نظرة عامة حول المثلث

المثلث هو شكل هندسي له أهمية خاصة لأن المضلعات الأخرى (مع 4 أو 5 أو 6 أو ن جوانب عشوائية) يمكن أن تتحلل إلى مثلثات.

لذلك، فإن فهم الخصائص الأساسية للمُثلثات يسمح أيضًا بدراسة متعمقة للمضلعات الأكبر حجمًا. من المثير للاهتمام أن المثلث هو مجرد مضلع، إذا تم إعطاؤه طول ضلعه، فإنه يشكل مثلثًا فريدًا.

لذلك، من خلال الحصول على بعض المعلومات حول المُثلث (على سبيل المثال، طول بعض الأضلاع وبعض الزوايا)، من الممكن تحديد معلومات إضافية حول المثلثات.

عند التعامل مع المُثلثات، نستخدم مصطلحات نحتاج إلى معرفة معناها.فيما يلي سوف نتعرف على هذه الحالات.

نظرة عامة حول المثلث

الجانب: هو خط يربط بين رأسين متجاورين لمثلث.

الرأس: يسمى تقاطع جانبي المُثلث بالرأس.

الارتفاع: هو جزء خطي يبدأ من رأس ويكون عموديًا على الجانب المقابل (أو على طوله).

القاعدة: الجانب الذي يكون الارتفاع فيه عموديًا يسمى قاعدة المُثلث.

أنواع المثلثات من حيث الأضلاع

مُثلثات متساوية الأضلاع، مثلثات متساوية الساقين و مختلف الأضلاع

تنقسم المُثلثات إلى ثلاث فئات بناءً على طول الأضلاع (أو قيمة الزوايا الداخلية).

يمكن أن يكون لكل مثلث جانبان أو ثلاثة أو زوايا متساوية، أو قد لا يكون له جوانب أو زوايا متساوية.

مثلث متساوي الاضلاع (Equilateral Triangle)

هو المُثلث الذي يتكون من ثلاثة أضلاع متساوية في الطول، وينتج عن هذا التساوي ثلاث زوايا متساوية في القياس، قياس كل منها 60 درجة.

مثلث متساوي الساقين (Isosceles Triangle)

 هو المثلث الذي يتكون من ضلعين متساويين في الطول، وتنتج عن هذا التساوي زاويتان متساويتان في القياس أيضاً، تمثلان الزاويتين المجاورتين للضلعين المتساويين، وهما في الوقت نفسه زاويتا قاعدة المُثلث.

مثلث مختلف الأضلاع (Scaline Triangle)

هو المثلث الذي يحتوي على ثلاثة أضلاع، قياس طول كلٍّ منها مختلف عن الآخر، وبهذا فإن الزوايا أيضاً مختلفة في المتساوي

أنواع المثلثات من حيث الزاويا

تصنّف المُثلثات حسب قياس زواياها إلى الأنواع الآتية:

 المُثلثات الحادة (Acute triangles)

يُمكن تَعريف المثلثات الحادة على أنها المُثلثات التي يقل قياس زواياها الثلاث عن 90 درجة؛ فعلى سبيل المثال: المُثلث الحاد abc، قِياس الزاوية abc فيه يساوي 78 درجة، وقياس الزاوية bca يساوي 34 درجة، وقياس الزاوية  cba يساوي 68 درجة.

 المُثلثات منفرجة الزاوية (Obtuse triangles)

یُمكن تعريف المُثلثات مُنفرجة الزاوية على أنها مُثلثات يكون فيها قياس زاوية واحدة أكبر من 90 درجة؛ فعلى سبيل المِثال المُثلث abc، قِياس الزاوية bca فيه يساوي 40 درجة، وقياس الزاوية cab يساوي 19 درجة، وقياس الزاوية cba يساوي 121 درجة.

 المُثلثات قائِمة الزاوية (Right triangles)

يُمكن تعريف المُثلثات قائمة الزاوية على أنها مُثلثات يكون فيها قياس زاوية واحدة يساوي 90 درجة؛ فعلى سبيل المِثال المُثلث abc، قِياس الزاوية abc فيه يساوي 90 درجة، وقياس الزاوية bca يساوي 17 درجة، وقياس الزاوية cba يساوي 73 درجة.

خليط من الأسامي

في بعض الأحيان يمكن أن يكون للمثلث اسمين، على سبيل المثال:

مُثلث قائم الزاوية المتساوي الساقين، لها زاوية قائمة (90 درجة) والزوايا الأخرى متساوية. (هل يمكنك تخمين حجم الزوايا الأخرى؟)

محيط  المثلث

نظرة عامة حول المثلث

هنا ندرس محيط المُثلث في 3 أوضاع مختلفة. كما تعلم، فإن محيط الشكل الهندسي هو مجموع أطوال الأضلاع أو المسافة حوله. بمجرد أن تعرف طول أضلاع المثلث، سيكون من السهل حساب محيطه.

في هذه المقالة، سنقدم طريقتين لحساب محيط المُثلث إذا كنت لا تعرف طول أحد أضلاعه. تابعونا في استمرار هذا المقال.

كما ذكرنا، أسهل طريقة لحساب محيط المثلث هي إذا كنت تعرف طول كل جوانبها، اجمع أطوالها معًا.على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المُثلث في الشكل أدناه.

نظرة عامة حول المثلث

 طول كل ضلع من أضلاع هذا المُثلث 5 سم. اذن هذا المُثلث متساوي الأضلاع. محيط هذا المُثلث يساوي 15 سم.

لاحظ أنه إذا كانت جوانب المثلث مكتوبة بوحدات مختلفة، لحساب المحيط، يجب عليك تحويل جميع الأضلاع إلى نفس الوحدة.

على سبيل المثال، إذا تم إعطاء جانبين بالسنتيمتر وضلع واحد بالملليمتر، فإننا نحول جانب المليمتر (بالقسمة على 10) إلى سنتيمترات ثم نجمعهما معًا.

محيط مُثلث لا يُعرف سوى ضلعين منه

إذا كان أحد جوانب المثلث غير واضح، هناك طريقتان للعثور على الجانب الثالث ثم حساب المحيط.

الحل الأول هو استخدام قانون فيثاغورس إذا كان المثلث قائم الزاوية. أي أن إحدى زواياه الداخلية، كما هو موضح أعلاه، تساوي 90 درجة.

ينص قانون فيثاغورس على أن مربع (قوة اثنين) من الوتر (الضلع الأكبر) يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.

 لاحظ ما يلي:

على سبيل المثال، افترض أننا نريد الحصول على المحيط للشكل التالي. الخطوة الأولى هي حساب الضلع الثالث لقانون فيثاغورس.

لذلك لدينا النتيجة:

نظرة عامة حول المثلث

الآن وقد تم تحديد الجوانب الثلاثة للمثلث، أضفهم للحصول علي محيط المُثلث.

نظرة عامة حول المثلث

قد تتساءل عن كيفية حساب الضلع الثالث إذا لم يكن للمُثلث القائم. يمكننا استخدام قانون جيب التمام للقيام بذلك. لاستخدام هذه القاعدة، نحتاج بالطبع إلى معرفة الزاوية التي تواجه الضلع المجهول الطول. هذه القاعدة كما يلي:

في العلاقة أعلاه، زاوية جيب التمام C هي الزاوية التي تواجه الضلع الثالث. لاحظ أن العلاقة فيثاغورس هي حالة خاصة لقانون جيب التمام. إذا ضبطنا الزاوية C في جيب التمام على 90، فإن نتيجة التعبير “2abcosC” تصبح صفرًا ونحصل على علاقة فيثاغورس.  فيما يلي نصيحتان لمساعدتك في استخدام قانون جيب التمام.

ربما يكون أول شيء تعرفه هو في تعريف المُثلث؛  قياس الزوايا الداخلية لمثلث يساوي 180 درجة.

النقطة الثانية هي أنه في مثلث متساوي الساقين، تكون الزاويتان اللتان تواجهان الساقين متساويتين. لاحظ أيضًا أن قانون جيب التمام صالح لجميع الزوايا الداخلية الثلاث.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المثلث في الشكل أدناه. لحساب محيط هذا المُثلث نقوم بما يلي:

وفقًا للشكل أعلاه، فإن الضلع الثالث c غير واضح وبالتالي يجب أن نحصل عليه من قانون جيب التمام. الزاوية التي تواجه ضلعًا مجهول الطول c تساوي 97 درجة. إذن وفقًا للصيغة لدينا:

نظرة عامة حول المثلث

الآن وقد تم تحديد الضلع الثالث، بإضافة أطوال الأضلاع الثلاثة، يمكننا حساب محيط المُثلث.

نظرة عامة حول المثلث

مساحة المثلثات

في هذا القسم، نقدم أربع طرق لحساب مساحة المثلث بمثال. تابعونا في استمرار هذا المقال.

استخدام القاعدة والارتفاع

ربما تتذكر من الرياضيات أنه لحساب مساحة المُثلث، نحتاج إلى معرفة طول القاعدة وارتفاعها. من خلال معرفة هاتين القيمتين واستخدام الصيغة التالية، يمكننا إيجاد مساحة المثلث:

تنص المعادلة أعلاه على أن مساحة المثلث هي نصف حاصل ضرب حجم القاعدة (b) في الارتفاع (h). لاحظ أنه يمكن اعتبار كل جانب من جوانب المُثلث قاعدة، وفي هذه الحالة يجب أن نكون حذرين في حساب الارتفاع.

نظرة عامة حول المثلث

على سبيل المثال، لحساب مساحة المُثلث في الشكل أعلاه، نقوم بما يلي:

لاحظ أن وحدة المساحة مكونة من متر مربع (m2). و لاحظ أيضًا أن جميع الوحدات هي نفسها لحساب المساحة بشكل صحيح. على سبيل المثال، يجب أن يكون حجم القاعدة والارتفاع بالسنتيمتر. إذا كان هناك اختلاف في وحدة واحدة منهم، فيجب إجراء عملية تحويل الوحدة.

كمثال آخر، نريد حساب مساحة المثلث القائم الزاوية في الشكل التالي.

نظرة عامة حول المثلث

في المُثلث في الشكل أعلاه، الارتفاع يساوي 4 والقاعدة تساوي a. لكن طول الضلع الثالث (يسمى الوتر) في هذا المثلث معروف. نظرًا لأن المُثلث قائم الزاوية، فيمكننا استخدام علاقة فيثاغورس، والتي تتم في الشكل. لاحظ أنه إذا اعتبرنا جانبًا بطول 4 كقاعدة، فإن الارتفاع يساوي a، وهذا ليس له أي تأثير على الإجابة النهائية.

استخدم صيغة هيرون

هناك طريقة أخرى لحساب مساحة المثلث وهي استخدام قانون هيرون. معادلة حساب المساحة بموجب هذا القانون معطاة في الشكل التالي:

في العلاقة أعلاه، المعلمات الثلاثة a، b، c هي جوانب المُثلث والمعلمة S هي نصف محيط المُثلث (مقياس نصف القطر).

على سبيل المثال، نريد الحصول على مساحة مُثلث قائم الزاوية في الشكل التالي باستخدام صيغة هورون.

نظرة عامة حول المثلث

يتم حساب قيمة المعلمة S، أي نصف المحيط، في الشكل أعلاه. الآن، بوضع أطوال الأضلاع في الصيغة المناسبة وفقًا للشكل التالي، نحصل على مساحة المثلث.

نظرة عامة حول المثلث

مساحة مثلث متساوي الأضلاع

إذا كانت الأضلاع الثلاثة للمثلث متساوية، يسمى المُثلث متساوي الأضلاع. في هذا النوع من المُثلثات، الزوايا الداخلية متساوية وتساوي 60 درجة. استخدم العلاقة البسيطة A =( ½)bh

ربما يكون الأمر صعبًا بعض الشيء هنا لأن الارتفاع غير معروفة. بالطبع، يمكن الحصول على ارتفاع مُثلث متساوي الأضلاع عن طريق إجراء حسابات رياضية واستخدام علاقة فيثاغورس. لكن الطريقة الأسهل هي استخدام العلاقة التالية:

نظرة عامة حول المثلث

لاحظ أنه في العلاقة أعلاه، فإن المعلمة s هي طول ضلع مثلث متساوي الأضلاع. على سبيل المثال، لحساب مساحة مُثلث بأضلاع متطابقة طولها 6 سم، نقوم بما يلي:

نظرة عامة حول المثلث

استخدم جيب الزاوية

لنفترض أن لديك مثلثًا ليس له شكل قياسي محدد وأنك تعرف فقط طول ضلعيه. الحصول على الارتفاع لاستخدام العلاقة (A = bh(1/2) ) للمُثلثات التي ليس لها شكل قياسي (معروفاً) ليس بالأمر الممكن أو الصعب. لكن إذا عرفنا مقدار الزاوية بين ضلعين معروفين، فيمكننا بسهولة حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة التالية.

الآن، على سبيل المثال، لحساب مساحة المثلث في الشكل التالي باستخدام الصيغة أعلاه، نقوم بما يلي:

نظرة عامة حول المثلث

من خلال وضع حجم الجانبين b وc في العلاقة أعلاه لدينا:

نظرة عامة حول المثلث

الآن من خلال وضع الزاوية بين الجانبين، سيكون لدينا:

منشور ذات صلة
النواة - kernel 15 Minutes

النواة في الرياضيات

عاطفة عكرش

تسمح النواة بتعريف كائنات خارج القسمة (تسمى أيضًا حاصل الجبر في الجبر الشامل، والنوى في نظرية الفئة). بالنسبة للعديد من أنواع البنية الجبرية، تنص النظرية الأساسية حول التشابه على أن صورة تماثل الشكل تتشابه مع حاصل القسمة بواسطة النواة.

القيمة القصوى المطلقة 7 Minutes

القيمة القصوى المطلقة

عاطفة عكرش

الحد الأقصى المطلق للدالة في فترة زمنية معينة يمثل الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمة تلك الدالة في الفترة المحددة. لذلك، يمكن أن يكون الحد الأقصى المطلق هو نقطة إحدى النقاط القصوى النسبية أو أن يشمل نقطتي البداية والنهاية للفاصل الزمني.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة