في الرياضيات، نظام الإحداثيات الكروية هو نظام إحداثيات لمساحة ثلاثية الأبعاد حيث يتم تحديد موضع نقطة ما بثلاثة أرقام: المسافة الشعاعية لتلك النقطة من أصل ثابت، و زاويتها القطبية المقاسة من اتجاه سمت ثابت، و الزاوية السمتيّة لإسقاطها المتعامد على مستوى مرجعي يمر عبر الأصل و متعامد مع السمت، مقاسة من اتجاه مرجعي ثابت على ذلك المستوى. يمكن اعتباره الإصدار ثلاثي الأبعاد لنظام الإحداثيات القطبية.

نظام الإحداثيات الكروية
الصورة: الإحداثيات الكروية (r ، θ ، φ) كما هو شائع الاستخدام في الفيزياء (اتفاقية ISO 80000-2: 2019): المسافة الشعاعية r (المسافة إلى الأصل)، الزاوية القطبية  θ(ثيتا) (الزاوية فيما يتعلق بالمحور القطبي)، والزاوية السمتي φ (فاي ) (زاوية الدوران من مستوى خط الزوال الأولي). غالبًا ما يستخدم الرمز ρ (rho) بدلاً من r.

نظام الإحداثيات الكروية
الصورة: الإحداثيات الكروية (r ، θ ، φ) كما تُستخدم غالبًا في الرياضيات: المسافة الشعاعية r، الزاوية السمتي  θ، والزاوية القطبية.φ تم تبديل معاني θ و  φمقارنة باتفاقية الفيزياء. كما هو الحال في الفيزياء، غالبًا ما تستخدم ρ (rho) بدلاً من r، لتجنب الخلط مع القيمة r في الإحداثيات القطبية الأسطوانية والثنائية الأبعاد.

نظام الإحداثيات الكروية
الصورة: كرة أرضية توضح المسافة الشعاعية والزاوية القطبية والزاوية السمتيّة لنقطة P فيما يتعلق بوحدة المجال، في اتفاقية الرياضيات. في هذه الصورة، r يساوي 4/6، و θ تساوي 90 درجة، و φ تساوي 30 درجة.

المسافة الشعاعية تسمى أيضًا نصف القطر أو الإحداثي الشعاعي. يمكن أن تسمى الزاوية القطبية خط العرض التكميلي أو سمت الرأس أو الزاوية العادية أو زاوية الميل.

يختلف استخدام الرموز و ترتيب الإحداثيات باختلاف المصادر والتخصصات. ستستخدم هذه المقالة اتفاقية ISO التي كثيرًا ما تصادفها الفيزياء: (r ،θ ، φ) تعطي المسافة الشعاعية والزاوية القطبية والزاوية السمتيّة.  في العديد من كتب الرياضيات، يعطي (φ، θ، ρ ) أو (r، θ ،φ ) المسافة الشعاعية، والزاوية السمّية، والزاوية القطبية، مع تبديل معاني θ و φ. تُستخدم أيضًا اصطلاحات أخرى، مثل r لـ radius من المحور z، لذلك يجب توخي الحذر الشديد للتحقق من معنى الرموز.

وفقًا لاتفاقيات أنظمة الإحداثيات الجغرافية، يتم قياس المواضع من خلال خطوط الطول والعرض والارتفاع.  هناك عدد من أنظمة الإحداثيات السماوية التي تعتمد على مستويات أساسية مختلفة و بمصطلحات مختلفة للإحداثيات المختلفة. عادةً ما تستخدم أنظمة الإحداثيات الكروية المستخدمة في الرياضيات الراديان بدلاً من الدرجات وتقيس زاوية السمت بعكس اتجاه عقارب الساعة من المحور السيني إلى المحور الصادي بدلاً من اتجاه عقارب الساعة من الشمال (0 درجة) إلى الشرق ( 90+ درجة) مثل نظام الإحداثيات الأفقي. غالبًا ما يتم استبدال الزاوية القطبية بزاوية الارتفاع المقاسة من المستوى المرجعي، بحيث تكون زاوية ارتفاع الصفر في الأفق.

يعمم نظام الإحداثيات الكروية نظام الإحداثيات القطبية ثنائي الأبعاد. يمكن أيضًا توسيعه ليشمل مساحات ذات أبعاد أعلى  و يشار إليه بعد ذلك على أنه نظام إحداثيات فائق الكروي.

تعريف نظام الإحداثيات الكروية

لتحديد نظام الإحداثيات الكروية، يجب على المرء أن يختار اتجاهين متعامدين، السمت و مرجع السمت، و نقطة الأصل في الفضاء. تحدد هذه الاختيارات المستوى المرجعي الذي يحتوي على الأصل و يكون عموديًا على السمت. يتم بعد ذلك تحديد الإحداثيات الكروية للنقطة P على النحو التالي:

  • نصف القطر أو المسافة الشعاعية هي المسافة الإقليدية من نقطة الأصل O إلى P.
  • الميل (أو الزاوية القطبية) هو الزاوية بين اتجاه السمت والقطعة المستقيمة OP.
  • السمت (أو زاوية السمت) هي الزاوية الموقعة المقاسة من الاتجاه المرجعي للسمت إلى الإسقاط المتعامد لقطعة الخط OP على المستوى المرجعي.

يتم تحديد علامة السمت باختيار المعنى الإيجابي للالتفاف حول الذروة. هذا الاختيار تعسفي، و هو جزء من تعريف نظام الإحداثيات. زاوية الارتفاع 90 درجة (π/2 راديان) مطروحًا منها زاوية الميل. إذا كان الميل صفرًا أو 180 درجة ( πراديان)، فإن السمت تعسفي. إذا كان نصف القطر صفراً، يكون كل من السمت والميل تعسفيين.

في الجبر الخطي، غالبًا ما يُطلق على المتجه من الأصل O إلى النقطة P متجه الموضع لـ P.

الاتفاقيات

توجد عدة اتفاقيات مختلفة لتمثيل الإحداثيات الثلاثة، وللترتيب الذي يجب كتابتها به. يعد استخدام (r ،θ ، φ) للإشارة إلى المسافة الشعاعية، والميل (أو الارتفاع)، والسمت، على التوالي، ممارسة شائعة في الفيزياء، و يتم تحديده بواسطة معيار ISO 80000-2: 2019، و في وقت سابق في ISO 31-11 (1992).

و مع ذلك، يستخدم بعض المؤلفين (بما في ذلك علماء الرياضيات) ρ للمسافة الشعاعية، و φ للميل (أو الارتفاع) و للسمت، و r لنصف القطر من المحور z، والذي “يوفر امتدادًا منطقيًا لتدوين الإحداثيات القطبية المعتادة”. قد يسرد بعض المؤلفين أيضًا السمت قبل الميل (أو الارتفاع). ينتج عن بعض مجموعات هذه الاختيارات نظام إحداثيات أعسر. يتعارض الاصطلاح القياسي (r ، θ، φ) مع التدوين المعتاد للإحداثيات القطبية ثنائية الأبعاد والإحداثيات الأسطوانية ثلاثية الأبعاد، حيث تُستخدم غالبًا للسمت.

تُقاس الزوايا عادةً بالدرجات (°) أو الراديان (rad)، حيث 360 ° = 2π rad الدرجات العلمية هي الأكثر شيوعًا في الجغرافيا وعلم الفلك والهندسة، بينما يشيع استخدام الراديان في الرياضيات والفيزياء النظرية. عادة ما يتم تحديد وحدة المسافة الشعاعية من خلال السياق.

عند استخدام النظام لمساحات ثلاثية مادية، من المعتاد استخدام إشارة موجبة لزوايا السمت التي يتم قياسها بمعكس اتجاه عقارب الساعة من الاتجاه المرجعي على المستوى المرجعي، كما يُرى من جانب ذروة المستوى. يتم استخدام هذه الاتفاقية، على وجه الخصوص، للإحداثيات الجغرافية، حيث يكون اتجاه “القمة” شمالًا و يتم قياس زوايا السمت الموجبة (خط الطول) باتجاه الشرق من بعض خطوط الطول الأولية.

إحداثيات فريدة

يحدد أي ثلاثي إحداثي كروي (r ، θ ، φ) نقطة واحدة من الفضاء ثلاثي الأبعاد. من ناحية أخرى، تحتوي كل نقطة على عدد لا نهائي من الإحداثيات الكروية المكافئة. يمكن للمرء إضافة أو طرح أي عدد من الدورات الكاملة لأي قياس زاوي دون تغيير الزوايا نفسها، و بالتالي دون تغيير النقطة. من الملائم أيضًا، في العديد من السياقات، السماح بمسافات شعاعية سالبة، مع اصطلاح أن (φ، -r ، θ ) يكافئ (r ، θ  ، φ) لأي r و θ و φ. علاوة على ذلك، (r ، -θ، φ) تعادل (r، θ، φ + 180)

إذا كان من الضروري تحديد مجموعة فريدة من الإحداثيات الكروية لكل نقطة، يجب على المرء تقييد نطاقاتها. الاختيار الشائع هو

r ≥ 0

0 ° ≤ θ ≤ 180 درجة (π rad)

0 ° ≤ φ <360 ° (2π rad)

و مع ذلك، غالبًا ما يقتصر السمت φ على الفاصل الزمني (−180 درجة، + 180 درجة]، أو (−π ، + π]  بالراديان  بدلاً من [0 ، 360 درجة). هذه هي الاتفاقية القياسية لخط الطول الجغرافي. النطاق [0 درجة ، 180 درجة] للميل يعادل [-90 درجة ، + 90 درجة] للارتفاع (خط العرض).

حتى مع هذه القيود، إذا كانت تساوي 0 درجة أو 180 درجة (الارتفاع 90 درجة أو 90 درجة) تكون زاوية السمت عشوائية؛ وإذا كانت r صفراً، فإن السمت والميل / الارتفاع تعسفيان. لجعل الإحداثيات فريدة من نوعها، يمكن للمرء استخدام الاتفاقية التي تنص على أن الإحداثيات التعسفية في هذه الحالات هي صفر.

التخطيط

لرسم نقطة من إحداثياتها الكروية (r, θ, φ),حيث θ هي الميل، حرك وحدات r من الأصل في اتجاه الذروة، و قم بالتدوير بمقدار θ حول الأصل باتجاه الاتجاه المرجعي للسمت، و قم بالتدوير بمقدار φ حول ذروة في الاتجاه الصحيح.

تطبيقات نظام الإحداثيات الكروية

يستخدم نظام الإحداثيات الجغرافي السمت والارتفاع لنظام الإحداثيات الكروية للتعبير عن المواقع على الأرض، و استدعاءها على التوالي خطوط الطول و العرض. مثلما يكون نظام الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد مفيدًا على المستوى، فإن نظام الإحداثيات الكروية ثنائي الأبعاد مفيد على سطح الكرة. في هذا النظام، يتم أخذ الكرة كوحدة كروية، و بالتالي فإن نصف القطر هو وحدة ويمكن تجاهلها بشكل عام. يمكن أن يكون هذا التبسيط مفيدًا أيضًا عند التعامل مع كائنات مثل المصفوفات الدورانية.

الإحداثيات الكروية مفيدة في تحليل الأنظمة التي لديها درجة معينة من التناظر حول نقطة ما، مثل تكاملات الحجم داخل الكرة، أو مجال الطاقة الكامن المحيط بكتلة أو شحنة مركزة، أو محاكاة الطقس العالمية في الغلاف الجوي للكوكب. الكرة التي لها المعادلة الديكارتية x2 + y2 + z2 = c2 لها المعادلة البسيطة r = c في إحداثيات كروية.

اثنين من المعادلات التفاضلية الجزئية الهامة التي تظهر في العديد من المشاكل المادية، معادلة لابلاس ومعادلة هيلمهولتز، تسمح بفصل المتغيرات في الإحداثيات الكروية. تتخذ الأجزاء الزاوية من حلول هذه المعادلات شكل التوافقيات الكروية.

تطبيق آخر هو التصميم المريح، حيث r هو طول ذراع شخص ثابت و تصف الزوايا اتجاه الذراع عند وصولها.

الصورة: نمط الإخراج لمكبر الصوت الصناعي الموضح باستخدام مخططات قطبية كروية مأخوذة من ستة ترددات.

يمكن استخدام النمذجة ثلاثية الأبعاد لأنماط خرج مكبر الصوت للتنبؤ بأدائها. مطلوب عدد من المخططات القطبية، المأخوذة في مجموعة واسعة من الترددات، حيث يتغير النمط بشكل كبير مع التردد. تساعد المخططات القطبية في إظهار أن العديد من مكبرات الصوت تميل نحو الاتجاهات الشاملة عند الترددات المنخفضة.

يستخدم نظام الإحداثيات الكروية أيضًا بشكل شائع في تطوير الألعاب ثلاثية الأبعاد لتدوير الكاميرا حول موضع اللاعب.

نظام الإحداثيات الكروية في الجغرافيا

لتقريب أول، يستخدم نظام الإحداثيات الجغرافية زاوية الارتفاع (خط العرض) بالدرجات شمال مستوى خط الاستواء، في النطاق −90 درجة ≤ φ ≤ 90 درجة، بدلاً من الميل. خط العرض هو إما خط عرض مركزية الأرض  يقاس في مركز الأرض و يتم تحديده بشكل مختلف بواسطة ψ أو q أو φ ′ أو c أو g أو خط العرض الجيوديسي، و يقاس بالراصد العمودي المحلي، والمشار إليه بشكل شائعφ  . تُقاس زاوية السمت (خط الطول)، التي يُشار إليها عمومًا بـ λ ، بالدرجات شرقًا أو غربًا من بعض خطوط الطول المرجعية التقليدية (الأكثر شيوعًا خط الطول المرجعي IERS)، لذا فإن مجالها هو −180° ≤ λ ≤ 180°. بالنسبة للمواقع على الأرض أو غيرها من الأجرام السماوية الصلبة، عادة ما يتم أخذ المستوى المرجعي على أنه المستوى العمودي على محور الدوران. الزاوية القطبية، التي تبلغ 90 درجة مطروحًا منها خط العرض وتتراوح من 0 إلى 180 درجة، تسمى كولاتيتيود في الجغرافيا.

بدلاً من المسافة الشعاعية، يستخدم الجغرافيون عادةً الارتفاع فوق أو أسفل بعض السطح المرجعي، والذي قد يكون مستوى سطح البحر أو مستوى السطح “المتوسط” للكواكب التي لا تحتوي على محيطات سائلة. يمكن حساب المسافة الشعاعية r من الارتفاع عن طريق إضافة متوسط ​​نصف القطر للسطح المرجعي للكوكب، والذي يبلغ حوالي 6،360 ± 11 كم (3952 ± 7 أميال) للأرض.

و مع ذلك، فإن أنظمة الإحداثيات الجغرافية الحديثة معقدة للغاية، والمواقف التي تنطوي عليها هذه الصيغ البسيطة قد تكون خاطئة بعدة كيلومترات. يتم تحديد المعاني القياسية الدقيقة لخطوط الطول والعرض و الارتفاع حاليًا بواسطة النظام الجيوديسي العالمي (WGS)، و تأخذ في الاعتبار تسطيح الأرض عند القطبين (حوالي 21 كم أو 13 ميلًا) والعديد من التفاصيل الأخرى.

نظام الإحداثيات الكروية في علم الفلك

يوجد في علم الفلك سلسلة من أنظمة الإحداثيات الكروية التي تقيس زاوية الارتفاع من مستويات أساسية مختلفة. هذه المستويات المرجعية هي أفق الراصد، و خط الاستواء السماوي (المحدد بواسطة دوران الأرض)، و مستوى مسير الشمس (المحدد بواسطة مدار الأرض حول الشمس)، و مستوى فاصل الأرض (طبيعي للاتجاه اللحظي للشمس)، و خط الاستواء المجري (المحدد بواسطة دوران مجرة ​​درب التبانة).

منشور ذات صلة
حساب التفاضل والتكامل 26 Minutes

حساب التفاضل والتكامل

عاطفة عكرش

في الرياضيات الحديثة، يتم تضمين أسس التفاضل والتكامل في مجال التحليل الحقيقي، والذي يحتوي على تعريفات كاملة و براهين لنظريات التفاضل والتكامل. كما تم توسيع نطاق حساب التفاضل والتكامل بشكل كبير.

إقليدس 15 Minutes

عالم الرياضيات إقليدس

عاطفة عكرش

عناصر إقليدس أكثر الكتب المدرسية نجاحًا و تأثيرًا على الإطلاق. كانت واحدة من أقدم الأعمال الرياضية التي طُبعت بعد اختراع المطبعة، و قدرت بأنها الثانية بعد الكتاب المقدس في عدد الطبعات المنشورة منذ الطبعة الأولى عام 1482، و وصل العدد إلى أكثر من ألف.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة