في الرياضيات، فإن نظرية الترتيب الجيد ” Well-ordering theorem ” (أو علاقة الترتيب الجيد أو حسن الترتيب) على مجموعة S هو ترتيب إجمالي على S مع خاصية أن كل مجموعة فرعية غير فارغة من S لها أقل عنصر في هذا الترتيب. ثم تسمى المجموعة S مع علاقة الترتيب الجيد مجموعة مرتبة جيدًا. في بعض المقالات والكتب المدرسية، تتم كتابة هذه المصطلحات بترتيب جيد، وحسن التنظيم، ومرتبة بشكل جيد. كل مجموعة مرتبة جيدًا غير فارغة تحتوي على أقل عنصر. كل عنصر s من مجموعة مرتبة جيدًا، باستثناء أكبر عنصر ممكن، له خلف فريد (العنصر التالي)، وهو أقل عنصر في المجموعة الفرعية لجميع العناصر الأكبر من s. قد تكون هناك عناصر إلى جانب أقل عنصر ليس لها سلف. تحتوي المجموعة S جيدة الترتيب لكل مجموعة فرعية T ذات حد أعلى على أقل حد أعلى، أي أقل عنصر من المجموعة الفرعية لجميع الحدود العليا لـ T في S.

إذا كانت ≤ عبارة عن ترتيب جيد غير صارم، فإن < هو ترتيب صارم للبئر. العلاقة هي ترتيب صارم جيدًا إذا وفقط إذا كانت أمرًا إجماليًا صارمًا ذا أسس جيدة. غالبًا ما يتم تجاهل التمييز بين أوامر الآبار الصارمة وغير الصارمة نظرًا لأنها قابلة للتحويل البيني بسهولة. كل مجموعة مرتبة بشكل جيد هي ترتيب متماثل بشكل فريد لرقم ترتيبي فريد، يسمى نوع الطلب للمجموعة جيدة الترتيب. تنص نظرية الترتيب الجيد، التي تعادل بديهية الاختيار، على أنه يمكن ترتيب كل مجموعة بشكل جيد. إذا كانت المجموعة مرتبة جيدًا (أو حتى إذا كانت تعترف فقط بعلاقة قائمة على أسس جيدة)، فيمكن استخدام تقنية إثبات الاستقراء غير المحدود لإثبات أن بيانًا معينًا صحيحًا لجميع عناصر المجموعة.

الملاحظة القائلة بأن الأعداد الطبيعية مرتبة جيدًا من خلال العلاقة المعتادة أقل من تسمى عادة مبدأ الترتيب الجيد (للأعداد الطبيعية).

تاريخ

اعتبر جورج كانتور أن نظرية التنظيم الجيد هي “مبدأ أساسي للفكر”. ومع ذلك، يعتبر من الصعب أو حتى المستحيل تصور ترتيب جيد لـ {R}؛ مثل هذا التصور يجب أن يدمج بديهية الاختيار. في عام 1904، ادعى جيولا كونيغ أنه أثبت أن مثل هذا الترتيب الجيد لا يمكن أن يوجد. بعد بضعة أسابيع، وجد فيليكس هاوسدورف خطأً في الإثبات. ومع ذلك، اتضح أن نظرية الترتيب الجيد تكافئ بديهية الاختيار، بمعنى أن أحدهما مع بديهيات زيرميلو وفرينكل كافيان لإثبات الآخر، في منطق الترتيب الأول (الأمر نفسه ينطبق على نظرية زورن). ومع ذلك، في منطق الترتيب الثاني، فإن نظرية الترتيب الجيد أقوى بشكل صارم من بديهية الاختيار: من نظرية الترتيب الجيد يمكن للمرء أن يستنتج بديهية الاختيار، ولكن من بديهية الاختيار لا يمكن للمرء أن يستنتج نظرية حسن الترتيب.

هناك نكتة معروفة حول العبارات الثلاثة، ومدى قابليتها النسبية على الحدس:

من الواضح أن بديهية الاختيار صحيحة، ومن الواضح أن مبدأ حسن الترتيب خاطئ، ومن يستطيع أن يخبرنا عن ليمما زورن؟

إثبات AC

يمكن إثبات أكسيوم الاختيار من نظرية الترتيب الجيد على النحو التالي.

لعمل داله اختيار لمجموعة من المجموعات غير الفارغة، E، خذ اتحاد المجموعات في E واسمها X. يوجد ترتيب جيد لـ X؛ دع R يكون مثل هذا الأمر. الداله التي تربط كل مجموعة S من E أصغر عنصر من S، كما هو مرتب بواسطة (التقييد على S لـ) R، هي داله اختيار للمجموعة E. النقطة الأساسية في هذا الدليل هي أنه لا يتضمن سوى خيار تعسفي واحد، وهو خيار R؛ لن ينجح تطبيق نظرية الترتيب الجيد على كل عضو S من E على حدة، لأن النظرية تؤكد فقط وجود ترتيب جيد، ولن يكون اختيار الترتيب الجيد لكل S أسهل من اختيار عنصر.

الأعداد الترتيبية

كل مجموعة مرتبة بشكل جيد هي ترتيب متماثل بشكل فريد لرقم ترتيبي فريد، يسمى نوع الطلب للمجموعة جيدة الترتيب. يتم أيضًا تحديد موضع كل عنصر داخل المجموعة المرتبة بواسطة رقم ترتيبي. في حالة المجموعة المحدودة، فإن العملية الأساسية للعد، للعثور على الرقم الترتيبي لكائن معين، أو للعثور على كائن برقم ترتيبي معين، يتوافق مع تعيين أرقام ترتيبية واحدة تلو الأخرى للكائنات. حجم (عدد العناصر، العدد الأساسي) لمجموعة محدودة يساوي نوع الأمر. يبدأ العد بالمعنى اليومي عادةً من واحد، لذلك فإنه يعين لكل كائن حجم المقطع الأولي مع هذا الكائن كعنصر أخير. لاحظ أن هذه الأرقام هي أكثر من الأرقام الترتيبية الرسمية وفقًا للترتيب المتماثل، لأن هذه الأرقام تساوي عدد الكائنات السابقة (والتي تتوافق مع العد من الصفر). وهكذا بالنسبة لـ n المحدود، فإن التعبير “n-th element” لمجموعة مرتبة جيدًا يتطلب سياقًا لمعرفة ما إذا كان هذا يعد من صفر أم واحد. في التدوين “β-th element” حيث يمكن أن تكون أيضًا ترتيبيًا لانهائيًا، فإنها تحسب عادةً من الصفر.

بالنسبة لمجموعة لا نهائية، يحدد نوع الطلب العلاقة الأساسية، ولكن ليس العكس: يمكن أن تحتوي المجموعات المرتبة جيدًا من أصل معين على العديد من أنواع الطلبات المختلفة. بالنسبة لمجموعة لا حصر لها، فإن مجموعة أنواع الأوامر الممكنة لا تعد حتى غير قابلة للعد.

أمثلة وأمثلة مضادة

الأعداد الطبيعية

الترتيب القياسي ≤ للأرقام الطبيعية هو ترتيب جيد وله خاصية إضافية تتمثل في أن كل رقم طبيعي غير صفري له سلف فريد.

يتم إعطاء ترتيب جيد آخر للأعداد الطبيعية من خلال تحديد أن جميع الأعداد الزوجية أقل من جميع الأعداد الفردية، وأن الترتيب المعتاد ينطبق ضمن التسويات والاحتمالات:

0 2 4 6 8 … 1 3 5 7 9 …

هذه مجموعة مرتبة جيدًا من نوع الأمر.ω + ω كل عنصر له خلف (لا يوجد عنصر أكبر). عنصران يفتقران إلى سلف: 0 و 1.

عدد صحيح

على عكس الترتيب القياسي ≤ للأعداد الطبيعية، فإن الترتيب القياسي ≤ للأعداد الصحيحة ليس ترتيبًا جيدًا، نظرًا لأن مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة، على سبيل المثال، لا تحتوي على عنصر أصغر.

العلاقة التالية R هي مثال على الترتيب الجيد للأعداد الصحيحة: x R y إذا وفقط إذا كان أحد الشروط التالية ينطبق:

  1. x = 0
  2. X موجب، و y سالب
  3. X و y موجبان، و x ≤ y
  4. X و y سالبان، و | x | ≤ | y |

يمكن تصور هذه العلاقة R على النحو التالي:

0 1 2 3 4 … 1− 2− 3− …

R متماثل للرقم الترتيبيω + ω .

هناك علاقة أخرى لترتيب الأعداد الصحيحة بشكل جيد وهي التعريف التالي: x ≤z y  وفقط إذا (|x| < |y|   او (|x| = |y| و  x ≤ y)). يمكن تصور هذا الترتيب الجيد على النحو التالي:

0 −1 1 −2 2 −3 3 −4 4 …

هذا له نوع الطلب ω.

حقائق

الترتيب القياسي ≤ لأي فترة زمنية حقيقية ليس ترتيبًا جيدًا، لأنه، على سبيل المثال، الفاصل الزمني المفتوح (0، 1) ⊆ [0،1] لا يحتوي على عنصر أصغر. من بديهيات نظرية المجموعات حسب تسيرميلو-فرانكل (بما في ذلك بديهية الاختيار) يمكن للمرء أن يُظهر أن هناك ترتيبًا جيدًا للواقع. أثبت فاتسواف شيربينسكي أيضًا أن ZF + GCH (فرضية الاستمرارية المعممة) تتضمن بديهية الاختيار وبالتالي ترتيبًا جيدًا للواقع. ومع ذلك، من الممكن إظهار أن بديهيات ZFC + GCH وحدها ليست كافية لإثبات وجود ترتيب جيد للواقع يمكن تحديده (بواسطة صيغة). ومع ذلك، فإنه يتفق مع ZFC أن هناك ترتيبًا جيدًا يمكن تحديده للريال – على سبيل المثال، يتوافق مع ZFC أن V = L، ويتبع من ZFC + V = L أن هناك صيغة معينة تطلب القيم الحقيقية، أو في الواقع أي يضع.

مجموعة فرعية غير معدودة من الأرقام الحقيقية ذات الترتيب القياسي لا يمكن أن تكون ترتيبًا جيدًا: لنفترض أن X هي مجموعة فرعية من R مرتبة جيدًا بواسطة ≤. لكل x في X، لنفترض أن s(x) هي خليفة x في الترتيب ≤ على X (ما لم يكن x هو العنصر الأخير في X). دع A = { (x, s(x)) | x ∈ X } التي تكون عناصرها فترات غير فارغة ومفككة. تحتوي كل فترة زمنية كهذه على رقم منطقي واحد على الأقل، لذلك توجد داله حقن من A إلى Q. هناك حقنة من X إلى A (ربما باستثناء العنصر الأخير من X والذي يمكن تعيينه إلى الصفر لاحقًا). ومن المعروف أن هناك حقنة من Q للأعداد الطبيعية (والتي يمكن اختيارها لتجنب الوصول إلى الصفر). وبالتالي هناك حقن من X إلى الأعداد الطبيعية مما يعني أن X قابل للعد. من ناحية أخرى، مجموعة فرعية لا حصر لها من القيم الحقيقية قد تكون أو لا تكون ترتيبًا جيدًا مع المعيار “≤”. على سبيل المثال:

  • الأعداد الطبيعية هي ترتيب جيد تحت الترتيب القياسي ≤.
  • المجموعة {1/n: n = 1،2،3، …} لا تحتوي على أقل عنصر وبالتالي فهي ليست ترتيبًا جيدًا بموجب الترتيب القياسي ≤.

أمثلة على أوامر الآبار:

  • مجموعة الأعداد { −2−n | 0 ≤ n < ω }  له نوع الأمر .ω
  • مجموعة الأعداد   { −2−n –2−m−n | 0 ≤ m,n < ω } له نوع الأمر .ω2المجموعة السابقة هي مجموعة نقاط الحد داخل المجموعة. ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية، سواء مع الهيكل العادي أو طوبولوجيا الترتيب، 0 هي أيضًا نقطة حد للمجموعة. إنها أيضًا نقطة حد لمجموعة نقاط النهاية.
  • مجموعة الأعداد  { −2−n | 0 ≤ n < ω } ∪ { 1 } له نوع الأمر .ω + 1مع طوبولوجيا ترتيب هذه المجموعة، تكون 1 نقطة حد للمجموعة. مع الطوبولوجيا العادية (أو ما يعادلها، طوبولوجيا الترتيب) للأرقام الحقيقية ليست كذلك.

تركيبات معادلة

إذا تم ترتيب المجموعة بالكامل، فإن العناصر التالية تكون متكافئة مع بعضها البعض:

  1. المجموعة مرتبة بشكل جيد. أي أن كل مجموعة فرعية غير فارغة تحتوي على أقل عنصر.
  • يعمل الحث العابر للمجموعة المطلوبة بأكملها.
  • يجب أن ينتهي كل تسلسل متناقص بشكل صارم لعناصر المجموعة بعد عدة خطوات محدودة فقط (بافتراض بديهية الاختيار التابع).
  • كل ترتيب فرعي متماثل إلى مقطع أولي.

ترتيب الطوبولوجيا

في الرياضيات، طوبولوجيا الترتيب هي طوبولوجيا معينة يمكن تعريفها على أي مجموعة مرتبة تمامًا. إنه تعميم طبيعي لطوبولوجيا الأعداد الحقيقية على مجموعات مرتبة تمامًا.

إذا كانت X مجموعة مرتبة تمامًا، فسيتم إنشاء طوبولوجيا الترتيب على X بواسطة القاعدة الفرعية لـ “الأشعة المفتوحة”

    \[ {\displaystyle \{x\mid a<x\}} \]

    \[ {\displaystyle \{x\mid x<b\}} \]

للجميع a، b في x. بشرط أن يحتوي X على عنصرين على الأقل، وهذا يعادل القول بأن الفترات المفتوحة

    \[ (a,b)=\{x\mid a<x<b\} \]

جنبا إلى جنب مع الأشعة أعلاه تشكل قاعدة لطوبولوجيا النظام. المجموعات المفتوحة في X هي المجموعات التي هي اتحاد (ربما بلا حدود) مثل هذه الفواصل والأشعة المفتوحة.

يُطلق على الفضاء الطوبولوجي X الترتيب إذا كان هناك ترتيب إجمالي على عناصره مثل أن يتطابق طوبولوجيا الترتيب المستحثة بهذا الترتيب والطوبولوجيا المعطاة على X. تجعل طوبولوجيا الترتيب X في فضاء هاوسدورف عادية تمامًا.

الهياكل القياسية في R و Q و Z و N هي طوبولوجيا الترتيب.

ترتيب طوبولوجيا المستحث

إذا كانت Y مجموعة فرعية من X، و X مجموعة مرتبة تمامًا، فإن Y ترث أمرًا إجماليًا من X. وبالتالي، فإن المجموعة Y لها ترتيب، وهو ترتيب طوبولوجيا المستحث. كمجموعة فرعية من X، فإن Y لها أيضًا طوبولوجيا فضاء فرعي. دائمًا ما تكون طوبولوجيا الفضاء الجزئي دقيقة على الأقل مثل ترتيب طوبولوجيا المستحث، لكنها ليست هي نفسها بشكل عام.

على سبيل المثال، ضع في الاعتبار المجموعة الفرعية Y = {–1} ∪ {1/n}n∈N في الأسس المنطقية. تحت طوبولوجيا الفضاء الجزئي، تكون المجموعة المفردة {1–} مفتوحة في Y، ولكن في ظل طوبولوجيا الترتيب المستحث، يجب أن تحتوي أي مجموعة مفتوحة تحتوي على 1– على جميع أعضاء الفضاء ولكن عددًا محدودًا منهم.

مثال على فضاء فرعي لمساحة مرتبة خطيًا لا تعتبر طوبولوجيا ترتيب

على الرغم من أن طوبولوجيا الفضاء الجزئي لـ Y = {–1} ∪ {1/n}n∈N في القسم أعلاه تبين أنه لم يتم إنشاؤها بواسطة الترتيب المستحث على Y، إلا أنها مع ذلك طوبولوجيا ترتيب على Y؛ في الواقع، في طوبولوجيا الفضاء الجزئي، يتم عزل كل نقطة (على سبيل المثال، المفرد y مفتوح في Y لكل y في Y)، وبالتالي فإن طوبولوجيا الفضاء الجزئي هي الهيكل المنفصل على Y (الهيكل الذي تكون فيه كل مجموعة فرعية من Y عبارة عن مجموعة مفتوحة)، والطوبولوجيا المنفصلة على أي مجموعة هي طوبولوجيا ترتيب. لتحديد الترتيب الإجمالي على Y الذي يولد الهيكل المنفصل على Y، قم ببساطة بتعديل الترتيب المستحث على Y عن طريق تحديد 1- ليكون أكبر عنصر في Y والاحتفاظ بنفس الترتيب للنقاط الأخرى، بحيث يكون في هذا الترتيب الجديد (نسميها قل <1 ) لدينا 1/n <1 –1 لجميع n ∈ N. ثم، في ترتيب طوبولوجيا Y التي تم إنشاؤها بواسطة <1، يتم عزل كل نقطة Y في Y.

نرغب في تحديد مجموعة فرعية Z من مساحة طوبولوجية مرتبة خطيًا X بحيث لا يوجد ترتيب إجمالي على Z يولد طوبولوجيا الفضاء الجزئي على Z. بحيث لا تكون طوبولوجيا الفضاء الجزئي طوبولوجيا ترتيب، على الرغم من أنها طوبولوجيا الفضاء الجزئي للفضاء.

لنفترض أن

    \[ Z=\{-1\}\cup (0,1) \]

في السطر الحقيقي. تُظهر نفس الحجة السابقة أن طوبولوجيا الفضاء الجزئي على Z لا تساوي طوبولوجيا الترتيب المستحث على Z، ولكن يمكن للمرء أن يُظهر أن طوبولوجيا الفضاء الجزئي على Z لا يمكن أن تكون مساوية لأي طوبولوجيا ترتيب على Z.

افترض على سبيل التناقض أن هناك بعض الترتيب الكلي الصارم <على Z بحيث أن طوبولوجيا الترتيب التي تم إنشاؤها بواسطة < تساوي طوبولوجيا الفضاء الجزئي على Z (لاحظ أننا لا نفترض أن < هو الترتيب المستحث على Z، بل بالأحرى تعسفيًا إعطاء ترتيب إجمالي على Z الذي يولد طوبولوجيا الفضاء الجزئي). في ما يلي، يجب تفسير تدوين الفاصل بالنسبة إلى < العلاقة. أيضًا، إذا كانت A و B مجموعتين، فإن A < B لكل من a في A و b في B.

لنفترض أن M = Z \ {-1}، فترة الوحدة. M متصل. إذا كانت m، n ∈ M و m <-1 <n، ثم  

    \[ (-\infty ,-1) \]

و من

    \[ (-\infty ,-1) \]

افصل  M، هذا تناقض. وبالتالي، M <{-1} أو {-1} <M. افترض دون فقدان العمومية أن {-1} <M . نظرًا لأن {1-} مفتوح في Z، فهناك نقطة معينة p في M بحيث يكون الفاصل الزمني (1-،صp) فارغ. نظرًا لأن {-1} <M، نعلم أن 1- هو العنصر الوحيد في Z الأقل من p، لذا فإن p هي الحد الأدنى من M. ثم M\{p} = A∪B، حيث A و B مفتوحان غير فارغين ومجموعات فرعية متصلة منفصلة من M (تؤدي إزالة نقطة من فاصل مفتوح إلى فترتين مفتوحتين). من خلال الاتصال، لا يمكن أن تقع أي نقطة من Z\B بين نقطتين من B، ولا يمكن أن تقع أي نقطة من Z\A بين نقطتين من A. لذلك، إما A <B أو B <A. افترض دون فقدان العمومية أن A بḄ. إذا كانت a هي أي نقطة في A، فإن p <a و

    \[ (p,a){\displaystyle \subseteq }\subseteq  A \]

.  (-1,a)=[p,a),  ثم  [p,a) مفتوح. {p}∪A=[p,a)∪A لذلك {p}∪A  هي مجموعة فرعية مفتوحة من M وبالتالي M = ({p} ∪A) ∪ B هي اتحاد مجموعتين فرعيتين مفتوحتين من M لذا M غير متصل، تناقض.

ترتيب الطبولوجيا الأيمن والأيسر

يمكن إعطاء العديد من المتغيرات لطوبولوجيا الترتيب:

  • طوبولوجيا الترتيب الايمن على X هي الهيكل الذي تتكون مجموعاته المفتوحة من فترات من النموذج (a، ∞) (بما في ذلك (-∞ ، ∞)).
  • طوبولوجيا الترتيب الأيسر على X هي الهيكل الذي تتكون مجموعاته المفتوحة من فترات من النموذج (-∞، b) (بما في ذلك (-∞، ∞)).

يمكن استخدام طبولوجيا الترتيب الأيمن والأيسر لإعطاء أمثلة مضادة في الهيكل العام. على سبيل المثال، طوبولوجيا الترتيب الأيمن أو الأيسر على مجموعة محدودة توفر مثالاً لمساحة مضغوطة ليست فضاء هاوسدورف.

طوبولوجيا الترتيب الأيسر هي الهيكل القياسي المستخدم للعديد من الأغراض النظرية المحددة في الجبر البولي.

الفضاء الترتيبي

لأي عدد ترتيبي، يمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار مسافات الأعداد الترتيبية

    \[ {\displaystyle [0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}} \]

    \[ {\displaystyle [0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}} \]

جنبًا إلى جنب مع طوبولوجيا الترتيب الطبيعي. تسمى هذه المسافات الفراغات الترتيبية. (لاحظ أنه في التركيب النظري الضبط المعتاد للأعداد الترتيبية لدينا  λ = [0,λ) و λ + 1 = [0,λ]). .   من الواضح أن هذه المسافات غالبًا ما تكون ذات أهمية عندما تكون عددًا ترتيبيًا لانهائيًا؛ بخلاف ذلك (بالنسبة للترتيب المحدد)، فإن طوبولوجيا الترتيب هي ببساطة الطوبولوجيا المنفصلة.

عندما تكون λ = ω ، (أول ترتيبي لانهائي)، تكون المسافة [0، ω)  هي N فقط مع الهيكل المعتاد (الذي لا يزال منفصلاً)، بينما [0، ω)  هو اندماج نقطة واحدة لـ N.

من الأمور ذات الأهمية الخاصة الحالة عندما تكون λ = ω1 ، مجموعة جميع الأعداد الترتيبية القابلة للعد، وأول ترتيبي غير معدود. العنصر ω1 هو نقطة نهائية للمجموعة الفرعية [0، ω1)  على الرغم من عدم وجود تسلسل للعناصر في [0، ω1)  له حده. على وجه الخصوص[0، ω1] ، لا يعد أولًا. المسافة الجزئية  [0، ω1) قابلة للعد أولاً، حيث أن النقطة الوحيدة في [0، ω1]   بدون قاعدة محلية قابلة للعد هي ω1 . تشمل بعض الخصائص الأخرى.

لا يمكن فصل أي من [0، ω1)  أو[0، ω1] أو حسابه بالثانية.

[0، ω1] مضغوطة، بينما [0، 1) مضغوطة بالتتابع ومضغوطة بشكل محسوب، ولكنها ليست مضغوطة أو باراكومباكت.

منشور ذات صلة

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة