الأعداد الحقيقية، النسبية والغامضة

بالنسبة للكثيرين منا الأعداد والأرقام لهن معنى واضح جدا، وهذا هو الشيء الذي يمكننا من خلاله حساب أشياء مختلفة..

من المؤكد أن أقل عدد يمكن حسابه هو 1، ويمكن أن يكون العدد الأكبر كبيرًا كما نريد.

 هذه المجموعة من الأعداد من 1 إلى اللانهاية تسمى اعداد الطبيعية، لكن مجموعة الأرقام لا تقتصرعلى هذه القيمة.

عندما يتجاوز تعاملنا مع الأرقام العد، نجد أن قسمة رقمين قد تكون عددًا عشريًا.

أو نتيجة طرح عددين هو رقم سالب. هذه المجموعة من الأرقام تسمى الأرقام النسبية.

عندما تتجاوز العمليات الحسابية للأرقام العمليات الأساسية الأربع وتشمل على سبيل المثال، الجذر التربيعي، نرى أنه يتم الحصول على ارقام التي لا يمكن حسابها بالضبط، إذن علينا فك مجموعة الأعداد النسبية مرة أخرى لتشمل هذه الأعداد أيضًا.

الأعداد الحقيقية

تسمى مجموعة الأعداد النسبية وغير النسبية مجموعة الأعداد الحقيقية. مجموعة الأرقام الحقيقية يمثلها {R}.

الأرقام التالية كلها جزء من مجموعة الأرقام الحقيقية:

1   ,   12.38   ,   -0.8625   ,   ¾   ,   2√   ,   198

في الواقع ، تقريبًا أي رقم يتبادر إلى الذهن هو رقم حقيقي. باختصار ، تشمل الأرقام الحقيقية ما يلي:

• الأرقام الصحيحة (مثل 1 و 2 و 3 و 4 و …)
• الأعداد النسبية (مثل ، 0.125 ، … 0.333 ، 1.1 و …)
• أرقام غامضة (مثل 2√ و π و …)

يمكن أن تكون الأرقام الحقيقية موجبة أو سالبة أو صفرية. السؤال الذي يطرح نفسه هنا هو أنه إذا كانت جميع الأرقام تقريبًا تحتوي على أرقام حقيقية ، فما هي الأرقام غير الحقيقية؟

الأعداد غير الحقيقية

الأرقام التالية لیست حقيقية :

الأرقام التخيلية مثل 1-√ (الجذر التربيعي لـ 1-) ليست أرقامًا حقيقية.

اللانهاية ليست رقمًا حقيقيًا أيضًا.

وهناك أنواع أخرى من الأعداد الخاصة التي يتعامل معها معظم علماء الرياضيات والتي ليست أرقامًا حقيقية.

ما هو سبب اختيار الاسم “الحقيقي” لهذه المجموعة من الأرقام؟

لم يكن للأرقام الحقيقية اسم قبل معرفة الأرقام التخيلية. الأرقام الخيالية هي أرقام لا يمكننا أن نجد مكافئًا لها في الطبيعة وفي حياتنا اليومية. على سبيل المثال ، لا يحتوي الجذر التربيعي لرقم سالب على معادل مادي (أو على الأقل فيزياء كلاسيكية) ولذلك يُطلق عليه اسم خيالي. لذلك حصلت الأرقام الحقيقية على اسمهم لأنها لم تكن خيالية.

عرض الأرقام الحقيقية

عرض الأرقام الحقيقية على نظام إحداثيات يشبه الخط الهندسي. تعتبر النقطة الموجودة على الخط هي “الأصل”. النقطتان على يمين هذا الأصل موجبة والسالب على اليسار.

تُعرف مسافة معينة بالوحدة أو 1 ، ثم يتم ترقيم جميع الأرقام این … ، 3 ، 2 ، 1 بر بناءً على هذه المسافة ، وكذلك في الاتجاهات السالبة {1- ، 2- ، 3- ، و} }.

كل نقطة على هذا الخط هي رقم حقيقي:

يمكن أن تكون الأعداد أعدادًا صحيحة (مثل 9)

أو عقلاني (مثل 5/7)

أو غامضة (مثل π )

لكن في سطر مجموعات الأعداد الحقيقية ، لا يمكنك العثور على أي شيء مثل اللانهاية أو رقم وهمي.

لأعداد النسبية و الأعداد غير نسبية هي جميعها أعداد حقيقية، ولكنها تختلف عن بعضها من خلال طريق كتابتها، وسوف نوضح ذلك فيما يلي.

دعونا نشرح كل من هذه بمزيد من التفاصيل:

العدد النسبي

هو أي عدد موجب أو سالب ويمكن كتابته على صورة كسر عادي بحيث يكون البسط والمقام عددان صحيحان حيث أن المقام لا يساوي صفر مثل الكسر العشري 1/3.

العدد الغير النسبي

هو العدد الذي لا يمكن تمثيله على صورة كسر عادي مثل الجذر التربيعي للعدد 2 فهو عبارة عن كسر عشري لا ينتهي عند رقم معين وإنما يستمر إلى مالا نهاية .

دعونا نشرح كل من هذه بمزيد من التفصيل:

يشار إلى الأرقام النسبية في اللغة الإنجليزية باسم  (Rational Numbers) وهذا الاسم مشتق من الجذر   (Ratio) بمعنى النسبة.

شرح وأمثلة للأرقام النسبية

هذه الأمثلة مفيدة جدًا في فهم الأعداد النسبية وفحص أنواعها المختلفة.

مثال 1

ضع في اعتبارك الرقم ½.

هذا الرقم هو رقم نسبي.

لأنه مكتوب على أنه حاصل قسمة الرقم واحد على الرقم الثاني.

مثال 2

يعتبر الرقم 0.75 أيضًا أحد الأرقام النسبية. لأنه يمكن التعبير عنها في صورة كسر.

مثال 3

الرقم 1 ليس فقط عددًا صحيحًا ولكنه أيضًا رقم نسبي.

والسبب في ذلك هو أنه يمكن التعبير عن هذا الرقم في صورة كسر 1∕1

مثال 4

على غرار المثال أعلاه ، يمكن إظهار أن الرقم 5 هو أيضًا رقم نسبي ويمكن التعبير عنه ككسر 5∕1

مثال 5

ضع في اعتبارك الرقم 3.56 يمكن أيضًا التعبير عن هذا الرقم في صورة كسر يساو 100∕356. لذلك ، يمكن اعتبار 3.56 عددًا نسبيا.

مثال 6

يمكن عادةً تمثيل الأرقام التي تحتوي على منازل عشرية ، مثل المثال السابق ، على شكل كسر ، وأي رقم يمكن تمثيله في صورة كسر هو رقم نسبي. في مثال آخر ، افترض أن الرقم – 7.4 . يمكن أيضًا عرض هذا الرقم كـ 10∕74

لذلك ، 7.4هو رقم نسبي.

العدد غير النسبي

في هذا القسم ، نعتزم أيضًا تقديم رقم يكون بطريقة معاكسة للعدد النسبي .

تُعرف هذه الأرقام بالأرقام الغير نسبية او أرقام الغامضة.

هو العدد الذي لا يمكن تمثيله على صورة كسر عادي مثل الجذر التربيعي للعدد 2 فهو عبارة عن كسر عشري لا ينتهي عند رقم معين وإنما يستمر إلى مالا نهاية .

تعريف الرقم الغير نسبي او الغامض

في الرياضيات ، تسمى بعض الأرقام الحقيقية أرقامًا غامضة وليست نسبية .

 في الواقع ، الرقم الغامض هو رقم حقيقي لا يمكن التعبير عنه ككسر بقيم الوجه والمقام الحقيقية.

ضع في اعتبارك الرقم 1.4  مثلآ

 يمكن التعبير عن هذا الرقم في صورة كسر في هذا الشکل :

كما ترى ، يمكن التعبير عن هذا الرقم ككسر بقيم عدد صحيح ومقام. ومن ثم فإن 1.4 هو عدد نسبي.

لكن ضع في اعتبارك رقمًا مثل Π=3.14…

كما تعلم على الأرجح، يحتوي هذا الرقم على نمط فريد في القيم العشرية يمنع كتابة هذه القيمة على هيئة كسر.

لذلك يمكن القول:

نتيجة لذلك ، يعتبر الرقم أعلاه غامضًا .

يتم عرض قيمة تصل إلى 1000 منزل عشري أدناه :

 و كما ترى ، لا يوجد نمط محدد بين الأرقام خلف الكسور العشرية.

مثال:

من بين القيم الثلاث 1.75 و 0.001 و 2√ ، أيها غامض وأيها عقلاني؟

كما ذكرنا ، في مواجهة الرقم ، فكر أولاً في إمكانية كتابة الرقم في صورة كسر. إحدى الطرق هي ضرب هذا الرقم بقيم غير صفرية وأعداد صحيحة ومعرفة ما إذا كنت تحصل على رقم صحيح. إذا حصلت على عدد صحيح ، فهذا الرقم معبر. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الرقم 1.75. بضرب هذا الرقم بأعداد صحيحة مختلفة لدينا:

كما ترى ، فإن ضرب 1.75 في العدد الصحيح 4 يؤدي إلى الرقم الصحيح 7. لذلك ، يمكن التعبير عن هذا الرقم على النحو التالي:

لذلك ، يعتبر هذا الرقم نسبياً .

لاحظ أنه من أجل التحقق من 0.001 ، لا تحتاج إلى الضرب من 1 إلى 1000 في هذا الرقم ومعرفة ما إذا تم الحصول على عدد صحيح أم لا؟

في الواقع ، يمكن أن نرى في لمحة أنه يمكن كتابة ألف واحد على النحو التالي:

لذلك ، فهو رقم نسبی.

هل تعتقد أنه من الممكن إيجاد رقم يمكن ضربه فی  2√ للحصول على رقم صحيح؟ الجواب لا. من الآمن أن نقول إنه أشهر رقم غامض هو 2√.

أرقام غامضه معروفة

في الفيزياء والرياضيات ، هناك أرقام غامضة مستخدمة على نطاق واسع وكثيراً ما يتم ملاحظتها. في ما يلي ، نعتزم تقديم أشهر هذه الأرقام.

يعتقد الكثيرون أن أول رقم غبي تم اكتشافه كان الرقم 2√ ، والذي اكتشفه طالب فيثاغورس. هذا الرقم يساوي وتر في مثلث متساوي الأضلاع ضلعه 1 أو قطر مربع بأضلاعه 1.

الشكل التالي يوضح المثلث:

قيمة هذا الرقم تساوي :

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799…

كما ترى ، استخدمنا ثلاث نقاط لكتابة 2√ والسبب في ذلك هو أنه حتى بالنسبة لهذا الرقم لا يمكن التعبير عن نمط محدد للأرقام خلف الكسور العشرية. من المثير للاهتمام معرفة أن استخدام الرقم 2√ يمكن أن يثبت غموض العديد من الأعداد الجذرية الأخرى.

التقسيم الذهبي

 هو تقسيم لمستقيم بحسب النسبة الذهبية.

بحيث يكون الطول الكلي a+b بالنسبة لطول القطعة الأطول a مساوياً للنسبة بين a is to إلى القطعة الأقصر b

في الرياضيات، تكون قيمتين عدديتين تحققان النسبة الذهبية إذا كانت النسبة بين مجموع هذين العددين والأكبر منهما تساوي النسبة بين أكبر العددين والأصغر بينهما. وهو عبارة عن ثابت رياضي معرف تبلغ قيمته 1.6180339887.

لو نظرنا إلى مربعات مختلفة، فإننا سنجد بعضها أجمل من الآخر. و في معظم الأحيان تكون نسبة أبعاد هذه المربعات بعضها إلى بعض هي نفسها. و تسمى هذه المربعات، “المربعات الذهبية” و خارج قسمة طولها على عرضها يسمى “الرقم الذهبي”.

 العدد النيبيري

 يُعرف العدد النيبيري أو ثابت أويلر (Euler’s Number) بأنه من أكثر الثوابت الرياضية شهرةً بعد الثابت باي، ويُرمز له بالرمز ( e ) باللغة الإنجليزية، وبالعربية بالرمز ( هـ )

وهو عدد غير نسبي ولا نهائي؛

أي لا يمكن كتابته على صورة كسر عادي، وهو أساس اللوغاريتم الطبيعي الذي ابتكره عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير (John Napier) ولهذا يُسمّى بالعدد النيبيري، أما بالنسبة لتسميته ثابت أويلر فنسبةً إلى العالم السويسري ليونهارد أويلر (Leonhard Euler)