المعادلة الدرجة الثانية وحلها

ما هي المعادلة الدرجة الثانية؟

يمكن تعريف المعادلة من الدرجة الثانية بأنها معادلة جبرية تتمثل بمتغير وحيد، وتسمى بالمعادلة التربيعية (Quadratic Equation ) لوجود X². ويُعتبر البابليون أول من حاول التعامل مع المعادلة التربيعية لإيجاد أبعاد مساحة ما، ثم جاء العربي الخوارزمي المعروف بأبو الجبر حيث ألّف صيغة مشابهة للصيغة العامة التربيعية الحالية في كتابه “حساب الجبر والمقابلة”، والتي تعتبر أكثر شمولية من الطريقة البابلية.

وتُكتب الصيغة العامة للمعادلة التربعية بـ

ax² + bx + c = 0

حيث إنّ a: معامل X²
و a≠0، وهو ثابت عددي.
b: معامل x أو الحد الأوسط، وهو ثابت عددي.
C : الحد الثابت أو المطلق، وهو ثابت عددي
X: متغير مجهول القيمة.

بذلك يمكن القول أن المعادلة التربيعية تكتب على الصورة العامة

ax² + bx + c = 0

وأن الثوابت العددية فيها (c,b) من الممكن أن تساوي صفر, وأعلى قيمة للأس في المعادلة التربيعية هو 2 و المعامل a لا يمكن أن يساوي صفر.

لاحظ أنه في بعض الأحيان قد لا يكون الشكل الأولي للمعادلة صحيحة.

في مثل هذه الحالات، يمكن اصلاح شكل المعادلة عن طريق تحريك التعبيرات على جانبي المعادلة.

شكل المعادلة التربيعية

لتحديد درجة المعادلة، انظر إلى أكبر قوة متغيرة لها.

إذا كانت أكبر قوة هي 2، فإن المعادلة هي الدرجة الثانية أو التربيعية.

على سبيل المثال، المعادلة التالية هي معادلة من الدرجة الثانية لأن أكبر قوة للمتغير (في هذه المعادلة x متغير) تساوي 2.

7x² + 6x + 9 = 0

منحنيات المعادلات التربيعية هي كما يلي.

لاحظ، مع ذلك، أن انحناء المنحنى قد يكون أيضًا نزوليا.

الطرق المختلفة لحل المعادلة الدرجة الثانية

فيما يلي سيتم عرض الطرق المختلفة لحل أي معادلة من الدرجة الثانية:

طريقة التحلل

تتمتع هذه الطريقة بأداء جيد عندما يكون من الممكن قسمة المعادلة بأكملها على معامل الجملة X² للحصول على علاقة على شكل b= m + n و c= mn

هذه الطريقة تسمى طريقة حل التحلل.

تعتمد المعادلة على هذا الاتحاد بالصيغة

وفي هذه الحالة يمكننا بسهولة الحصول على إجابات لـ

عن طريق مساواة كل قوس بالصفر.

مثال:

نريد حل المعادلة 2x² – 8x + 6 = 0

أولًا نقسم الضلعين على اثنين حتى يصبح المعامل x² واحدًا.

ثم نحاول إيجاد m و n :

2x² – 8x + 6 ÷ 2 = x² – 4x + 3

كما نرى

بمعنى آخر، مجموع عددين هو -4 وضربهما هو 3. لذا فإن الإجابات على شكل

استخدام القانون العام

يعتبر القانون العام القانون الشامل لحل أي معادلة تربيعية بشرط أن يكون مميزها موجبًا أو صفرًا، والمميز قيمة تحدد عدد جذور المعادلة أو عدد الحلول، وهنا لا بد من عرض القانون العام:

ما المقصود بإشارة (±) في المعادلة السابقة؟

معنى ذلك أنه يوجد جذران أو حلّان للمعادلة كالآتي:

لكن ليس في جميع الأحوال يمكن الجزم بوجود حلّان للمعادلة، فربما يوجد حل وحيد وربما لا يوجد حلول، فالحكم يستند هنا إلى ما يسمّى بالمميز أو Δ حيث إن قانون المميز يساوي:

للمزيد اقرأ: قوانين الجذور التربيعية

الخطوة الاولى

عليه: إذا كانت قيمة المميز موجبة أي 0˃∆، فإن للمعادلة حلّان.

إذا كانت قيمة المميز0=∆ ، فإن للمعادلة حل وحيد مشترك.

إذا كانت قيمة المميز سالبة أي 0˂∆ فإنه لا يوجد حلول للمعادلة بالأعداد الحقيقية، بل حلان بالأعداد المركبة.

إذًا القانون العام هو القانون الشامل لحل أي معادلة تربيعية مهما كان شكلها، حيث إن الطرق الأخرى يمكن تطبيق معادلاتها وحلها على القانون العام.

التحليل إلى العوامل تعد هذه الطريقة الأكثر شيوعًا واستعمالاً لسهولة استخدامها، لكن في البداية لابد من كتابة المعادلة على الصورة القياسية وهي

الخطوة الثانية

احسب قيمة المميز باستخدام المعادلة الموضحة أدناه.

من الأفضل الحفاظ على العلاقة التالية ومعرفة كيفية الحصول على المميز.

Δ = b² – 4ac

الخطوة الثالثة

من خلال تثبيت المميزووضعها في العلاقة أسفل جذور المعادلة التربيعية يتم الحصول عليها.

لذلك، يجب حساب دلتا أولاً ثم استخدام المعادلة التالية لإكمال المعادلة التربيعية.

حافظ على العلاقة التالية أيضًا.

في العبارة الموجودة بين قوسين، إذا حددت علامة +، فسيتم الحصول على أحد الجذور، وإذا حددت الرمز السالب، فسيتم الحصول على جذر آخر.

بالطبع، كما ذكرنا، إذا كانت المییزة تساوي صفرًا، فسيكون كلا الجذور متماثلًا، أو بعبارة أخرى، سيكون للمميز جذر مزدوج.

إذا كانت المميز سالبة، فيقال إن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية في هذه الحالة ولها جذور مختلطة.

بعض النقاط المهمة حول حل المعادلة التربيعية

إذا كان معامل الرقم الثابت في معادلة هو صفر، فإن أفضل طريقة لحل المعادلة هي طريقة التحليل. في هذه الحالة، سيكون أحد الجذور بالتأكيد صفرًا والآخر b/a-.
إذا في المعادلة التربيعية ax² + bx + c = 0 كان لدينا: a + b + c = 0

(أي أن مجموع المعامِلات يساوي صفرًا)، دائمًا ما تساوي إحداهما 1 والأخرى تساوي c/a.

إذا في المعادلة التربيعية ax² + bx + c =0 كان لدينا: a – b + c = 0

ثم تكون إحدى الإجابات دائمًا تساوي -1 والأخرى تساوي c/a- .

في معادلة من الدرجة الثانية ax² + bx +c = 0

و Δ = b² – 4ac

لدينا:

$| x_1 - x_2 | = \frac {\sqrt{b^2} - 4ac} {|a|} =$

$\Delta = (x_1 - x_2)^2 a^2$

مثال1

أوجد إجابة المعادلة 5x²+ 6x + 1 = 0

لحل معادلة تربيعية، يجب عليك أولاً إيجاد المعاملات a,b,c

بمقارنة المعادلة المذكورة مع المعادلة ax²+ bx + c = 0 ، يتم الحصول على القيم a,b,c مساوية للأرقام التالية.

في الخطوة التالية، عليك حساب وتحديد علامتها.

بالنظر إلى قيمa,b,c، فإن الحجم Δ يساوي:

Δ = b² – 4ac = 6² – 4 × 5 × 1 = 16

الرقم أعلاه موجب؛ نتيجة لذلك، سيكون لهذه المعادلة إجابتان مختلفتان. باستخدام المعادلة 1 ، تكون إجابة المعادلة هي:

في الواقع، مخطط العلاقة أعلاه على النحو التالي.

كما هو متوقع، فإن المعادلة أعلاه لها إجابتان.

بالطبع، الرسم البياني أعلاه يوضح نفس الشيء.

مثال 2

أوجد إجابة المعادلة 5x² + 2x + 1 = 0

في العلاقة أعلاه، القيم a,b,c تساوي:

a=5
b=2
c=1

إذن المميز تساوي:

b² – 4ac = 2² – 4 × 5 × 1 = – 16

قيمة Δ التي تم الحصول عليها سالبة؛ لذلك، فإن المعادلة أعلاه ليس لها إجابة بالأرقام الحقيقية.

ملخص

الشكل العام للمعادلة التربيعية هو ax²+ bx + c = 0.
إجابات المعادلة التربيعية هي:
إذا كانت دلتا موجبة، المعادلة لها إجابتان مختلفتان.
إذا كانت الدلتا سالبة، فليس للمعادلة إجابة.
وإذا كانت دلتا تساوي صفرا، معادلة إجابتين لها نفس الجذر أو ما يسمى بالجذر المزدوج.

للمزيد اقرأ:
المعادلة الدرجة الثانية أو المعادلة التربيعية
قوانين الجذور التربيعية

This article is useful for me

1+ 5 People like this post

المعادلات الدرجة الثانية وحلها

ما هي المعادلة الدرجة الثانية؟

شكل المعادلة التربيعية