال 5
احصل على الإجابة لـ:
كما ذكرنا أعلاه، من الأفضل عادةً اعتبار الدالة الأبسط مثل g في حساب التكامل بطريقة المكون. نتيجة لذلك، في هذا المثال، نعتبر الدالة g تساوي x2؛ لذلك، (sin (x مكافئ أيضًا لـ f. كما في الأمثلة السابقة، باستخدام الصيغة **، لدينا:
وكما ترى، لحساب إجابة هذا المثال على التعبير 
وصلنا تم حساب إجابة هذا البيان في المثال 3. لذلك، من خلال وضع إجابة المثال 3 في العلاقة أعلاه، يتم العثور على الإجابة النهائية على النحو التالي.
قد تتساءل أن لماذا استخدمنا c بدلاً من 2c. فيجب أن تلاحظ أن مشتق رقم ثابت يكون صفرًا دائمًا، لهذا فإن أي قيمة ثابتة بدلاً من c تكون صحيحة.
حان الوقت لاختبار نفسك. المثال التالي أصعب قليلاً من الأمثلة السابقة.
مثال 6
اعثر على تكامل الوظيفة:
كما هو مذكور، ضع في اعتبارك أولاً الوظيفة الأبسط التي تساوي g وتحقق مما إذا كان يمكن حل المشكلة بهذا الافتراض. لذلك، في هذا المثال، الدالة g تساوي x والدالة f تساوي 
سوف نأخذة بعين الاعتبار. ذكرنا أعلاه أن F هو تكامل الدالة f. وفقًا للمفاهيم الواردة في المقالة حول طرق الحساب التكاملية، ذكرنا قانون القوة في حساب التكامل على النحو التالي:
باستخدام قانون القوة، تكامل الدالة
،على النحو التالي.
الآن، بعد الحصول على F، يمكننا استخدام الصيغة ** على النحو التالي:
يعتمد إتقان هذه الطريقة على حل الأمثلة. النقطة المهمة في هذه الطريقة، هي اختيار وظائف f و g المناسبة. في هذا الجزء، تم تعليم التكامل بالتجزئة جزءًا تلو الآخر مع حل الأسئلة والتمارين والأمثلة. بالطبع، إذا أردت استخدام هذه الطريقة جيدًا، فيجب أن تعرف أولاً كيفية حساب التكاملات البسيطة. لأنه كما ذكرنا، في هذه الطريقة تقوم بتحويل تكامل صلب قد لا يكون عمليًا حتى يتم حسابه إلى تكامل أبسط. لذلك، لا يتم الحصول على حل التكامل الأول مباشرة، بل يتم تحويل التكامل الصلب إلى تكامل أبسط وأسهل بطريقة الاستثناء. لذلك، على الأقل في نهاية العمل، يجب أن تعرف كيفية حل التكامل البسيط بالطرق المعتادة.
This article is useful for me
1+ 3 People like this post
