المذبذب التوافقي| Harmonic oscillator

المذبذب التوافقي

في الميكانيكا الكلاسيكية، المذبذب التوافقي هو نظام، عند إزاحته من موضع توازنه، يواجه قوة استعادة F تتناسب مع الإزاحة x:

    \[ { {\vec {F}}=-k{\vec {x}},} \]

حيث k ثابت موجب.

إذا كانت F هي القوة الوحيدة التي تعمل على النظام، فإن النظام يسمى مذبذب توافقي بسيط، ويخضع لحركة توافقية بسيطة: تذبذبات جيبية حول نقطة التوازن، ذات سعة ثابتة وتردد ثابت (الذي لا يعتمد على السعة ).

إذا كانت هناك أيضًا قوة احتكاك (تخميد) تتناسب مع السرعة، فإن المذبذب التوافقي يوصف بأنه مذبذب مخمد. اعتمادًا على معامل الاحتكاك، يمكن للنظام:

  • تتأرجح بتردد أقل من الحالة غير المخمد، وتتناقص السعة بمرور الوقت (مذبذب ناقص التخميد).
  • تسوس إلى وضع التوازن، بدون تذبذبات (مذبذب مفرط التخميد).

يحدث الحل الحدودي بين مذبذب ناقص التخميد ومذبذب مفرط التخميد عند قيمة معينة لمعامل الاحتكاك ويسمى مخمدًا بشكل حاسم. في حالة وجود قوة خارجية تعتمد على الوقت، يتم وصف المذبذب التوافقي بأنه مذبذب مدفوع.

تشمل الأمثلة الميكانيكية البندولات (بزوايا إزاحة صغيرة) والكتل المتصلة بالينابيع والأنظمة الصوتية. تشمل الأنظمة المماثلة الأخرى المذبذبات الكهربائية التوافقية مثل دوائر RLC. يعتبر نموذج المذبذب التوافقي مهمًا جدًا في الفيزياء، لأن أي كتلة تخضع لقوة في توازن مستقر تعمل كمذبذب توافقي للاهتزازات الصغيرة. تحدث المذبذبات التوافقية على نطاق واسع في الطبيعة ويتم استغلالها في العديد من الأجهزة التي يصنعها الإنسان، مثل الساعات ودوائر الراديو. هم مصدر كل الاهتزازات والموجات الجيبية تقريبًا.

للمزيد اقرأ: الأساسيات في الميكانيكا التحليلية| مع تقديم أهم مصادر

مذبذب توافقي بسيط

المذبذب التوافقي
Gif: مذبذب متناسق كتلة

المذبذب التوافقي
Gif: حركة توافقية بسيطة

المذبذب التوافقي البسيط هو مذبذب غير مدفوع ولا مخمد. يتكون من كتلة m، والتي تواجه قوة واحدة F، والتي تسحب الكتلة في اتجاه النقطة x = 0 وتعتمد فقط على الموضع x للكتلة وثابت k. ميزان القوى (قانون نيوتن الثاني) للنظام هو:

    \[ F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}=-kx. \]

لحل هذه المعادلة التفاضلية، نجد أن الحركة موصوفة بالدالة:

    \[ { x(t)=A\cos(\omega t+\varphi ),} \]

أين:

    \[ { \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.} \]

تكون الحركة دورية، وتكرر نفسها بطريقة جيبية ذات سعة ثابتة A. بالإضافة إلى السعة، تتميز حركة مذبذب توافقي بسيط بفترة T=2π/ω، أو وقت التذبذب الفردي أو تردده f = 1/t عدد الدورات لكل وحدة زمنية. يعتمد الموضع في وقت معين t أيضًا على المرحلة φ ، والتي تحدد نقطة البداية على الموجة الجيبية. يتم تحديد الفترة والتردد من خلال حجم الكتلة m وثابت القوة k، بينما يتم تحديد السعة والمرحلة من خلال موضع البداية والسرعة.

تتأرجح سرعة وتسارع مذبذب توافقي بسيط مع نفس تردد الموضع، ولكن مع أطوار متغيرة. السرعة القصوى للإزاحة الصفرية، بينما العجلة في الاتجاه المعاكس للإزاحة.

الطاقة الكامنة المخزنة في مذبذب توافقي بسيط في الموضع x هي

    \[ { U={\frac {1}{2}}kx^{2}.} \]

مذبذب توافقي مخفف

مذبذب توافقي مخفف
اعتماد سلوك النظام على قيمة نسبة التخميد ζ.

في المذبذبات الحقيقية، يؤدي الاحتكاك أو التخميد إلى إبطاء حركة النظام. بسبب قوة الاحتكاك، تقل السرعة بما يتناسب مع قوة الاحتكاك المؤثرة. بينما في المذبذب التوافقي البسيط غير الدافع، تكون القوة الوحيدة المؤثرة على الكتلة هي قوة الاستعادة، في المذبذب التوافقي المخفف توجد بالإضافة إلى ذلك قوة احتكاكية تكون دائمًا في اتجاه معارضة الحركة. في العديد من أنظمة الاهتزاز، يمكن نمذجة قوة الاحتكاك Ff على أنها متناسبة مع السرعة v للجسم: Ff = −cv، حيث يُطلق على c معامل التخميد اللزج.

توازن القوى (قانون نيوتن الثاني) لمذبذبات التوافقي المخمد هو :

    \[ { F=-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},} \]

والتي يمكن إعادة كتابتها بشكل

    \[ { {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x=0,} \]

أين:

يُطلق على

    \[ { \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}} \]

اسم “التردد الزاوي غير المخمد للمذبذب”،

يُطلق على

    \[ { \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}} \]

“نسبة التخميد”.

استجابة خطوة لمذبذب توافقي مخمد؛ يتم رسم المنحنيات لثلاث قيم μ = ω1 = ω0√1 – ζ2 . الوقت بوحدات وقت الاضمحلال τ = 1 / (ζω0) .

قيمة نسبة التخميد ζ تحدد بشكل حاسم سلوك النظام. يمكن أن يكون المذبذب التوافقي المخمد:

  • مفرط التخميد  (ζ> 1): يعود النظام (يتحلل أسيًا) إلى حالة ثابتة دون التذبذب. القيم الأكبر لنسبة التخميد ζ تعود إلى التوازن ببطء أكثر.
  • مخمد بشكل حاسم  (ζ = 1) :يعود النظام إلى حالة الثبات بأسرع ما يمكن دون التذبذب (على الرغم من أنه يمكن أن يحدث التجاوز إذا كانت السرعة الأولية غير صفرية). غالبًا ما يكون هذا مطلوبًا لتخميد الأنظمة مثل الأبواب.
  • منخفض التخميد  (ζ <1) : يتأرجح النظام (بتردد مختلف قليلاً عن الحالة غير المثبطة) مع تناقص السعة تدريجياً إلى الصفر. يتم إعطاء التردد الزاوي للمذبذب التوافقي ناقص التخميد بواسطة

        \[ {\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},} \]

    ، يتم إعطاء الانحلال الأسي للمذبذب التوافقي المنخفض التخميد بواسطة

        \[ \lambda =\omega _{0}\zeta . \]

    .

يتم تعريف عامل Q للمذبذب المخمد على النحو التالي:

    \[ { Q=2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy lost per cycle}}}.} \]

يرتبط Q بنسبة التخميد بالمعادلة Q=1/2ζ.

مذبذبات توافقية مدفوعة

المذبذبات التوافقية المدفوعة هي مذبذبات مخمدات تتأثر بشكل أكبر بالقوة المطبقة خارجيًا F(t).

يأخذ قانون نيوتن الثاني الشكل

    \[ {\ F(t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.} \]

عادة ما يتم إعادة كتابته بشكل

    \[ {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F(t)}{m}}. \]

يمكن حل هذه المعادلة تمامًا لأي قوة دافعة، باستخدام الحلول z(t) التي تفي بالمعادلة غير القسرية:

    \[ {\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}z=0, \]

،

والتي يمكن التعبير عنها على أنها تذبذبات جيبية مبللة:

    \[ { z(t)=A\mathrm {e} ^{-\zeta \omega _{0}t}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right),} \]

في الحالة التي يكون فيها ζ ≤ 1 . يحدد السعة A والطور السلوك المطلوب لمطابقة الظروف الأولية.

إدخال الخطوة

في الحالة ζ <1 وإدخال خطوة الوحدة مع x(0) = 0:

    \[ { {\frac {F(t)}{m}}={\begin{cases}\omega _{0}^{2}&t\geq 0\\0&t<0\end{cases}}} \]

الحل هو:

    \[ { x(t)=1-\mathrm {e} ^{-\zeta \omega _{0}t}{\frac {\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right)}{\sin(\varphi )}},} \]

مع المرحلة φ التي قدمها:

    \[ { \cos \varphi =\zeta .} \]

الوقت الذي يحتاجه المذبذب للتكيف مع الظروف الخارجية المتغيرة هو بالترتيب  τ = 1/(ζω0) . في الفيزياء، يسمى التكيف بالاسترخاء، و يسمى وقت الاسترخاء (relaxation time).

في الهندسة الكهربائية، يُطلق على مضاعف وقت الاستقرار، أي الوقت اللازم لضمان أن تكون الإشارة ضمن خروج ثابت من القيمة النهائية، عادةً في حدود 10٪. يشير مصطلح التجاوز إلى المدى الذي يتجاوز فيه الحد الأقصى للاستجابة القيمة النهائية، ويشير العجز عن الهدف إلى المدى الذي تقل فيه الاستجابة عن القيمة النهائية للأوقات التي تلي الحد الأقصى للاستجابة.

القوة الدافعة الجيبية

تغير ثابت في السعة ζ مع التردد النسبي ω/ω0 لمذبذب توافقي بسيط مدفوع. تسمى هذه المؤامرة أيضًا طيف التذبذب التوافقي أو الطيف الحركي.

في حالة وجود قوة دافعة جيبية:

    \[ {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {1}{m}}F_{0}\sin(\omega t), \]

،

حيث F0 هي سعة القيادة، و ω هي تردد القيادة لآلية القيادة الجيبية. يظهر هذا النوع من النظام في دارات RLC مدفوعة بالتيار المتردد (resistor–inductor–capacitor) وأنظمة زنبركية مدفوعة ذات مقاومة ميكانيكية داخلية أو مقاومة خارجية للهواء.

الحل العام هو مجموع الحل العابر الذي يعتمد على الظروف الأولية، وحالة ثابتة مستقلة عن الظروف الأولية وتعتمد فقط على سعة القيادة F0 وتردد القيادة ω والتردد الزاوي غير المخمد ω0 ونسبة التخميد ζ.

يتناسب حل الحالة المستقرة مع القوة الدافعة مع تغيير الطور المستحث φ:

    \[ { x(t)={\frac {F_{0}}{mZ_{m}\omega }}\sin(\omega t+\varphi ),} \]

أين

    \[ { Z_{m}={\sqrt {\left(2\omega _{0}\zeta \right)^{2}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}} \]

هي القيمة المطلقة لدالة المعاوقة أو الاستجابة الخطية، و:

    \[ { \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi } \]

هي مرحلة التذبذب بالنسبة للقوة الدافعة. عادةً ما يتم أخذ قيمة المرحلة بين -180 درجة و 0 (أي أنها تمثل تأخرًا في المرحلة، لكل من القيم الموجبة والسالبة لوسيطة arctan).

بالنسبة لتردد قيادة معين يسمى الرنين (resonance)، أو تردد الرنين (resonant frequency)

    \[ {\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}} \]

، فإن السعة (بالنسبة إلى F0 معينة) هي الحد الأقصى. يحدث تأثير الرنين هذا فقط عندما يكون

    \[ { \zeta <1/{\sqrt {2}}} \]

، أي للأنظمة منخفضة التخميد بشكل كبير. بالنسبة للأنظمة منخفضة التخميد بشدة، يمكن أن تصبح قيمة السعة تمامًا كبير بالقرب من تردد الرنين.

الحلول العابرة هي نفسها المذبذب التوافقي المخمد غير القسري F0 وتمثل استجابة الأنظمة للأحداث الأخرى التي حدثت سابقًا. عادة ما تموت الحلول العابرة بسرعة كافية بحيث يمكن تجاهلها.

المذبذبات البارامترية

المذبذب البارامترى (parametric oscillator هو مذبذب توافقي مدفوع يتم فيه توفير طاقة القيادة عن طريق تغيير معلمات المذبذب، مثل التخميد أو قوة الاستعادة. مثال مألوف للتذبذب البارامترى هو “الضخ او pumping” على أرجوحة الملعب. يمكن لأي شخص على أرجوحة متحركة زيادة سعة اهتزازات التأرجح بدون أي قوة دفع خارجية (pushes) يتم تطبيقها، عن طريق تغيير لحظة القصور الذاتي للأرجوحة عن طريق التأرجح للخلف وللأمام أو الوقوف والجلوس بالتناوب، بتناغم مع اهتزازات الأرجوحة. تغيير المعلمات يقود النظام. ومن الأمثلة على المعلمات التي يمكن أن تتنوع تردد الرنين ω والتخميد B.

تستخدم المذبذبات البارامترية في العديد من التطبيقات. يتأرجح المذبذب البارامترى المتغير الكلاسيكي عندما تتغير سعة الصمام الثنائي بشكل دوري. الدائرة التي تغير سعة الصمام الثنائي تسمى “المضخة، pump” أو “المحرك، driver”. في إلكترونيات الميكروويف، تعمل المذبذبات البارامترية القائمة على الدليل الموجة/YAG بنفس الطريقة. يغير المصمم معلمة بشكل دوري للحث على التذبذبات.

تم تطوير المذبذبات البارامترية كمضخمات منخفضة الضوضاء، خاصة في نطاق ترددات الراديو والميكروويف. الضجيج الحراري ضئيل، لأن التفاعل (وليس المقاومة) متنوع. استخدام شائع آخر هو تحويل التردد، على سبيل المثال، التحويل من الصوت إلى ترددات الراديو. على سبيل المثال، المذبذب البارامترى البصري يحول موجة الليزر المدخلة إلى موجتين من موجات الإخراج ذات التردد المنخفض (ωs، ωi).

يحدث الرنين البارامترية في نظام ميكانيكي عندما يكون النظام متحمسًا حدوديًا ويتأرجح عند أحد تردداته الرنانة. يختلف الإثارة البارامترية عن التأثير، حيث يظهر الإجراء كتعديل متغير بمرور الوقت على معلمة النظام. يختلف هذا التأثير عن الرنين العادي لأنه يُظهر ظاهرة عدم الاستقرار.

تطبيق لقوة محافظة

تحدث مشكلة المذبذب التوافقي البسيط بشكل متكرر في الفيزياء، لأن الكتلة عند التوازن تحت تأثير أي قوة محافظة، في حدود الحركات الصغيرة، تتصرف كمذبذب توافقي بسيط.

القوة المحافظة هي القوة المرتبطة بالطاقة الكامنة. دالة الطاقة الكامنة للمذبذب التوافقي هي:

    \[ { V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}.} \]

بالنظر إلى دالة طاقة كامنة عشوائية V(x)، يمكن للمرء أن يقوم بتوسيع تايلور من حيث x حول الحد الأدنى من الطاقة (x=x0) لنمذجة سلوك الاضطرابات الصغيرة من التوازن.

    \[ { V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V^{(2)}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.} \]

نظرًا لأن V(x0)هي الحد الأدنى، فإن أول مشتق تم تقييمه عند x0  يجب أن يكون صفرً، لذا فإن المصطلح الخطي يستبعد:

    \[ { V(x)=V(x_{0})+{\frac {1}{2}}V^{(2)}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.} \]

المصطلح الثابت V(x0) تعسفي وبالتالي يمكن إسقاطه، ويسمح التحويل الإحداثي باسترداد شكل المذبذب التوافقي البسيط:

    \[ { V(x)\approx {\frac {1}{2}}V^{(2)}(0)\cdot x^{2}={\frac {1}{2}}kx^{2}.} \]

وبالتالي، بالنظر إلى دالة طاقة محتملة تعسفية V(x) مع مشتق ثانٍ غير متلاشي، يمكن للمرء استخدام حل المذبذب التوافقي البسيط لتوفير حل تقريبي للاضطرابات الصغيرة حول نقطة التوازن.

أمثلة

البندول بسيط

بندول بسيط يعرض تقريبًا حركة توافقية بسيطة في ظل ظروف عدم التخميد والسعة الصغيرة.

بافتراض عدم وجود تخميد، فإن المعادلة التفاضلية التي تحكم بندولًا بسيطًا للطول I، حيث g هو تسارع الجاذبية المحلي (acceleration of gravity)، هو

    \[ { {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0.} \]

إذا كانت الإزاحة القصوى للبندول صغيرة، فيمكننا استخدام التقريب θ≈θ وبدلاً من ذلك ننظر في المعادلة

    \[ { {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0.} \]

الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية هو:

    \[ { \theta (t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\varphi \right),} \]

حيث A و φ ثوابت تعتمد على الشروط الأولية. باستخدام الشرطين الأوليين

    \[ { {\dot {\theta }}(0)=0} \]

و

    \[ { \theta (0)=\theta _{0}} \]

يتم إعطاء الحل بواسطة:

    \[ { \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t\right),} \]

حيث θ0 هي أكبر زاوية يصل إليها البندول (أي، θ0 هي سعة البندول). الفترة الزمنية للتذبذب الكامل يتم تحديدها من خلال التعبير:

    \[ { \tau =2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}={\frac {2\pi }{\omega }},} \]

،

وهو تقدير تقريبي جيد للفترة الفعلية عندما يكون θ0 صغيرًا. لاحظ أنه في هذا التقريب، تكون الفترة τ مستقلة عن السعة θ0. في المعادلة أعلاه، يمثل ω التردد الزاوي.

نظام الربيع / الكتلة

نظام الربيع والكتلة في حالة اتزان (A)، مضغوط (B) وممدود (C).

عندما يتم شد الربيع أو ضغطه بواسطة كتلة، يطور الربيع قوة الاستعادة. يعطي قانون هوك العلاقة بين القوة التي يمارسها الزنبرك عند ضغط الزنبرك أو شده بطول معين:

    \[ {i F(t)=-kx(t),} \]

حيث F هي القوة، k هو ثابت الزنبرك، و x هو إزاحة الكتلة فيما يتعلق بموضع التوازن. تشير علامة الطرح في المعادلة إلى أن القوة التي يمارسها الزنبرك تعمل دائمًا في اتجاه معاكس للإزاحة (أي تعمل القوة دائمًا نحو موضع الصفر)، وبالتالي تمنع الكتلة من الطيران إلى اللانهاية.

باستخدام إما توازن القوة أو طريقة الطاقة، يمكن بسهولة إثبات أن حركة هذا النظام تعطى بالمعادلة التفاضلية التالية:

    \[ { F(t)=-kx(t)=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=ma,} \]

هذا الأخير هو قانون نيوتن الثاني للحركة.

إذا كانت الإزاحة الابتدائية A، ولا توجد سرعة ابتدائية، فإن حل هذه المعادلة يُعطى بالصيغة التالية:

    \[ { x(t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).} \]

إذا كان الربيع مثاليًا عديم الكتلة، فإن m هي الكتلة الموجودة في نهاية الربيع. إذا كان الربيع نفسه له كتلة، فيجب تضمين كتلته الفعالة في m.

تباين الطاقة في نظام التخميد الربيعي

من حيث الطاقة، تحتوي جميع الأنظمة على نوعين من الطاقة: الطاقة الكامنة والطاقة الحركية. عندما يتم شد أو ضغط زنبرك، فإنه يخزن طاقة وضع مرنة، والتي يتم تحويلها بعد ذلك إلى طاقة حركية. يتم تحديد الطاقة الكامنة داخل الزنبرك بواسطة المعادلة U=1/2kx2.

عندما يتم شد أو ضغط الربيع، يتم تحويل الطاقة الحركية للكتلة إلى طاقة كامنة للزنبرك. من خلال الحفاظ على الطاقة، بافتراض أن الإسناد محدد في وضع التوازن، عندما يصل الربيع إلى أقصى طاقته الكامنة، فإن الطاقة الحركية للكتلة تساوي صفرًا. عندما يتحرر الربيع، فإنه يحاول العودة إلى التوازن وتتحول كل طاقته الكامنة إلى طاقة حركية للكتلة.

منشور ذات صلة
آلة بسيطة 15 Minutes

الآلة البسيطة

عاطفة عكرش

إذا كانت الآلة البسيطة لا تبدد الطاقة من خلال الاحتكاك أو التآكل أو التشوه، فسيتم الحفاظ على الطاقة ويطلق عليها اسم آلة بسيطة مثالية. في هذه الحالة، الطاقة في الآلة تساوي انقطاع التيار الكهربائي، ويمكن حساب الميزة الميكانيكية من أبعادها الهندسية.

السدیم 15 Minutes

السديم| Nebula

عاطفة عكرش

كلمة سديم مشتقة من كلمة سحابة لاتينية وتشير إلى سحب ضخمة من الغبار والهيدروجين وغاز الهليوم والبلازما. غالبًا ما يُشار إلى السديم باسم حضانة النجوم، مسقط رأس النجوم، ولقرون، غالبًا ما يتم الخلط بين المجرات البعيدة وبين هذه السحب الضخمة.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة