سلاسل ماركوف والعملية العشوائية

عدم الذاكرة في الرياضيات

إن عدم الذاكرة هي خاصية للتوزيعات احتمالية معينة. عادة ما يشير إلى الحالات التي لا يعتمد فيها توزيع “وقت الانتظار”  لحدث معين على مقدار الوقت المنقضي و لن تتأثر الاحتمالات بتاريخ العملية. هناك نوعان فقط من التوزيعات عديمة الذاكرة: التوزيع الهندسي للأعداد الصحيحة غير السالبة والتوزيع الأسي للأرقام الحقيقية غير السلبية. بلغة الرياضيات يكون المتغير العشوائي X بلا ذاكرة:
إذا كانت X منفصلة

    \[ P\left[X=k+n|X>k‎\right]=P[X=n]\]

إذا كانت X مستمرة

    \[ P\left[X>r+s|X>r  ‎\right] =P[X>s]\]

إثبات عدم الذاكرة التوزيع الهندسي:

    \[P[X>k]=p\sum_{i=k+1}^{\infty}{q^{i-1}}=pq^k\sum_{j=0}^{\infty}{q^j}=pq^k(1-q)^{-1}=q^k\]

    \[ P\left[X=k+n|X>k‎\right]=\frac{P[X=k+n] }{P[X>k]}=\frac{pq^{k+n-1}}{q^k}=pq^{n-1}=P[X=n]\]

إثبات عدم الذاكرة التوزيع الأسي:

    \[ P[X>r]=\theta\int_r^{\infty} e^{-\theta x}dx= e^{-\theta r}\]

    \[  P\left[X>r+s|X>r ‎\right] =\frac{P[X>r+s] }{P[X>r]}=\frac{  e^{-\theta(r+s)}}{e^{-\theta r}}= e^{-\theta s}=P[X>s] \]

وتجدر الإشارة إلى أن معظم الظواهر الطبيعيه ليست بلا ذاكرة ، مما يعني أن المراقبين سيحصلون على معلومات عنها بمرور الوقت. على سبيل المثال ، افترض أن X عبارة عن عمر محرك السيارة ، معبراً عنه بعبارة “عدد الأميال المقطوعة حتى يتعطل المحرك”. من الواضح ، بناءً على حدسنا ، أن المحرك الذي تم تشغيله بالفعل لمسافة 300 ألف ميل سيكون له X أقل بكثير من المحرك الثاني (المكافئ) الذي تم دفعه لمسافة الف ميل فقط. وبالتالي ، لن يكون لهذا المتغير العشوائي خاصية انعدام الذاكرة.

العملية العشوائية

يمكن تعريف العملية العشوائية أو العشوائية بأنها مجموعة من المتغيرات العشوائية التي تتم فهرستها بواسطة مجموعة رياضية، مما يعني أن كل متغير عشوائي لعملية عشوائية يرتبط بشكل فريد بعنصر من المجموعة. المجموعة المستخدمة لفهرسة المتغيرات العشوائية تسمى مجموعة الفهرس (أم فضاء الوقت). تاريخيا ، كانت مجموعة الفهرس مجموعة فرعية من الخط الحقيقي، مثل الأعداد الطبيعية، مما أعطى الفهرس قابلية تفسير الوقت. يأخذ كل متغير عشوائي في المجموعة قيمًا من المساحة الرياضية المعروفة باسم فضاء الحالة أو فضاء الوضعية (بالإنجليزية: State space). يمكن أن تكون فضاء الحالة هذه، على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة أو الخط الحقيقي أو الفضاء الإقليدي n-الأبعاد. ويمكن أن يكون لعملية العشوائية العديد من النتائج، بسبب عشوائيتها، وتسمى نتيجة واحدة لعملية عشوائية، من بين أسماء أخرى.


أيضًا يمكن الإشارة إلى عملية عشوائية برموز مثل \{X (t)\} _ {t\in T}، \{X_ {t}\} _ {t\in T}، \{X (t)\} أم \{X_ {t}\}. بالرغم من أن في عدة اماكن تستخدم X (t) للإشارة إلى عملية عشوائية لكن استخدام هذا الرمز ليس مناسبًا لتوضيح العملية. تُستخدم X (t) أو X_{t} للإشارة إلى المتغير العشوائي للفهرس t، وليس العملية العشوائية بأكملها. إذا كانت مجموعة الفهرس هي T = [0,\infty)، فيمكن للمرء أن يكتب، على سبيل المثال، (X_ {t}, t\geq 0), (X_ {t}, t\geq 0) للدلالة على العملية العشوائية. المتغير العشوائي هو متغير تتغير قيمته على أساس الصدفة والاحتمال نستخدم مفهوم المتغيرات العشوائية لنمذجة نتائج تجربة عشوائية. على سبيل المثال، في رمي النرد، يمكن استخدام المتغير X، لبيان الرقم الذي يظهر كمتغير عشوائي لنمذجة هذه التجربة. ولكن يتم استخدام العملية العشوائية لنمذجة قيم المتغيرات العشوائية بمرور الوقت. أي ، إذا نظرنا إلى قيم لمتغير عشوائي بمرور الوقت، فإننا نواجه عملية عشوائية. تمامًا كما هو الحال في المتغير العشوائي، كان لدينا مساحة عينة يتم فيها تحديد القيمة المتغيرة لتلك المساحة، ولدينا أيضًا فضاء الوضعية للعملية العشوائية، والتي يتم تحديد قيمة جميع العينات منها.

سلاسل مارکوف

عمليات ماركوف هي عمليات عشوائية، تقليديًا في وقت منفصل (يمكن الوقت أن يكون مستمر)، لها خاصية ماركوف، مما يعني أن القيمة التالية لعملية ماركوف تعتمد على القيمة الحالية، ولكنها مستقلة (مشروطًا) عن القيم السابقة للعملية العشوائية. وبعبارة أخرى، بالنظر إلى الحالة الحالية للعملية، فإن سلوك العملية في المستقبل مستقل عن سلوكها في الماضي. تعد عملية المشي العشوائي على الأعداد الصحيحة ومشكلة الخراب هي أمثلة لعمليات ماركوف في وقت منفصل في حين أن الحركة البراونية وعملية بواسون (في بُعد واحد) مثالين على عمليات ماركوف في وقت مستمر.

سلسلة ماركوف هي نوع من عملية ماركوف التي تحتوي إما على فضاء حالة منفصلة أو مجموعة فهرس منفصلة (غالبًا ما تمثل الوقت)، لكن التعريف الدقيق لسلسلة ماركوف يختلف. من الشائع تعريف سلسلة ماركوف كعملية ماركوف إما في وقت منفصل أو متواصل مع فضاء حالة قابلة للعد (وبالتالي بغض النظر عن طبيعة الوقت)، لكنها كان من الشائع أيضًا تعريف سلسلة ماركوف بأنها لها وقت منفصل إما في مساحة الدولة المعدودة أو المستمرة (وبالتالي بغض النظر عن فضاء الحالة). ألكثير يميل الآن إلى استخدام التعريف الأول لسلسلة ماركوف، حيث لديها وقت منفصل، على الرغم من أن التعريف الثاني قد تم استخدامه من قبل باحثين مثل جوزيف دوب وكاي لاي تشونغ.

تشكل عمليات ماركوف فئة مهمة من العمليات العشوائية ولها تطبيقات في العديد من المجالات. على سبيل المثال، فهي أساس طريقة محاكاة عشوائية عامة تعرف باسم سلسلة ماركوف مونت كارلو (MCMC)، والتي تستخدم لمحاكاة الأجسام العشوائية مع توزيعات احتمالية محددة، وقد وجدت تطبيقًا في إحصائيات بايزي.

سلسلة ماركوف المنفصلة الوقت والوضعية هي سلسلة من المتغيرات العشوائية X_1, X_2, X_3, \ldots لها خاصية ماركوف، أي أن احتمال الانتقال النظام إلى الحالة التالية يعتمد فقط على الحالة الحالية للنظام وليس على الحالات السابقة.

    \[P(X_{n+1}=x\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n})=P(X_{n+1}=x\mid X_{n}=x_{n}) \]

و القيم المحتملة لـ X_i عضو من المجموعة قابلة العد S، أي فضاء الحالة للسلسلة.

غالبًا يتم وصف سلاسل ماركوف من خلال سلسلة من الخطوط البيانية الموجهة ، حيث يتم تمييز حواف الخطوط باحتمالات الانتقال من حالة واحدة في الوقت n إلى الحالات الأخرى عند n+1. غالبًا ما يُفترض أن سلاسل ماركوف متجانسة بالوقت (انظر للصورة) ، وفي هذه الحالة يكون الرسم البياني والمصفوفة مستقلين عن n وبالتالي لا يتم تقديمهما كتسلسلات. حقيقة أن قد لا يكون هناك احتمال لإنتقال بعض الحالات إلي بعض وفي الرسم البياني نحذف الحواف التي تحمل احتمال انتقال صفري.

سلسلة ماركوف

تسمي،

    \[P=\left[\begin{array}{llllll}p_{1,1}&p_{1,2}&\dots  &p_{1,j}&\dots &p_{1,S}&p_{2,1}&p_{2,2}&\dots  &p_{2,j}&\dots &p_{2,S}&\vdots &\vdots &\ddots  &\vdots &\ddots &\vdots& p_{i,1}&p_{i,2}&\dots  &p_{i,j}&\dots &p_{i,S}&\vdots &\vdots &\ddots  &\vdots &\ddots &\vdots &p_{S,1}&p_{S,2}&\dots  &p_{S,j}&\dots &p_{S,S}\end{array}}\right]\]


بالمصفوفة الإنتقال و p_{ij} هو إحتمال إلانتقال من الحالة-i (State-i) الي الحالة-j (State-j). یجدر الإشاه بأن يمكن للمصفوفة إلانتقال أن تکون غير مستقلة عن n. توضح هذه الأوصاف بأن بنية سلسلة ماركوف مستقلة عن التوزيع الأولي P(X_ {1}=x_ {1}) ويمكن تفسير السلسلة كآلة تحدد احتمال القفز من كل وضعية أو حالة إلى وضعية أخرى مجاورة.

أمثلة من سلاسل ماركوف

إفلاس المقامر وسلاسل ماركوف

إفلاس المقامر قضية معروفة في سلسلة ماركوف. في هذه الحالة، يقوم شخصان برمي عملة والتحقق من الوجه الذي يظهر، قي كل مرة يأتي جانب “الرأس”، يأخذ الشخص A دولارًا من B، وفي كل مرة یأتي جانب “الذيل”، يأخذ الشخص B دولارًا من A. في بداية اللعبة، A لديه r دولار و B لديه s دولار. افترض أنX_i مبلغ رأس المال A بعد i مرة من اللعبة. . إحدى خصائص تسلسل \{X_i\} دنبال هي أنه إذا عرفنا قيمة X_i في الخطوة n، فإن رأس المال A من تلك النقطة يعتمد فقط على X_n وليس على X_0, X_1, \ldots, X_{n-1}. أي إذا كان رأس المال A معروفًا في الوقت الحالي، فإن رأس ماله المستقبلي مستقل عن الأموال التي تم ربحها أو خسارتها في أي مرحلة من مراحل اللعبة في الماضي.

عملية الولادة والوفاة وسلاسل ماركوف

عملية الولادة – الموت (أو عملية الولادة والوفاة) هي حالة من عمليات ماركوف المستمرة حيث يكون انتقال الحالة يکون من طريقين فقط: “الولادات” ، التي تزيد من متغير الحالة بمقدار واحد و “الوفيات” ، التي تخفض الحالة بمقدار واحد. يأتي اسم النموذج من تطبيق شائع لتمثيل الحجم الحالي للسكان حيث تكون التحولات هي الولادات والوفيات الحرفية. عملية الولادة والوفاة لها العديد من التطبيقات في الديموغرافيا، ونظرية الطابور، وهندسة الأداء، وعلم الأوبئة، وعلم الأحياء، وغيرها من المجالات. يمكن استخدامها، على سبيل المثال، لدراسة تطور البكتيريا، أو عدد الأشخاص الذين يعانون من مرض داخل السكان، أو عدد العملاء في الطابور في السوبر ماركت.

عند حدوث الولادة ، تنتقل العملية من الحالة n إلى n+1. عند حدوث الوفاة، تنتقل العملية من الحالة n إلى الحالة n-1. يتم تحديد العملية من خلال معدلات المواليد \{\lambda_{i}\}_{i=0,\dots,\infty} ومعدلات الوفاة \{\mu_{i}\}_{i=0,\dots,\infty}.

 عملية الولادة والوفاة من سلاسل ماركوف

إذا كانت X_t تمثل عدد السكان في وقت t، والهدف هو تحديد عدد السكان بعد t، ليس من الضروري معرفة السكان في الماضي، يكفي أن تعرف العدد في وقت t فقط. العملية الموصوفة هنا هي تقريب لعملية بواسونية. عملية بواسون هي أيضًا من عمليات ماركوف.

لعبة الطاولة و النرد وسلاسل ماركوف

ألعاب الثعبان والسلم أو أي لعبة أخرى يتم تحديد النرد فيها هي سلسلة ماركوف. هذه الأنواع من الألعاب هي عكس ألعاب الورق مثل لعبة بلاك جاك. لفهم هذه الاختلافات، ضع في اعتبارك إمكانية تحرك معين في اللعبة. في الألعاب التي يتم لعبها بالنرد، الشيء الوحيد المهم هو الحالة الحالية على اللوحة. يعتمد الموضع التالي على اللوحة على الحالة الحالية والدوران التالي للنرد، ولا يعتمد على كيفية الوصول إلي وضع الحالي للخرزات. لكن في لعبة مثل لعبة البلاك جاك، يمكن للاعب الفوز بتذكر البطاقات التي تم عرضها حتى الآن ؛ لذا فإن وضع اللعبة التالي ليس مستقلاً عن الوضع الحالي، أي إنها ليست من سلاسل ماركوف.

المشي العشوائي وسلاسل ماركوف

المشي العشوائي، هو دراسة سلوك مسار يتكون من خطوات عشوائية متسلسلة باستخدام أدوات رياضية. تم استخدام نتائج هذا البحث في مختلف فروع العلوم، مثل علوم الكمبيوتر، والفيزياء، والإيكولوجيا، والاقتصاد وغيرها ، كنموذج أساسي للعمليات العشوائية. على سبيل المثال، المسار الذي يتخذه الجزيء عند التحرك في الغاز أو السائل، تقلبات الأسعار والوضع المالي للمقامر؛ هناك حالات يمكن نمذجة عن طريق المشي العشوائي. استخدم كارل بيرسون لأول مرة عنوان ” المشي العشوائي” عام 1905.

يمكن أن يحدث المشي العشوائي على رسم بياني أو خط مستقيم أو سطح مستو أو في مساحة أكبر. يختلف الوقت بين الخطوات أيضًا في أنواع مختلفة من المنعطفات. عادة ما يحدث المشي العشوائي في أوقات منفصلة ويتم فهرسته بأرقام طبيعية X_{0},X_{1},X_{2},\dots، ولكن في بعض الحالات، يكون الفاصل الزمني بين الخطوات عشوائيًا، ويتم تحديد يعتبر متغير الوقت مستمرًا.

لنفترض أن الشخص عند نقطة الصفر على المر كز، في كل خطوة، يذهب خطوة إلى اليمين مع احتمال p أم خطوة واحدة إلى اليسار مع الاحتمال q. بعد 5 خطوات ، يمكن أن يكون في أحد المنازل 1 و -1 و 3 و -3 و 5 و -5. إذا خطى ثلاث مرات إلى اليمين ومرتين إلى اليسار، فسوف يتحول إلى 1. في \binom{5}{3}=10 حالات يمكنه الذهاب إلى المنزل 1 ، وفي \binom{5}{2}=10 حالات يمكنه الذهاب إلى -1. هناك \binom{5}{4}=10 حالات للذهاب إلى المنزل 3 (مع أربع حركات إلى اليمين ومرة ​​واحدة إلى اليسار) و \binom{5}{1}=10 حالات للذهاب إلى -3 (مع مرة ​​واحدة إلى اليمين و أربع حركات إلى اليسار). هناك طريقة واحدة فقط للعودة إلى المنزل ، 5 و -5 (مع خمس حركات إلى اليمين أو 5 إلى اليسار).

وأخيرًا ، فإن احتمال أن يكون الشخص في المنزل iبعد اتخاذ N يكون صفر إذا کان N-i فردي
و:

    \[P(N,i)={\tbinom{N}{\frac{N+i}{2}}}p^{\frac{N+i}{2}}q^{\frac{N-i}{2} }\]

إذا کان N-i زوجي. من السهل تعميم عملية المشي العشوائية من بعد واحد إلى ثنائي الأبعاد وأكثر من ذلك.

محاكاة مليون خطوة عشوائية في وضع ثنائي الأبعاد

ملاحظة

مؤشر ستوكاستيك يشير إلى عملية عشوائية. ظهرت الكلمة لأول مرة باللغة الإنجليزية لوصف كائن رياضي يسمى عملية عشوائية (Stochastic process)، ولكن في الرياضيات أصبح المصطلحان عملية عشوائية وعملية تصادفية (Random process) قابلة للتبادل. جاءت الكلمة، مع تعريفها الحالي بمعنى عشوائي، من الألمانية، لكنها جاءت في الأصل من اليونانية στόχος (stókhos)، وتعني “الهدف”.

يستخدم مصطلح الستوكاستك في العديد من المجالات المختلفة ، لا سيما حيث يتم استخدام العمليات العشوائية لتمثيل الأنظمة أو الظواهر التي يبدو أنها تتغير بطريقة عشوائية. يستخدم هذا المصطلح في العلوم الفيزيائية مثل علم الأحياء والكيمياء والإيكولوجيا وعلم الأعصاب والفيزياء وكذلك مجالات التكنولوجيا والهندسة مثل معالجة الصور ومعالجة الإشارات ونظرية المعلومات وعلوم الكمبيوتر (بما في ذلك مجال الذكاء الاصطناعي) ، التشفير والاتصالات. كما أنها تستخدم في التمويل ، بسبب التغيرات العشوائية على ما يبدو في الأسواق المالية وكذلك في الطب واللغويات والموسيقى والإعلام ونظرية الألوان وعلم النبات والتصنيع وعلم الجيومورفولوجيا. تتشابه نظرية الاستوكاستك في العلوم الاجتماعية مع نظرية النظم. في الذكاء الاصطناعي ، تعمل البرامج العشوائية باستخدام الأساليب الاحتمالية لحل المشكلات، كما هو الحال في التلدين المحاكي، والشبكات العصبية العشوائية، والخوارزميات والبرمجة الجينية. يجدر الإشاره بأن قد تكون المشكلة نفسها عشوائية أيضًا، كما هو الحال في التخطيط في ظل عدم اليقين.

منشور ذات صلة
صيغة أويلر 15 Minutes

صيغة متعددة الوجوه لأويلر

عاطفة عكرش

باستخدام صيغة أويلر بطريقة مماثلة يمكننا اكتشاف أنه لا يوجد متعدد السطوح بسيط له عشرة وجوه وسبعة عشر رأسًا. للمنشور والذي يتكون من ثماني أضلاع قاعدته، عشرة أوجه، لكن عدد الرؤوس هنا ستة عشر.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة