في الرياضيات، الدالة أو التابع أو الاقتران (بالإنجليزية: Function)‏ هي كائن رياضي يمثل علاقة تربط كل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق أو مجموعة الانطلاق أو المجال  X بعنصر واحد وواحد فقط على الأكثر من مجموعة تدعى المستقر أو المجال المقابل أو مجموعة الوصول Y.  الدوال وحسابها في النقاط المتعلقة بالدالة، يجعل سلوكها والتغييرات معروفة. لكن في بعض الحالات أو النقاط، الدوال لديهم سلوك غير عادي. في مثل هذه النقاط، يتم النظر في بعض السلوك. هذا يعني أننا نريد دراسة سلوك الدالة حيث تقترب قيمة المتغير من نقطة. هذا معروف في الرياضيات بحد الدالة أو Limit.

ما هو الحد أو النهاية؟

تعتبر نهاية أو غاية دالة إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي. باختصار يمكن القول أن للدالة f نهاية L عند النقطة p. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة f تقترب بشكل كبير من القيمة L عند النقاط القريبة من p أو عندما يقترب المتغير المستقل x بشكل كبير من p. نقول أن للدالة “f” نهاية في “L” إذا وجدت قيمة صغيرة “ε > 0 “ε حيث.f- L | < ε|

في الرياضيات، الحد هو القيمة التي تقتربها الدالة (أو التسلسل) عندما يقترب أحد المدخلات (أو المتغير) من قيمة دالة. يعد حساب الحد ضروريًا للحساب والتحليل الرياضي ويستخدم لتحديد استمرارية ومشتقات وتكاملات الدوال الرياضية. بصرف النظر عن حدود الدوال الرياضية، يتم تعميم مفهوم حد التسلسل على مفهوم حد الشبكة الطوبولوجية ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بالحد في النظرية المباشرة للفئة.

في الصيغ، عادةً ما تتم كتابة حد دالة مثل f (x) على النحو التالي.

\lim _{x \to \.C}f(x) = L

العلاقة أعلاه تقرأ على النحو التالي.

ليميت الدالة f عندما ينتقل المتغير x إلى c يساوي L.

من ناحية أخرى، يمكن عرض حد الدالة f على النحو التالي.

f (x) → L as x → c

بهذه الطريقة، سيتم قراءة العبارة أعلاه على النحو التالي.

تميل الدالة f إلى L، عندما تميل x إلى c.

حد الدالة أو Limit
إظهار تعريف الحد بمساعدة إبسيلون وحي دلتا

ليميت في الرياضيات

لنفترض أن الدالة f دالة حقيقية وأن c قيمة حقيقية. يشير حد الدالة f، الذي نشير إليه بواسطة L، إلى أنه مع انخفاض قيمة x إلى c وتناقص اختلافاتهما بشكل كافٍ، ستقترب الدالة أيضًا من L. إذا حدث هذا، فإننا نقول إن نهاية الدالة f عند النقطة c تساوي L.

في عام 1821، صاغ أوجستين لويس كوشي  (Augustin-Louis Cauchy)، بالاشتراك مع كارل وييرستراس (Karl Weierstrass)، تعريفًا للحدود وحدده بناءً على تعريف الحد بواسطة إبسيلون (ε) ودلتا (δ).

كوشي أوغسطين لويس كوشي  (Augustin-Louis Cauchy) (1789-1857)

التعبير عن النهاية بـ (ε) و (δ) هو كما يلي. إذا تغيرت x في حي بمركز c ونصف قطرδ فإن الدالة تتغير أيضًا في حي بمركز L ونصف قطر. سنكتب هذا بمصطلحات رياضية على النحو التالي.

∀ ϵ , ∃ δ, if |x – c| < δ then | f (x) – L| < ϵ

من الواضح أن القيمة المطلقة المستخدمة في العلاقة أعلاه ستنشئ حيًا.

مثال 1

لاستخدام هذه العلاقة لحساب الحد، ضع في اعتبارك الدالة التالية. نريد حساب نهاية هذه الدالة عندما يقترب x من ميل واحد.

F( x ) = x + 1

وفقًا لهذه المشكلة، سنكتب الحد على النحو التالي.

\lim _{x \to \.1}X + 1

نستخدم القاعدة أو التعبير عن النهاية بـ (ε) و (δ).

من الواضح أن قيمة 1 تقع في مجال هذه الدالة، لذا يمكننا الحصول على قيمة الدالة في هذه المرحلة للحصول على هذا الحد واستخدامه كتخمين أولي للنهاية. قيمة الدالة في هذه الحالة تساوي 1 + 1 = 2. نتيجة لذلك، نعتبر أن قيمة L هي نفسها 2.

وبالتالي، فإن علاقة الحد أو الحد لهذا المثال مكتوبة على النحو التالي.

∀ ϵ , ∃ δ, if | x – 1 | < δ then | ( x + 1 ) − 2 | < ϵ

نستخدم الجانب الأيمن من التعريف ولكل نظهر وجودδ .

|( x + 1 ) – ( 2 ) | < ϵ → | x – 1 | < δ

لذا، بوضع x في منطقة مجاورة، نستنتج ذلك بوضع أكبر من. نحصل على الإجابة. لذلك لكل. تمكنا من تعيين قيمة δ وهي قيمة أكبر من ε لتحديد العلاقة مع الحد. لذلك L = 2 هي القيمة الحدية للدالة المطلوبة.

هناك نظرية حد تساهم في تفرد الحد. في هذه الحالة، إذا كان للدالة حد، فسيكون هذا الحد فريدًا ولا يمكن أن تكون أي نقطة أخرى هي حد الدالة. لذلك، ستكون القيمة 2 قيمة فريدة للحد الأعلى للدالة، ولن يكون للدالة حد آخر عند النقطة x = 1.

كما ترى، عند التعامل مع دالة خطية أو متعددة الحدود بشكل عام مثل Pn (x)، فإن سعة الدالة تساوي الأعداد الحقيقية، ويكون حد هذه الدالة هو قيمتها عند نفس النقطة. لذلك يمكن كتابة العلاقة التالية لكثيرات الحدود.

\lim_{x \to \.c}Pn(x) = Pn ( c)

بشكل عام، إذا كان Pn (x) و Qm (x) عبارة عن دالتين متعددتي الحدود من الدرجة n و m، فإن الجمع والطرح والضرب لهما حد ويكون حده مساويًا لقيمة كثيرات الحدود عند، على سبيل المثال، النقطة c. لكن هذه الخاصية لم يتم تأسيسها في القسمة، وبما أن الكسر في جذر المقام يصبح غير محدد، يجب علينا، عن طريق الطرق الموجودة، أن نجعل النسبة بين كثيرتي الحدود بطريقة تقضي على التشوهات. في المثال التالي، يحدث مثل هذا الموقف ونحاول تحديد السلوك المحدود للوظيفة بالقرب من جذر المقام.

مثال 2

ضع في اعتبارك الدالة التالية. نريد الحصول على الحد الأقصى عندما يدفع المتغير إلى ميل واحد. هذا يعني تحديد سلوك الدالة حول قيمة 1. من الواضح أن قيمة 1 هذه المرة ليست في نطاق الدالة ولا يمكن حساب قيمة الدالة فيها.

 A = \frac{ x^2 - 1 }{ x - 1}

أولاً، نحصل على قيمة هذه الدالة وفقًا لجدول الحساب التالي بالقرب من 1.

قيمة المتغيرقيمة الدالة
0.9F(0.9) = 1.900
0.99F(0.99) = 1.990
0.999F(0.999) = 1.999
1.0لا محدد (غير معرف)
1.001F(1.001) = 2.001
1.01F(1.01) = 2.010
1. 1F(1.1) = 2.1

يبدو أن قيمة هذه الدالة تقترب من 1 إلى 2. نريد استخدام هذه المشكلة بمساعدة التعريف الأولي للحد. من الواضح أننا سننظر في التخمين الأولي أو قيمة L تساوي 2.

 | \frac{ x^2 - 1 }{ x - 1} - 2 | < epsilon

بمساعدة التحالفات، سنحلل شكل الكسر ونكتبه على النحو التالي.

  \frac{ x^2 - 1 }{ x - 1} =  \frac{ (x - 1 ) ( x + 1 ) }{ x - 1 } = x + 1

بهذه الطريقة، نكتب الدالة بشكل أكثر بساطة ونجد النهاية بناءً على f (x) = x + 1. لاحظ، مع ذلك، أنه في هذه الحالة لن يحتوي مجال الدالة على قيمة 1.

كما في المثال السابق، قمنا بحل مشكلة نهائية، هنا سنحل المثال بمساعدة العلاقة المذكورة في تعريف النهاية وسنحصل على قيمة نهائية تساوي 2.

مثال 3

لنفترض أننا حصلنا على دالة على النحو التالي وسنقوم بتعيين حد هذه الدالة عند النقطة x = 0.

F ( x ) = { 1 for x < 0 ، 2 for x ≥ 0

من الواضح أن الدالة المعنية هي دالة خطوة بخطوة أو دالة متعددة المعايير. مرة أخرى ، باستخدام طريقة أو طريقة Spieln-Delta، نريد حساب حد هذه الدالة. لنفترض أننا اعتبرنا أن حد الدالة هو 2 (لأن قيمة الدالة عند النقطة x = 0 تساوي 2). إذن القيمة هي L = 2 وسنكتب علاقة النهاية.

| F ( x ) – L | <  ϵ → | x – 0 | < δ

لكل قيمة من ε، يجب أن نكون قادرين على إيجاد قيمة δ. أعد كتابة العلاقة أعلاه للقيمة السالبة لـ x (أي x ≥ 0).

| 2 – 2 | = 0 < ϵ → x < δ

نظرًا لأن جميع القيم الموجبة ϵ يجب أن تكون العلاقة المذكورة صحيحة، يمكننا اعتبار أن نهاية الدالة تساوي 2.

هذه المرة نحصل على المساعدة من القيم السلبية. إذا كانت x <0‌، فستتم كتابة علاقة النهاية على النحو التالي.

| 1 – 2 | = 1 < ϵ → x < δ

من الواضح أن العلاقة الأخيرة تنطبق فقط على قيم التي تزيد عن 1، لذلك لا يمكننا تعيين حد الدالة للقيم السالبة للمتغير x، قيمة 2. نتيجة لذلك ، لا يوجد حد للدالة عند النقطة x = 0.

لاحظ مع ذلك أن القيمة الحدية يجب أن تكون فريدة بمساعدة نظريات التحديد. بمعنى آخر، لا يمكن أن يكون لنهاية الدالة إجابتان في نقطة واحدة.

يمكن إثبات أن نهاية الدالة تساوي 2 عندما يميل المتغير إلى الصفر، وعندما يقترب من الصفر من النقاط الأكبر من الصفر (على اليمين)، ويساوي 2 للقيم الأقل من الصفر (على اليسار). هو مع 1. نتيجة لذلك، لن يكون للدالة حد.

ملاحظة: قيمة x التي تقترب من الصفر من اليسار تشكل الحد الأيسر للدالة.

من ناحية أخرى، فإن الاقتراب من x‌ من اليمين إلى الدالة يحدد أيضًا حدها الأيمن. وفقًا لنظرية النهاية، يجب أن يكون الحد الأيمن والحد الأيسر متساويين حتى يكون للدالة حد عند هذه النقطة.

مثال 4

استنادًا إلى المثال 3، يمكن إظهار أن حد الدالة التاليه غير موجود في أي نقطة في القيم الحقيقية (نطاق الدالة).

F(x)={ 1 if x ϵ rational  ،  0 if  x ϵ irrational

الأرقام irrational تعني الأرقام الغامضة وrational  تعني أيضًا أرقامًا منطقية.

لنفترض أننا نريد التحقق من نهاية دالة عند نقطة مثل x = 0. يوجد في أي حي من x أرقام فردية وزوجية، لذا لا يمكن تحديد حد الدالة في أي حي بنصف قطر ε.  نتيجة لذلك، لا يوجد حد للوظيفة المذكورة أعلاه في أي نقطة من مجالها.

تطبيق الحد

عندما نفحص سلوك الدوال في الرياضيات، يلعب تماسك الدوال دورًا. الدالة التي ترتبط نقاطها ببعضها البعض ولا يتم إزالة القلم من الورق عند رسم مخططها هي دالة مستمرة.

على سبيل المثال، إذا كانت دالة مثل f (x) يجب أن تكون متصلة عند النقطة c، فيجب أن تكون النقطة c في مجال الدالة ويمكن حساب الدالة في تلك النقطة. من ناحية أخرى، فإن حد الدالة عند هذه النقطة يساوي قيمة الدالة عند تلك النقطة. بالنظر إلى هذه الشروط، نسمي الدالة f (x) في c المستمر. إذا كانت الدالة مستمرة في جميع النقاط في مجالها، فستكون الدالة متصلة تمامًا.

كما أن التعريف المستخدم للمشتق هو من مفهوم الحد. الدالة f (x) لها مشتق عند النقطة a، إذا كان Limit التالي موجودًا وليس لانهائيًا.

  f'( c) = \lim _{x \to \.c}\frac{ f(x) - f( c) }{ ( x - c ) }

كما ترون في العلاقة أعلاه، نعرض مشتق الدالة كـ f ′ (x). إذا كان للدالة مشتق في جميع مجالاتها، فإنها تسمى مشتقًا.

من ناحية أخرى، يتم التعبير عن التكامل أيضًا من حيث الحد. لاحظ الصورة أدناه.

الهدف هو تحديد المنطقة الواقعة أسفل المنحنى f (x). لنفترض أننا قسمنا الدالة المعنية في الفترة [a ، b] إلى ن معادلات فرعية للعرض Δx. من ناحية أخرى، لكل ركيزة، نعتبر نقطة مثل xi تا لتمثيل القيمة التقريبية للدالة في تلك الفترة. إذن، التكامل المحدد للدالة من a إلى b يساوي العلاقة التالية.

حد الدالة أو Limit
منشور ذات صلة
16 Minutes

نظريات بيير دي فيرمات

عاطفة عكرش

كان فيرمات أول شخص معروف بتقييم تكامل دوال القوة العامة. بفضل طريقته، تمكن من اختزال هذا التقييم إلى مجموع المتسلسلات الهندسية. كانت الصيغة الناتجة مفيدة لنيوتن، ثم لايبنيز، عندما طورا بشكل مستقل النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة