في الرياضيات، الأعداد الطبيعية هي تلك الأرقام المستخدمة للعد (كما في “هناك ستة عملات معدنية على الطاولة”) والترتيب (كما في “هذه هي ثالث أكبر مدينة في البلاد”). في المصطلحات الرياضية الشائعة، الكلمات العامية المستخدمة في العد هي “الأعداد الأصلية”، والكلمات المستخدمة في الترتيب هي “الأعداد الترتيبية”. يمكن أن تظهر الأرقام الطبيعية، في بعض الأحيان، كمجموعة ملائمة من الرموز (تسميات أو “أسماء”)، أي كما يسميها اللغويون الأرقام الاسمية (Nominal number)، تتجاهل العديد أو كل خصائص كونه رقمًا بالمعنى الرياضي.

العدد الطبيعي | Natural number
الصورة: يمكن استخدام الأعداد الطبيعية للعد (تفاحة واحدة، تفاحتان، ثلاث تفاحات،…).

تبدأ في بعض التعريفات الاعداد الطبيعية بـ 0، المقابلة للأعداد الصحيحة غير السالبة 0، 1، 2، 3،…، بينما يبدأ البعض الآخر بـ 1، المقابلة للأعداد الصحيحة الموجبة 1، 2، 3،… النصوص التي تستبعد الصفر من الأعداد الطبيعية تشير أحيانًا إلى الأعداد الطبيعية مع الصفر كأرقام صحيحة، بينما في الكتابات الأخرى، يستخدم هذا المصطلح بدلاً من ذلك للأعداد الصحيحة (بما في ذلك الأعداد الصحيحة السالبة).

الأعداد الطبيعية هي الأساس الذي يمكن من خلاله بناء العديد من مجموعات الأرقام الأخرى عن طريق الامتداد: الأعداد الصحيحة، من خلال تضمين (إن لم يكن بعد) العنصر المحايد 0 والمعكوس الجمعي (−n) لكل عدد طبيعي غير صفري n؛ الأرقام المنطقية، من خلال تضمين معكوس مضاعف (1/n) لكل عدد صحيح غير صفري n (وكذلك حاصل ضرب هذه المقلوب بواسطة الأعداد الصحيحة)؛ الأعداد الحقيقية بتضمينها مع الأسس المنطقية حدود (المتقاربة) متواليات كوشي للأسباب المنطقية؛ الأعداد المركبة، بتضمينها مع الأعداد الحقيقية الجذر التربيعي غير المحسوم لسالب واحد (وكذلك المبالغ ونواتجها)؛ وما إلى ذلك… تجعل سلسلة الامتدادات هذه الأرقام الطبيعية مضمنة (محددة) في أنظمة الأرقام الأخرى.

تتم دراسة خصائص الأعداد الطبيعية، مثل القابلية للقسمة وتوزيع الأعداد الأولية، في نظرية الأعداد. تتم دراسة المشكلات المتعلقة بالعد والترتيب، مثل التقسيم والتعداد، في التوافقية.

في اللغة الشائعة، لا سيما في التعليم الابتدائي، يمكن تسمية الأعداد الطبيعية بأرقام العد لاستبعاد الأعداد الصحيحة السلبية والصفر بشكل حدسي، وأيضًا للتباين بين تمييز العد واستمرارية القياس؛ وهي سمة مميزة للأرقام الحقيقية.

تاريخ الأعداد الطبيعية

الجذور القديمة

الصورة: يُعتقد أن عظمة إشانغو (المعروض في المعهد الملكي البلجيكي للعلوم الطبيعية) قد استخدمت منذ 20000 عام لحساب الأعداد الطبيعية.

الطريقة الأكثر بدائية لتمثيل رقم طبيعي هي وضع علامة لكل كائن. في وقت لاحق، يمكن اختبار مجموعة من الكائنات من أجل المساواة أو الزيادة أو النقص عن طريق شطب علامة وإزالة كائن من المجموعة.

كان أول تقدم كبير في التجريد هو استخدام الأرقام لتمثيل الأعداد. سمح ذلك بتطوير أنظمة لتسجيل أعداد كبيرة. طور قدماء المصريين نظامًا قويًا من الأرقام مع الهيروغليفية المميزة لـ 1 و 10 وجميع القوى من 10 إلى أكثر من 1 مليون. نحت على الحجر من الكرنك، يعود تاريخه إلى حوالي 1500 قبل الميلاد والآن في متحف اللوفر في باريس، يصور 276 على أنه مئتان و 7 عشرات و 6 آحاد؛ وبالمثل للرقم 4622. كان لدى البابليين نظام قيمة مكانية يعتمد أساسًا على الأرقام لـ 1 و 10، باستخدام قاعدة الستين، بحيث يكون رمز الستين هو نفس رمز واحد يتم تحديد قيمته من السياق.

كان التقدم الذي حدث بعد ذلك بكثير هو تطوير فكرة أن 0 يمكن اعتباره رقمًا برقمه الخاص. يعود استخدام الرقم 0 في تدوين القيمة المكانية (ضمن أرقام أخرى) إلى ما قبل 700 قبل الميلاد من قبل البابليين، الذين حذفوا مثل هذا الرقم عندما كان سيكون الرمز الأخير في العدد. استخدمت حضارات الأولمك (Olmec) والمايا (Maya civilizations) كرقم منفصل في وقت مبكر من القرن الأول قبل الميلاد، لكن هذا الاستخدام لم ينتشر خارج أمريكا الوسطى. نشأ استخدام الرقم 0 في العصر الحديث مع عالم الرياضيات الهندي براهماغوبتا (Brahmagupta) في 628 م. ومع ذلك، تم استخدام الرقم 0 كرقم في حساب القرون الوسطى (حساب تاريخ عيد الفصح)، بدءًا من دنيسيوس الصغير (Dionysius Exiguus) في عام 525 م، دون الإشارة إليه برقم (الأرقام الرومانية القياسية ليس لها رمز لـ 0). بدلاً من ذلك، تم استخدام nulla (أو الصيغة المضافة nullae) من nullus، وهي الكلمة اللاتينية التي تعني “لا شيء”، للإشارة إلى قيمة 0.

تُنسب أول دراسة منهجية للأرقام كتجريدات إلى الفلاسفة اليونانيين فيثاغورس وأرخميدس. تعامل بعض علماء الرياضيات اليونانيين مع الرقم 1 بشكل مختلف عن الأعداد الكبيرة، وأحيانًا ليس كرقم على الإطلاق.

على سبيل المثال، حدد إقليدس الوحدة أولاً ثم الرقم على أنه عدد كبير من الوحدات، وبالتالي من خلال تعريفه، فإن الوحدة ليست رقمًا ولا توجد أرقام فريدة (على سبيل المثال، أي وحدتين من عدد غير محدد من الوحدات هي 2).

كما أجريت دراسات مستقلة حول الأرقام في نفس الوقت تقريبًا في الهند والصين وأمريكا الوسطى.

التعريفات الحديثة لــ الأعداد الطبيعية

في القرن التاسع عشر في أوروبا، كان هناك نقاش رياضي وفلسفي حول الطبيعة الدقيقة للأعداد الطبيعية. ذكرت إحدى مدارس المذهب الطبيعي أن الأعداد الطبيعية كانت نتيجة مباشرة للنفسية البشرية. كان هنري بوانكاريه أحد المدافعين عنها، كما كان ليوبولد كرونيكر، الذي لخص إيمانه بأنه “صنع الله الأعداد الصحيحة، كل ما عدا ذلك هو عمل الإنسان”.

في معارضة علماء الطبيعة، رأى البنائيون الحاجة إلى تحسين الصرامة المنطقية في أسس الرياضيات. في الستينيات من القرن التاسع عشر، اقترح هيرمان جراسمان تعريفًا تعاوديًا للأعداد الطبيعية، مشيرًا إلى أنها ليست طبيعية حقًا، ولكنها نتيجة للتعريفات. وفي وقت لاحق، تم إنشاء فئتين من هذه التعريفات الرسمية؛ في وقت لاحق، تبين أنها متكافئة في معظم التطبيقات العملية.

التعريفات النظرية للأعداد الطبيعية بدأها فريجه. قام في البداية بتعريف الرقم الطبيعي على أنه فئة جميع المجموعات التي تكون في مراسلات فردية مع مجموعة معينة. ومع ذلك، تبين أن هذا التعريف أدى إلى مفارقات، بما في ذلك مفارقة راسل. لتجنب مثل هذه المفارقات، تم تعديل الشكلية بحيث يتم تعريف الرقم الطبيعي على أنه مجموعة معينة، ويقال أن أي مجموعة يمكن وضعها في مراسلات فردية مع هذه المجموعة تحتوي على هذا العدد من العناصر.

تم تقديم الفئة الثانية من التعريفات بواسطة تشارلز ساندرز بيرس، وصقلها ريتشارد ديديكيند، واستكشفها جوزيبي بينو؛ هذا النهج يسمى الآن مسلمات بيانو (Peano axioms). وهو يقوم على أساس البديهية لخصائص الأعداد الترتيبية: كل رقم طبيعي له خلف وكل رقم طبيعي غير صفري له سلف فريد. حسابية بيانو متساوية مع العديد من النظم الضعيفة لنظرية المجموعات. أحد هذه الأنظمة هو ZFC مع استبدال بديهية اللانهاية بنفيها. النظريات التي يمكن إثباتها في ZFC ولكن لا يمكن إثباتها باستخدام Peano Axioms تشمل نظرية Goodstein.

مع كل هذه التعريفات، من الملائم تضمين 0 (المقابل للمجموعة الفارغة) كرقم طبيعي. تضمين 0 هو الآن اصطلاح مشترك بين مجموعة المنظرين والمنطقين. يشمل علماء الرياضيات الآخرون أيضًا 0، وغالبًا ما تبدأ لغات الكمبيوتر من الصفر عند تعداد العناصر مثل عدادات الحلقات وعناصر السلسلة أو الصفيف. من ناحية أخرى، احتفظ العديد من علماء الرياضيات بالتقاليد القديمة لأخذ الرقم 1 ليكون أول رقم طبيعي.

الرموز

الأعداد الطبيعية
الصورة: رمز N الكبير المزدوج، غالبًا ما يستخدم للإشارة إلى مجموعة جميع الأعداد الطبيعية.

يستخدم علماء الرياضيات N للإشارة إلى مجموعة جميع الأعداد الطبيعية. تم تأسيس وجود مثل هذه المجموعة في نظرية المجموعات. استخدمت النصوص القديمة أيضًا في بعض الأحيان J كرمز لهذه المجموعة.

نظرًا لأن الخصائص المختلفة ترتبط عادةً بالرمزين 0 و 1 (على سبيل المثال، العناصر المحايدة للجمع والضرب، على التوالي)، فمن المهم معرفة إصدار الأرقام الطبيعية المستخدمة في الحالة قيد الدراسة. يمكن القيام بذلك عن طريق الشرح في النثر، أو عن طريق تدوين المجموعة صراحة، أو عن طريق تأهيل المعرف العام برمز علوي أو منخفض، على سبيل المثال، مثل هذا:

الأعداد الطبيعية بدون صفر:

    \[ { \{1,2,…\} = \mathbb {N} ^{*} = \mathbb {N} ^{+} = \mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\} = \mathbb {N} _{1}} \]

الأعداد الطبيعية مع صفر:

    \[ { \;\{0,1,2,…\} = \mathbb {N} _{0} = \mathbb {N} ^{0} = \mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}} \]

بدلاً من ذلك، نظرًا لأن الأعداد الطبيعية تشكل بشكل طبيعي مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة (غالبًا ما يشار إليها بالرمز Z، فقد يُشار إليها على أنها الأعداد الصحيحة الموجبة أو غير السالبة، على التوالي. ولا لبس فيها بشأن ما إذا كان الرقم 0 متضمنًا أم لا، وأحيانًا يكون حرفًا منخفضًا (أو مرتفع) “0” يضاف في الحالة السابقة، ويضاف “*” مرتفع في الحالة الأخيرة:

    \[ { \{1,2,3,\dots \} = \{x\in \mathbb {Z} :x>0\} = \mathbb {Z} ^{+} = \mathbb {Z} _{>0}} \]

    \[ { \{0,1,2,\dots \} = \{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\} = \mathbb {Z} _{0}^{+} = \mathbb {Z} _{\geq 0}} \]

خصائص الأعداد الطبيعية

بالنظر إلى مجموعة N للأرقام الطبيعية والدالة اللاحقة S: N → Nالتي ترسل كل رقم طبيعي إلى الرقم التالي، يمكن للمرء تحديد إضافة الأعداد الطبيعية بشكل متكرر عن طريق تعيين a + 0 = a و a + S(b) = S(a + b) للجميع a، b. إذن (ℕ، +) هو أحادي تبادلي مع عنصر هوية 0. إنه أحادي حر على مولد واحد. يفي هذا الأحادي التبادلي بخاصية الإلغاء، لذلك يمكن تضمينه في مجموعة. أصغر مجموعة تحتوي على الأعداد الطبيعية هي الأعداد الصحيحة.

إذا تم تعريف 1 على أنه S(0)، فإن b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b) أي أن b + 1 هو ببساطة خليفة b.

عمليه الضرب

بشكل مشابه، نظرًا لأنه تم تعريف الإضافة، يمكن تعريف عامل الضرب × من خلال a × 0 = 0 و a × S(b) = (a × b) + a. هذا يتحول (ℕ *، ×) إلى أحادي تبادلي حر مع عنصر الهوية 1؛ مجموعة المولد لهذا المونويد هي مجموعة الأعداد الأولية.

العلاقة بين الجمع والضرب

الجمع والضرب متوافقان، والذي يتم التعبير عنه في قانون التوزيع:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

تجعل خواص الجمع والضرب هذه الأعداد الطبيعية مثالًا على نصف تبادلي. Semirings هي تعميم جبري للأعداد الطبيعية حيث الضرب ليس بالضرورة تبادليًا. عدم وجود انعكاسات مضافة، وهو ما يعادل حقيقة أن ℕ ليست مغلقة تحت الطرح (أي أن طرح طبيعي من الآخر لا يؤدي دائمًا إلى نتيجة طبيعية أخرى)، يعني أن ℕ ليست حلقة؛ بدلاً من ذلك، فهو عبارة عن نصف دائري (يُعرف أيضًا باسم منصة الحفر).

إذا تم أخذ الأعداد الطبيعية على أنها “باستثناء 0″، و “تبدأ من 1″، فإن تعريفات + و × تكون على النحو الوارد أعلاه، باستثناء أنها تبدأ بـ a × 1 = a. و a + 1 = S(a).

ترتيب

في هذا القسم، تشير المتغيرات المتجاورة مثل ab إلى المنتج a × b، ويفترض الترتيب القياسي للعمليات.

يتم تحديد الترتيب الإجمالي للأعداد الطبيعية بالسماح لـ a ≤ b إذا وفقط إذا كان هناك عدد طبيعي آخر c حيث a + c = b. يتوافق هذا الترتيب مع العمليات الحسابية بالمعنى التالي: إذا كانت a و b و c أعدادًا طبيعية و a b، فإن a + c ≤ b + c و ac ≤ bc.

من الخصائص المهمة للأعداد الطبيعية أنها مرتبة جيدًا: كل مجموعة غير فارغة من الأعداد الطبيعية بها أقل عنصر. يتم التعبير عن الترتيب بين المجموعات جيدة الترتيب برقم ترتيبي؛ بالنسبة للأعداد الطبيعية، يُشار إلى ذلك بـ ω (اوميغا).

قسمة

في هذا القسم، تشير المتغيرات المتجاورة مثل ab إلى المنتج a × b، ويفترض الترتيب القياسي للعمليات.

في حين أنه من غير الممكن عمومًا قسمة رقم طبيعي على آخر والحصول على رقم طبيعي نتيجة لذلك، فإن إجراء القسمة مع الباقي أو القسمة الإقليدية متاح كبديل: لأي رقمين طبيعيين a و b مع b ≠ 0 هناك هي أعداد طبيعية q و r هكذا

    \[ {\ a=bq+r{\text{ and }}r<b.} \]

الرقم q يسمى حاصل القسمة و r يسمى باقي قسمة a على b. يتم تحديد الأرقام q و r بشكل فريد بواسطة a و b. يعتبر هذا التقسيم الإقليدي مفتاحًا للعديد من الخصائص الأخرى (القابلية للقسمة)، والخوارزميات (مثل الخوارزمية الإقليدية)، والأفكار في نظرية الأعداد.

الخصائص الجبرية راضية عن الأعداد الطبيعية 2

عمليات الجمع (+) والضرب (×) على الأعداد الطبيعية كما هو محدد أعلاه لها العديد من الخصائص الجبرية:

  • لانغلاق (بالإنجليزية closure) تحت الجمع والضرب: لكل الأعداد الطبيعية a و b، كل من a + b و a × b عددان طبيعيان.
  • عملية تجميعية (بالإنجليزية: Associative property): لجميع الأعداد الطبيعية a، b، c

a + (b + c) = (a + b) + c

و

 a × (b × c) = (a × b) × c

  • العملية التبديلية أو التبادلية (بالإنجليزية: Commutativity)‏ : لجميع الأعداد الطبيعية a، b

a + b = b + a

و

 a × b = b × a

  • وجود العنصر المحايد (بالإنجليزية: Identity element)‏: لكل عدد طبيعي a

 a + 0 = a

و

 a × 1 = a

  • توزيعية (بالإنجليزية: Distributivity)‏ الضرب على الجمع لجميع الأعداد الطبيعية a، b، c

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

  • لا توجد قواسم غير صفرية: إذا كان a و b أعدادًا طبيعية مثل a × b = 0، إذن a = 0 أو b = 0 (أو كلاهما).

ما لا نهاية

مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة لا نهائية. بالتعريف، يسمى هذا النوع من اللانهاية، اللانهاية المعدودة. يقال إن جميع المجموعات التي يمكن وضعها في علاقة انحياز مع الأعداد الطبيعية لديها هذا النوع من اللانهاية. يتم التعبير عن هذا أيضًا بالقول أن الرقم الأساسي للمجموعة aleph-nought (ℵ0).

التعميمات في الأعداد الطبيعية

ينشأ تعميمان مهمان للأعداد الطبيعية من استخدامي العد والترتيب: الأعداد الأصلية (Cardinal number) والأرقام الترتيبية (Ordinal number).

  • يمكن استخدام عدد طبيعي للتعبير عن حجم مجموعة محدودة؛ بتعبير أدق، الرقم الأساسي هو مقياس لحجم المجموعة، وهو مناسب حتى للمجموعات اللانهائية. يعتمد مفهوم “الحجم” هذا على الخرائط بين المجموعات، بحيث يكون لمجموعتين نفس الحجم، بالضبط إذا كان هناك انحراف بينهما. يُقال إن مجموعة الأعداد الطبيعية نفسها، وأي صورة حيوية لها، لا حصر لها إلى حد كبير ولديها عدد أصلي أليف-فارغ (ℵ0).
  • تُستخدم الأعداد الطبيعية أيضًا كأرقام ترتيبية لغوية: “الأول”، “الثاني”، “الثالث”، وهكذا دواليك. بهذه الطريقة يمكن تخصيصها لعناصر مجموعة محدودة مرتبة تمامًا، وكذلك لعناصر أي مجموعة لا حصر لها مرتبة جيدًا. يمكن تعميم هذا التعيين على الطلبات الجيدة العامة باستخدام عدد أساسي يتجاوز إمكانية العد، لإنتاج الأرقام الترتيبية. يمكن أيضًا استخدام رقم ترتيبي لوصف مفهوم “الحجم” لمجموعة مرتبة جيدًا، بمعنى مختلف عن العلاقة الأساسية: إذا كان هناك تماثل في الترتيب (أكثر من انحياز!) بين مجموعتين منظمتين جيدًا، فإنهم لها نفس الرقم الترتيبي. يتم التعبير عن الرقم الترتيبي الأول الذي ليس رقمًا طبيعيًا كـ ω؛ هذا أيضًا هو الرقم الترتيبي لمجموعة الأعداد الطبيعية نفسها.

أقل عدد ترتيبي من أصل 0 (أي، الترتيب الأولي 0) هو ω لكن العديد من المجموعات جيدة الترتيب ذات العدد الأساسي ℵ0 لها عدد ترتيبي أكبر من ω.

بالنسبة للمجموعات المحدودة المرتبة جيدًا، يوجد تطابق واحد لواحد بين الأعداد الترتيبية والأرقام الأصلية؛ لذلك يمكن التعبير عن كلاهما بنفس العدد الطبيعي، عدد عناصر المجموعة. يمكن أيضًا استخدام هذا الرقم لوصف موضع عنصر ما في تسلسل محدود أو لانهائي أكبر.

طور ثورالف سكوليم (Thoralf Skolem) في عام 1933 نموذجًا حسابيًا غير قياسي قابل للعد يرضي حساب Peano (أي من الدرجة الأولى بديهيات Peano). تعد الأرقام الفائقة طبيعية نموذجًا غير معدود يمكن بناؤه من الأعداد الطبيعية العادية عبر البناء الفائق القوة.

اعتاد جورج ريب على الادعاء بشكل استفزازي أن الأعداد الصحيحة الساذجة لا تملأ ℕ.

التعريفات الرسمية

مسلمات بيانو  

يمكن اشتقاق العديد من خصائص الأعداد الطبيعية من مسلمات بيانو (Peano axioms) الخمس:

  • 0 هو رقم طبيعي.
  • كل رقم طبيعي له رقم لاحق وهو أيضًا رقم طبيعي.
  • 0 ليس خليفة أي رقم طبيعي.
  • إذا كان خليفة x يساوي خليفة y، فإن x يساويy .
  • بديهية الاستقراء: إذا كان البيان صحيحًا للصفر، وإذا كانت حقيقة هذا البيان لرقم ما تدل على حقيقته بالنسبة لخلف ذلك الرقم، فإن العبارة تكون صحيحة لكل رقم طبيعي.

هذه قائمة البديهيات الأصلية التي نشرها بيانو، لكنها سميت على شرفه. تحتوي بعض أشكال بديهيات بيانو على 1 بدلاً من 0. في الحساب العادي، خليفة  xهوx + 1 . استبدال البديهية 5 بمخطط بديهي، يحصل المرء على نظرية (أضعف) من الدرجة الأولى تسمى حساب بيانو (Peano arithmetic).

الانشاءات على أساس نظرية المجموعات

ترتيبي فون نيومان

في مجال الرياضيات الذي يسمى نظرية المجموعات، يحدد بناء محدد يرجع إلى جون فون نيومان الأعداد الطبيعية على النحو التالي:

  • مجموعة 0 = {}، المجموعة الفارغة
  • حدد S (a) = a ∪ {a} لكل مجموعة a. S (a) هي خليفة a، وتسمى S الوظيفة اللاحقة.
  • من خلال بديهية اللانهاية، توجد مجموعة تحتوي على 0 ويتم إغلاقها تحت الوظيفة اللاحقة. ويقال أن هذه المجموعات حثي. يتم تعريف تقاطع كل هذه المجموعات الاستقرائية على أنها مجموعة الأعداد الطبيعية. يمكن التحقق من أن مجموعة الأعداد الطبيعية تفي ببديهيات Peano.
  • ويترتب على ذلك أن كل رقم طبيعي يساوي مجموعة الأعداد الطبيعية الأصغر منه:

0 = { }

1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},

2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},

3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},

N = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}}…

مع هذا التعريف، العدد الطبيعي n هو مجموعة معينة تحتوي على n من العناصر، و n m إذا وفقط إذا كانت n مجموعة فرعية من m. التعريف القياسي، الذي يسمى الآن تعريف von Neumann ordinals، هو: “كل ترتيبي هو مجموعة مرتبة جيدًا من جميع الترتيبات الأصغر.”

أيضًا، مع هذا التعريف، تتطابق التفسيرات المحتملة المختلفة للرموز مثل ℝn (n-tuples مقابل تعيينات n إلى ℝ).

حتى لو لم يقبل المرء بديهية اللانهاية وبالتالي لا يمكنه قبول وجود مجموعة من جميع الأعداد الطبيعية، فلا يزال من الممكن تحديد أي مجموعة من هذه المجموعات.

ترتيبي زيرميلو

على الرغم من أن البناء القياسي مفيد، إلا أنه ليس البناء الوحيد الممكن. يذهب بناء إرنست تسيرميلو (Ernst Zermelo) على النحو التالي:

  • المجموعة 0 = { }
  • حدد S(a) = {a}

ثم يلي ذلك:

0 = { },

1 = {0} = {{ }},

2 = {1} = {{{ }}},

n = {n−1} = {{{…}}}, …

ثم يكون كل رقم طبيعي مساويًا للمجموعة التي تحتوي فقط على العدد الطبيعي الذي يسبقه. هذا هو تعريف ترتيبي Zermelo. على عكس بناء von Neumann، فإن ترتيبات Zermelo لا تأخذ في الحسبان الأعداد الترتيبية اللانهائية.

منشور ذات صلة
هل 52 عدد زوجي أم فردي؟ 1 Minutes

هل 52 عدد زوجي أم فردي؟

عاطفة عكرش

إذا كان الرقم الأخير هو 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8، فإن الرقم يكون زوجيًا، وإذا كان 1، 3 أو 5 أو 7 أو 9 فهو رقم فردي. الرقم الأخير في 52 هو 2، لذلك 52 عدد زوجي.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة