الأعداد المنطقية أو نسبية هي نوع شائع جدًا من الأرقام التي ندرسها عادةً بعد الأعداد الصحيحة في الرياضيات. هذه الأرقام في شكل p /q، حيث يمكن أن يكون p و q أي عدد صحيح و q ≠ 0. غالبًا ما يجد الناس أنه من المربك التفريق بين الكسور والأرقام المنطقية بسبب البنية الأساسية للأرقام، أي p/q شكل. تتكون الكسور من أعداد صحيحة بينما تتكون الأعداد النسبية من أعداد صحيحة كبسط ومقام. دعنا نتعلم المزيد عن الأعداد المنطقية في هذا الدرس.

ما هي الأعداد النسبية؟

هل تعلم من أين نشأت كلمة “نسبية”؟ نشأت من كلمة “نسبة”. لذا، فإن الأرقام المنطقية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهوم النسبة.

تعريف الأعداد المنطقية

الرقم المنطقي هو رقم على شكل p/q حيث p و q أعداد صحيحة و q لا تساوي 0. مجموعة الأرقام المنطقية يُرمز لها بـ Q. وبعبارة أخرى، إذا كان يمكن التعبير عن رقم على أنه a الكسر حيث يكون كل من البسط والمقام أعدادًا صحيحة، يكون الرقم عددًا نسبيًا.

الأعداد المنطقية أو الأعداد النسبية

أمثلة على الأعداد النسبية

إذا كان من الممكن التعبير عن رقم ككسر حيث يكون كل من البسط والمقام أعدادًا صحيحة، يكون الرقم عددًا نسبيًا. بعض الأمثلة على الأرقام المنطقية هي:

½

-3/4

0.3 أو 3/10

-0.7  أو -7/10

0.141414… أو  14/99

أنواع الأعداد النسبية

هناك أنواع مختلفة من الأعداد المنطقية. لا ينبغي أن نفترض أن الكسور ذات الأعداد الصحيحة هي فقط الأعداد النسبية. الأنواع المختلفة للأرقام المنطقية هي:

  • أعداد صحيحة مثل  -2، 0، 3
  • الكسور التي يكون بسطها ومقامها أعدادًا صحيحة مثل 3/7، -6/5
  • إنهاء الكسور العشرية مثل 0.35, 0.7116, 0.9768,
  • الكسور العشرية غير المنتهية مع بعض الأنماط المتكررة (بعد الفاصلة العشرية) مثل 0.333…, 0.141414…، تُعرف هذه الكسور العشرية غير المنتهية.

كيفية التعرف على الأعداد النسبية

في كل من الحالات المذكورة أعلاه، يمكن التعبير عن الرقم في صورة كسر من الأعداد الصحيحة. ومن ثم، فإن كل رقم من هذه الأرقام هو رقم نسبي. لمعرفة ما إذا كان رقم معين هو رقم منطقي، يمكننا التحقق مما إذا كان يتطابق مع أي من هذه الشروط:

  • يمكننا تمثيل الرقم المعطى في صورة كسر من الأعداد الصحيحة
  • التوسع العشري للعدد هو التكرار المنتهي أو غير المنتهي.
  • كل الأعداد الصحيحة هي أعداد منطقية

مثال: هل 0.923076923076923076923076923076 رقم نسبي؟

حل:

يحتوي الرقم المحدد على مجموعة من الكسور العشرية 923076 والتي تتكرر باستمرار.

وبالتالي، فهو رقم منطقي.

الأعداد النسبية في شكل عشري

يمكن أيضًا التعبير عن الأرقام المنطقية في شكل عشري. هل تعلم أن 1.1 رقم منطقي؟ نعم، لأن 1.1 يمكن كتابتها كـ 1.1 = 11/10. الآن دعنا نتحدث عن الأعداد العشرية غير المنتهية مثل 0.333… بما أن 0.333… يمكن كتابتها على أنها 1/3، لذلك فهي عدد نسبي. لذلك، فإن الكسور العشرية غير المنتهية التي تحتوي على أرقام متكررة بعد الفاصلة العشرية هي أيضًا أرقام منطقية.

هل 0 رقم منطقي؟

نعم، 0 هو رقم نسبي حيث يمكن كتابته في صورة كسر من الأعداد الصحيحة مثل 0/1, 0/-2,…

الأعداد النسبية

قائمة الأعداد النسبية

من المعلومات الواردة أعلاه، من الواضح أن هناك عددًا لا حصر له من الأرقام المنطقية. وبالتالي، لا يمكن تحديد قائمة الأرقام المنطقية.

أصغر عدد عقلاني

بما أننا لا نستطيع تحديد قائمة الأعداد المنطقية، فلا يمكننا تحديد أصغر عدد منطقي.

نصائح وحيل حول الأرقام المنطقية:

  • الأعداد النسبية ليست كسورًا فحسب، بل هي أي رقم يمكن التعبير عنه في صورة كسور.
  • الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والأعداد الكلية وكسور الأعداد الصحيحة والأرقام العشرية المنتهية هي أعداد منطقية.
  • الكسور العشرية غير المنتهية التي تحتوي على أنماط متكررة من الكسور العشرية هي أيضًا أرقام منطقية.
  • إذا كان للكسر علامة سالبة إما على البسط أو المقام أو أمام الكسر، يكون الكسر سالبًا. على سبيل المثال،  -a/b = a/-b.

للمزيد اقرأ: الأعداد الحقيقية، النسبية والغامضة

العمليات الحسابية على الأعداد النسبية

يمكن إضافة الأعداد النسبية أو طرحها أو ضربها أو تقسيمها تمامًا مثل الكسور. هذه هي العمليات الحسابية الأساسية الأربع التي يتم إجراؤها على الأعداد النسبية.

  • جمع الأعداد المنطقية
  • طرح الأعداد المنطقية
  • ضرب الأعداد النسبية
  • تقسيم الأعداد المنطقية

جمع وطرح الأعداد النسبية

يمكن إجراء عملية جمع وطرح الأعداد المنطقية بنفس طريقة الكسور. لجمع أو طرح أي عددين كسريين، نجعل مقاماتهما متساوية ثم نجمع البسطين.

مثال:

½ – (-2/3)= ½ + 2/3 = ½ × 3/3 + 2/3 × 2/2 = 2/6 + 4/6 = 6/6 = 1

ضرب وقسمة الأعداد النسبية

يمكن إجراء عملية ضرب وقسمة الأعداد النسبية بنفس طريقة الكسور. لضرب أي رقمين كسريين، نضرب البسط في كل منهما ومقاميهما بشكل منفصل ونبسط الكسر الناتج.

مثال:

3/5 × -2/7 = (3 × -2)/(5 × 7)= -6/35

لقسمة أي كسرين، نضرب الكسر الأول (الذي هو المقسوم) في مقلوب الكسر الثاني (وهو المقسوم عليه).

مثال:

3/5 ÷ 2/7=3/5 × 7/2 = 21/10

الفرق بين الأعداد غير المنطقية والمنطقية

يتم تمثيل مجموعة الأرقام غير المنطقية بواسطة Q´. الفرق بين الأعداد المنطقية وغير المنطقية هو كالتالي:

الأرقام المنطقية:

  • هذه هي الأرقام التي يمكن التعبير عنها في صورة كسور من الأعداد الصحيحة. مثال: 0.75، -31/5
  • يمكن أن تكون نهائية الكسور العشرية.
  • يمكن أن تكون كسور عشرية غير منتهية مع أنماط متكررة من الكسور العشرية. مثال: 1.414، 414، 414… به أنماط متكررة من الكسور العشرية حيث يتكرر 414.
  • تحتوي مجموعة الأعداد المنطقية على أعداد طبيعية بالكامل وجميع الأعداد الصحيحة وجميع الأعداد الصحيحة.

الأرقام غير المنطقية:

  • هذه هي الأرقام التي لا يمكن التعبير عنها في صورة كسور من الأعداد الصحيحة. مثال : π
  • هي لا تنتهي أبدًا بكسور عشرية.
  • يجب أن تكون الكسور العشرية غير المنتهية مع عدم وجود أنماط متكررة من الكسور العشرية.
  • مجموعة الأرقام غير المنطقية هي مجموعة منفصلة ولا تحتوي على أي مجموعات أخرى من الأرقام.

انظر إلى الرسم البياني أدناه لفهم الفرق بين الأرقام المنطقية والأرقام غير المنطقية جنبًا إلى جنب مع أنواع أخرى من الأرقام تصويريًا.

الفرق بين الأعداد غير المنطقية والمنطقية
الأعداد المنطقية والأرقام غير النسبية

أمثلة على الأعداد النسبية

مثال 1: حدد الأرقام المنطقية من بين ما يلي: √4, √3, √5/2, -4/5, π, 1.41421356237309504…..

حل: يجب أن يكون الرقم المنطقي عند تبسيطه إما رقمًا عشريًا نهائيًا أو عددًا غير منتهي مع أنماط متكررة من الكسور العشرية. لذلك، فإن الأعداد المنطقية بين الأعداد المعطاة هي √4 و  -4/5

مثال 2: أوجد رقمًا منطقيًا بين التالي: ½ و  2/3

حل: نعلم أن متوسط ​​أي عددين يقع بين العددين. لنجد متوسط ​​العددين المنطقيين المعطيين.

إذن، العدد المنطقي هو  7/12

منشور ذات صلة
نظرية الفئة 10 Minutes

نظرية الفئة في الرياضيات

عاطفة عكرش

نظرية الفئة هي فرع من فروع الرياضيات يسعى إلى تعميم كل الرياضيات من حيث الفئات، بغض النظر عما تمثله الأشياء والأسهم. يمكن وصف كل فرع من فروع الرياضيات الحديثة تقريبًا من حيث الفئات.

الزاوية 10 Minutes

الزاوية| Angle

عاطفة عكرش

في الهندسة الإقليدية، الزاويتان الحادتان في المثلث القائم يكملان بعضهما البعض، لأن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة، والزاوية القائمة نفسها تساوي 90 درجة.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة