الأعداد الكلية هي مجموعة من الأرقام بما في ذلك جميع الأعداد الصحيحة الموجبة و 0. الأعداد الكلية هي جزء من الأعداد الحقيقية التي لا تشمل الكسور أو الكسور العشرية أو الأرقام السالبة. تعتبر أرقام العد أيضًا أعدادًا كلية. في هذا الدرس، سوف نتعلم الأعداد الكلية والمفاهيم ذات الصلة. في الرياضيات، يتكون نظام الأرقام من جميع أنواع الأرقام، بما في ذلك الأعداد الطبيعية والأرقام الصحيحة والأعداد الأولية والأرقام المركبة والأعداد الكلية والأرقام الحقيقية والأرقام التخيلية، وما إلى ذلك، والتي تُستخدم جميعها لإجراء عمليات حسابية مختلفة.

نرى أرقامًا في كل مكان حول العالم، لعد الأشياء، لتمثيل أو تبادل الأموال، لقياس درجة الحرارة، لإخبار الوقت وما إلى ذلك. لا يوجد شيء تقريبًا لا يتضمن الأرقام، سواء كان ذلك نتيجة مطابقة، أو وصفات طبخ، أو العد على الأشياء.

ما هي الأعداد الكلية؟

تشير الأعداد الطبيعية إلى مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة، ومن ناحية أخرى، فإن الأعداد الطبيعية جنبًا إلى جنب مع الصفر (0) تشكل مجموعة، يشار إليها باسم الأعداد الكلية. ومع ذلك، فإن الصفر هو هوية غير محددة تمثل مجموعة فارغة أو لا تمثل نتيجة على الإطلاق.

بكلمات بسيطة، الأعداد الكلية هي مجموعة من الأعداد بدون كسور أو كسور عشرية أو حتى أعداد صحيحة سالبة. وهي عبارة عن مجموعة من الأعداد الصحيحة الموجبة والصفر. الفرق الأساسي بين الأعداد الطبيعية والأعداد الكلية هو صفر.

تعريف العدد الكامل او Whole Number:

هذه المجموعة هي مجموعة الأعداد الطبيعية جنبًا إلى جنب مع الرقم 0. مجموعة الأعداد الكلية في الرياضيات هي المجموعة {0، 1، 2، 3،…}. هذه المجموعة من الأعداد الصحيحة يُرمز إليها بالرمز W.

W = {0،1،2،3،4…}

فيما يلي بعض الحقائق عن الأعداد الكلية، والتي ستساعدك على فهمها بشكل أفضل:

كل الأعداد الطبيعية هي أعداد الكلية.

جميع أعداد العد هي أعداد كلية.

جميع الأعداد الصحيحة الموجبة بما في ذلك الصفر هي أعداد كلية.

كل الأعداد الكلية هي أعداد حقيقية.

رمز العدد الكامل  

الرمز المستخدم لتمثيل الأعداد الكلي هو الأبجدية “W” بالأحرف الكبيرة، W = 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10،…

أصغر عدد كامل

تبدأ الأعداد الكلية من 0 (من تعريف الأعداد الكلية). وبالتالي، 0 هو أصغر عدد كلي. تم تعريف مفهوم الصفر لأول مرة من قبل عالم الفلك الهندوسي وعالم الرياضيات Brahmagupta في 628. بلغة بسيطة، الصفر هو رقم يقع بين الأرقام الموجبة والسالبة على خط الأعداد. على الرغم من أن الصفر ليس له قيمة، إلا أنه يُستخدم كعنصر نائب. إذن، الصفر ليس رقمًا موجبًا ولا رقمًا سالبًا.

الأعداد الكلية مقابل الأعداد الطبيعية

من التعريفات المذكورة أعلاه، يمكننا أن نفهم أن كل عدد صحيح بخلاف 0 هو عدد طبيعي. أيضا، كل رقم طبيعي هو عدد كلي. لذا، فإن مجموعة الأعداد الطبيعية هي جزء من مجموعة الأعداد الكلية أو مجموعة فرعية من الأعداد الكلية.

الأعداد الكلية مقابل الأعداد الطبيعية

الفرق بين الأعداد الكلية والأعداد الطبيعية

دعونا نفهم الفرق بين الأعداد الكلية والأعداد الطبيعية من خلال الجدول الموضح أدناه:

الرقم الكامل:

مجموعة الأعداد الكلية او  هي، W = {0،1،2،3، …}.

أصغر عدد كامل هو 0.

كل عدد كامل هو عدد طبيعي، باستثناء 0.

عدد طبيعي:

مجموعة الأعداد الطبيعية هي، N = {1،2،3، …}.

أصغر عدد طبيعي هو 1.

كل رقم طبيعي هو عدد كامل.

الأعداد الكلية على خط الأعداد

يمكن عرض مجموعة الأعداد الطبيعية ومجموعة الأعداد الصحيحة على خط الأعداد كما هو موضح أدناه. تمثل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة أو الأعداد الصحيحة الموجودة على الجانب الأيمن من 0 الأعداد الطبيعية، بينما تمثل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة جنبًا إلى جنب مع الصفر الأعداد الصحيحة معًا. يمكن تمثيل مجموعتي الأرقام على خط الأعداد على النحو التالي:

الأعداد الكلية

خواص الأعداد الكلية

حيادي الجمع

عند إضافة رقم صحيح إلى 0، تظل قيمته دون تغيير، أي إذا كانت x عددًا صحيحًا، فإن x + 0 = 0 + x = x. على سبيل المثال، 3 + 0 = 3

الهوية المضاعفة

عندما يتم ضرب عدد صحيح في 1، تظل قيمته دون تغيير، أي إذا كانت x عددًا صحيحًا، فإن x.1 = x = 1.x. على سبيل المثال. 4 × 1 = 4

الضرب بصفر

عندما يتم ضرب عدد صحيح في 0، تكون النتيجة دائمًا 0، أي x.0 = 0.x = 0. على سبيل المثال، 4 × 0 = 0

القسمة على صفر

لم يتم تعريف قسمة عدد صحيح على o، أي إذا كانت x عددًا صحيحًا، فلن يتم تعريف x / 0.

نقاط مهمة

  • 0 هو عدد كامل ولكنه ليس عددًا طبيعيًا.
  • الأعداد السالبة والكسور والكسور العشرية ليست أعدادًا طبيعية ولا أعدادًا صحيحة ما لم يكن بالإمكان تبسيطها كرقم طبيعي أو عدد صحيح.

خواص الأعداد الصحيحة

هناك العديد من الخصائص للأعداد الكلية التي تساعدنا في إجراء العمليات على هذا الأعداد. تحدد هذه الخصائص خصائص العمليات. في هذه القسم، سوف نتعلم خصائص الأعداد الكلية تحت الجمع والطرح والضرب والقسمة.

قائمة خصائص الأعداد الكلية

الأعداد الكلية هي الأعداد الطبيعية جنبًا إلى جنب مع الرقم 0. مجموعة الأعداد الكلية في الرياضيات هي المجموعة {0،1،2،3،…}. يُشار إليه بالرمز W. العمليات الأساسية على الأعداد الكلية: الجمع والطرح والضرب والقسمة، تؤدي إلى أربع خصائص رئيسية.  الخصائص الأربعة للأعداد الصحيحة هي كما يلي:

  • خاصية الإغلاق
  • ملكية مشتركة
  • خاصية التبديل
  • خاصية التوزيع

دعنا نستكشف الخصائص الأربع للأعداد الصحيحة بالتفصيل.

خاصية إغلاق الأعداد الكلية  

تنص خاصية إغلاق العدد الكامل على أن “جمع وضرب عددين هو دائمًا يكون عددًا كاملا.” على سبيل المثال: 0 + 2 = 2. هنا، 2 عدد كامل. بالطريقة نفسها، اضرب أي رقمين كاملين وستلاحظ أن حاصل الضرب هو عدد صحيح مرة أخرى. على سبيل المثال، 3 × 5 = 15. هنا، 15 عدد كامل. وهكذا فإن مجموعة الأعداد الصحيحة، W تغلق تحت الجمع والضرب.

تم تحديد خاصية إغلاق W على النحو التالي:

For all a,b∈W, a+b∈W, & a×b∈W.

لا تكون هذه الخاصية صحيحة في حالة عمليات الطرح والقسمة على الأعداد الكلية. حيث إن 0 و 2 عددان كاملان، لكن 0-2 = -2، وهو ليس عددًا كاملا. وبالمثل، لم يتم تعريف 2/0. لذلك، لا يتم إغلاق الأعداد الصحيحة تحت الطرح والقسمة.

الملكية الترابطية للأعداد الكلية

تنص الخاصية الترابطية للأعداد الكلية على أن “مجموع ومنتج أي ثلاثة أعداد الكلية يظلان كما هو بغض النظر عن كيفية تجميع الأرقام معًا أو ترتيبها”.

المثال 1:

(1+2)+3 = 1+(2+3)

لأن،

(1+2)+3 = 3+3 = 6

1+(2+3) = 1+5 = 6

مثال 2:

(1×2)×3 = 1×(2×3)

لأن،

(1×2)×3 = 2×3 = 6

1×(2×3) = 1×6 = 6

وبالتالي فإن مجموعة الأعداد الصحيحة، W هي ترابطية تحت الجمع والضرب. يتم بيان الممتلكات الترابطية لـ W على النحو التالي:

For all a,b,c∈W, a+(b+c)=(a+b)+c and a×(b×c)=(a×b)×c.

الخاصية الترابطية للأعداد الكلية لا تنطبق على عمليات الطرح والقسمة. ذلك لأن ترتيب الأرقام مهم في هذه العمليات. على سبيل المثال، 2 و 3 و 4 أعداد صحيح، لكن  2 – (3-4) = 2 – (-1) = 3 و (2-3) – 4 = – 1-4 = -5. إذن، 3 -5. وينطبق الشيء نفسه على عملية القسمة حيث  8 ÷ (4 ÷ 2) ≠ (8 ÷ 4) ÷ 2.

خاصية تبادلية للأعداد الكلية

تنص الخاصية التبادلية للأعداد الكلية على أن “مجموع وحاصل ضرب عددين كاملين يظلان كما هو حتى بعد تبديل ترتيب الأرقام”. إنها نفس الخاصية الترابطية، والفرق الوحيد هو أننا نتحدث فقط عن عددين كاملين.

مثال 1:

1: 2+3 = 3+2

لأن:

2+3 = 5

3+2 = 5

مثال 2:

2×3 = 3×2

لأن:

2×3 = 6

3×2 = 6

وبالتالي فإن مجموعة الأعداد الصحيحة، W هي تبادلية تحت الجمع والضرب. يتم تحديد الخاصية التبادلية لـ W على النحو التالي:

For all a,b∈W, a+b=b+a and a×b=b×a.

لا تعتبر الخاصية التبادلية للأعداد الكلية صحيحة تحت الطرح والقسمة.

خاصية التوزيع للأعداد الكلية  

الخاصية التوزيعية للضرب على الجمع هي a×(b+c)=a×b+a×

مثال 1:

3×(2+5) = 3×2+3×5

لان:

3×(2+5) = 3×7 = 21

3×2+3×5 = 6+15 = 21

الخاصية التوزيعية للضرب على الطرح هي:

 a×(b−c)=a×b−a×c

مثال 2:

3×(5−2) = 3×5−3×2

مثل:

3×(5−2) = 3×3 = 9

3×5-3×2 = 15-6 = 9

في الختام، دعونا نلقي نظرة على مخطط خصائص الأعداد الصحيحة الواردة أدناه لفهم الخاصية التي تنطبق على أي عملية.

اسأل نفسك:

هل W مغلق تحت الطرح والقسمة؟
هل W النقابي تحت الطرح والقسمة؟
وهل تبادلي تحت الطرح والقسمة؟

أسئلة اصعب حول خصائص الأعداد الصحيحة:

  • أوجد حاصل الضرب باستخدام خاصية التوزيع: 28 × 75.
  • في أي من العمليات تكون مجموعة الأعداد الصحيحة تبادلية؟
منشور ذات صلة

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة