التذبذب أو التواتر هو التباين المتكرر، عادةً بمرور الوقت، لبعض المقاييس حول قيمة مركزية (غالبًا نقطة توازن) أو بين حالتين مختلفتين أو أكثر. يستخدم مصطلح الاهتزاز بدقة لوصف التذبذب الميكانيكي. تشمل الأمثلة المألوفة للتذبذب البندول المتأرجح والتيار المتردد.

التذبذب
نظام كتلة الربيع غير المخمد هو نظام تذبذب.

تحدث التذبذبات ليس فقط في الأنظمة الميكانيكية ولكن أيضًا في الأنظمة الديناميكية في كل مجال من مجالات العلوم تقريبًا: على سبيل المثال، ضربات قلب الإنسان (للتداول)، ودورات الأعمال في الاقتصاد، ودورات أعداد الحيوانات المفترسة والفريسة في البيئة، والسخانات الحرارية الأرضية في الجيولوجيا، اهتزاز الأوتار في الجيتار والآلات الوترية الأخرى، والإطلاق الدوري للخلايا العصبية في الدماغ، والتورم الدوري للنجوم المتغيرة في علم الفلك.

الحركة التوافقية البسيطة

 أبسط نظام تذبذب ميكانيكي هو الوزن المرتبط بنابض خطي يخضع للوزن والتوتر فقط. يمكن تقريب مثل هذا النظام على منضدة هوائية أو سطح جليدي. يكون النظام في حالة توازن عندما يكون الزنبرك ثابتًا. إذا تم إزاحة النظام من التوازن، فهناك قوة استعادة صافية على الكتلة، تميل إلى إعادتها إلى التوازن. ومع ذلك، عند إعادة الكتلة إلى وضع التوازن، اكتسبت زخمًا يجعلها تتحرك إلى ما بعد هذا الموضع، مما يؤدي إلى تكوين قوة استعادة جديدة بالمعنى المعاكس. إذا تمت إضافة قوة ثابتة مثل الجاذبية إلى النظام، يتم إزاحة نقطة التوازن. غالبًا ما يشار إلى الوقت المستغرق لحدوث التذبذب على أنه فترة التذبذب.

الأنظمة التي تكون فيها قوة الاستعادة على الجسم تتناسب طرديًا مع إزاحته، مثل ديناميكيات نظام الكتلة الزنبركية، يتم وصفها رياضيًا بواسطة المذبذب التوافقي البسيط وتُعرف الحركة الدورية المنتظمة باسم الحركة التوافقية البسيطة. في نظام الكتلة الزنبركية، تحدث التذبذبات لأنه عند إزاحة التوازن الثابت، تمتلك الكتلة طاقة حركية يتم تحويلها إلى طاقة كامنة مخزنة في الربيع عند أقصى مسارها. يوضح نظام كتلة الربيع بعض السمات المشتركة للتذبذب، أي وجود توازن ووجود قوة استعادة تزداد قوة كلما زاد انحراف النظام عن التوازن.

التذبذبات المخففة والمدفوعة

جميع أنظمة مذبذب العالم الحقيقي لا رجوع فيها من الناحية الديناميكية الحرارية. هذا يعني أن هناك عمليات تبديد مثل الاحتكاك أو المقاومة الكهربائية التي تحول باستمرار بعض الطاقة المخزنة في المذبذب إلى حرارة في البيئة. وهذا ما يسمى التخميد. وبالتالي، تميل التذبذبات إلى الانحلال بمرور الوقت ما لم يكن هناك مصدر صافٍ للطاقة في النظام. يمكن توضيح أبسط وصف لعملية الاضمحلال هذه من خلال اضمحلال التذبذب للمذبذب التوافقي.

بالإضافة إلى ذلك، قد يخضع النظام المتذبذب لبعض القوة الخارجية، كما هو الحال عندما تكون دائرة التيار المتردد متصلة بمصدر طاقة خارجي. في هذه الحالة، يُقال أن التذبذب مدفوع.

يمكن إثارة بعض الأنظمة عن طريق نقل الطاقة من البيئة. يحدث هذا النقل عادةً عندما تكون الأنظمة مضمنة في بعض تدفق السوائل. على سبيل المثال، تحدث ظاهرة الرفرفة في الديناميكا الهوائية عندما تؤدي إزاحة صغيرة عشوائية لجناح الطائرة (من توازنها) إلى زيادة زاوية هجوم الجناح على تدفق الهواء وزيادة لاحقة في معامل الرفع، مما يؤدي إلى إزاحة أكبر. في حالات النزوح الكبيرة بما فيه الكفاية، تهيمن صلابة الجناح لتوفير قوة الاستعادة التي تتيح التذبذب.

تقارن الذبذبات

التذبذب
بندولان لهما نفس الفترة مثبتان على سلسلة يعملان كزوج من المذبذبات المقترنة. يتناوب التذبذب بين الاثنين.

الإعداد التجريبي لمزامنة Huygens لساعتين.

يتمتع المذبذب التوافقي والأنظمة التي يمثلها بدرجة واحدة من الحرية. تتمتع الأنظمة الأكثر تعقيدًا بدرجات أكبر من الحرية، على سبيل المثال، كتلتان وثلاثة نوابض (يتم ربط كل كتلة بنقاط ثابتة ومع بعضها البعض). في مثل هذه الحالات، يؤثر سلوك كل متغير على سلوك الآخرين. هذا يؤدي إلى اقتران تذبذبات درجات الحرية الفردية. على سبيل المثال، تميل ساعتان بندولتان (بتردد مماثل) مثبتتان على جدار مشترك إلى المزامنة. لوحظ هذه الظاهرة لأول مرة من قبل كريستيان هويجنز في عام 1665. عادةً ما تبدو الحركات الواضحة للتذبذبات المركبة معقدة للغاية ولكن يتم تقديم وصف أكثر اقتصادية وأبسط من الناحية الحسابية وأعمق من الناحية المفاهيمية عن طريق حل الحركة إلى أوضاع عادية.

أكثر الحالات الخاصة هي المذبذبات المقترنة حيث تتناوب الطاقة بين شكلين من أشكال التذبذب.

من المعروف جيدًا بندول ويلبرفورس، حيث يتناوب التذبذب بين استطالة الزنبرك العمودي ودوران الجسم في نهاية ذلك الربيع.

تعتبر المذبذبات المقترنة وصفًا شائعًا لظاهرتين مترابطتين ولكنهما مختلفتين. إحدى الحالات هي حيث تؤثر كلا التذبذبات على بعضها البعض بشكل متبادل، مما يؤدي عادةً إلى حدوث حالة تذبذب مفردة متأصلة، حيث يتأرجح كلاهما بتردد حل وسط. حالة أخرى حيث يؤثر التذبذب الخارجي على التذبذب الداخلي، لكنه لا يتأثر بذلك. في هذه الحالة، يمكن أن تؤدي مناطق التزامن، المعروفة باسم Arnold Tongues، إلى ظواهر معقدة للغاية مثل الديناميات الفوضوية على سبيل المثال.

أنظمة مستمرة – موجات

عندما يصبح عدد درجات الحرية كبيرًا بشكل تعسفي، يقترب النظام من الاستمرارية؛ تشمل الأمثلة خيطًا أو سطح جسم مائي. تحتوي هذه الأنظمة (في الحد الكلاسيكي) على عدد لا حصر له من الأنماط العادية وتحدث اهتزازاتها في شكل موجات يمكن أن تنتشر بشكل مميز.

الرياضيات

التذبذب
تذبذب التسلسل (يظهر باللون الأزرق) هو الفرق بين الحد الأعلى والحد الأدنى من التسلسل.

تتعامل رياضيات التذبذب مع القياس الكمي للمقدار الذي يميل التسلسل أو الدالة إلى التحرك بين الطرفين. هناك العديد من المفاهيم ذات الصلة: تذبذب سلسلة من الأرقام الحقيقية، وتذبذب دالة ذات قيمة حقيقية عند نقطة، وتذبذب دالة على فترة (أو مجموعة مفتوحة).

أمثلة

بندول مزدوج

في الفيزياء والرياضيات، في مجال الأنظمة الديناميكية، يعتبر البندول المزدوج بندولًا مع بندول آخر مرتبط بنهايته، وهو نظام فيزيائي بسيط يُظهر سلوكًا ديناميكيًا غنيًا مع حساسية قوية للظروف الأولية. حركة البندول المزدوج تحكمها مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية المقترنة وهي فوضوية.

التذبذب
بندول مزدوج يتكون من بندولين متصلين من طرف إلى طرف.

التحليل والتفسير

يمكن النظر في العديد من المتغيرات للبندول المزدوج؛ قد يكون الطرفان من أطوال وكتلات متساوية أو غير متساوية، وقد يكونان بندولات بسيطة أو بندولات مركبة (تسمى أيضًا البندولات المعقدة) وقد تكون الحركة في ثلاثة أبعاد أو مقتصرة على المستوى العمودي. في التحليل التالي، تم أخذ الأطراف على أنها بندولان مركبان متطابقان بطول l وكتلة m، وتقتصر الحركة على بعدين.

التذبذب
بندول مركب مزدوج.
حركة البندول المركب المزدوج (من التكامل العددي لمعادلات الحركة).

مسارات بندول مزدوج.

في البندول المركب، تتوزع الكتلة بطولها. إذا كانت الكتلة موزعة بالتساوي، فإن مركز كتلة كل طرف يكون في منتصفه، ويكون للطرف لحظة من القصور الذاتي L = 1/12ml2 حول تلك النقطة.

من الملائم استخدام الزوايا بين كل طرف والعمودي مثل الإحداثيات المعممة التي تحدد تكوين النظام. يتم الإشارة إلى هذه الزوايا 1 و 2. يمكن كتابة موضع مركز الكتلة لكل قضيب بدلالة هذين الإحداثيين. إذا تم أخذ أصل نظام الإحداثيات الديكارتية على أنه نقطة تعليق البندول الأول، فسيكون مركز كتلة هذا البندول عند:

    \[ { {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}} \]

ومركز كتلة البندول الثاني في:

    \[ { {\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}} \]

هذه معلومات كافية لكتابة لاغرانج.

ميكانيكا لاغرانج

ميكانيكا لاجرانج (بالإنجليزية: Lagrangian mechanics)‏ هو:

 

    \[ {\displaystyle {\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}} \]

المصطلح الأول هو الطاقة الحركية الخطية لمركز كتلة الأجسام والمصطلح الثاني هو الطاقة الحركية الدورانية حول مركز الكتلة لكل قضيب. المصطلح الأخير هو الطاقة الكامنة للأجسام في مجال الجاذبية المنتظم. يشير تدوين النقطة إلى المشتق الزمني للمتغير المعني.

يؤدي استبدال الإحداثيات أعلاه وإعادة ترتيب المعادلة إلى:

    \[ { L={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).} \]

لا يوجد سوى كمية واحدة محفوظة (الطاقة)، ولا توجد قوة محفوظة. يمكن كتابة العزمتين المعممتين على النحو التالي:

    \[ {\displaystyle {\begin{aligned}p_{\theta _{1}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)\\p_{\theta _{2}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right).\end{aligned}}} \]

يمكن عكس هذه التعبيرات للحصول على:

    \[ {\displaystyle {\begin{aligned}{{\dot {\theta }}_{1}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\{{\dot {\theta }}_{2}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{aligned}}} \]

تتم كتابة معادلات الحركة المتبقية على النحو التالي:

    \[ {\displaystyle {\begin{aligned}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{l}}\sin \theta _{1}\right)\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left(-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{l}}\sin \theta _{2}\right).\end{aligned}}} \]

هذه المعادلات الأربع الأخيرة هي صيغ واضحة للتطور الزمني للنظام بالنظر إلى حالته الحالية. لا يمكن المضي قدمًا ودمج هذه المعادلات في تعبير في شكل مغلق، للحصول على صيغ لـ θ1 و θ2 كدوال زمنية. ومع ذلك، من الممكن إجراء هذا التكامل عدديًا باستخدام طريقة طريقة رونج-كوتا (Runge–Kutta methods) أو تقنيات مماثلة.

حركة فوضوية

رسم لوقت تقليب البندول كدالة للظروف الأولية.
تعريض طويل للبندول المزدوج يعرض حركة فوضوية (تعقبها بمصباح LED).

يخضع البندول المزدوج لحركة فوضوية، ويظهر اعتمادًا حساسًا على الظروف الأولية. تُظهر الصورة على اليمين مقدار الوقت المنقضي قبل أن ينقلب البندول، كدالة للموضع الأولي عند تحريره في حالة السكون. هنا، تتراوح القيمة الأولية لـ 1 على طول الاتجاه x من −3.14 إلى 3.14. تتراوح القيمة الأولية θ2 على طول الاتجاه الصادي، من −3.14 إلى 3.14. يشير لون كل بكسل إلى ما إذا كان البندول ينقلب داخل:

Black:

    \[ { {\sqrt {\frac {l}{g}}}} \]

Red:

    \[ { 10{\sqrt {\frac {l}{g}}}} \]

Green:

    \[ { 100{\sqrt {\frac {l}{g}}}} \]

Blue or:

    \[ { 1000{\sqrt {\frac {l}{g}}}} \]

Purple:

    \[ { 10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}} \]

التذبذب
تتباعد ثلاثة نواسات مزدوجة بشروط أولية متطابقة تقريبًا بمرور الوقت لتظهر الطبيعة الفوضوية للنظام.

يتم رسم الشروط الأولية التي لا تؤدي إلى قلب في

    \[ { 10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}} \]

باللون الأبيض.

يتم تحديد حدود المنطقة البيضاء المركزية جزئيًا عن طريق الحفاظ على الطاقة بالمنحنى التالي:

    \[ { 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.} \]

داخل المنطقة المحددة بواسطة هذا المنحنى، هذا إذا:

    \[ { 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,} \]

ومن ثم فمن المستحيل بقوة أن يقلب البندولان. خارج هذه المنطقة، يمكن أن ينقلب البندول، لكن تحديد متى سينقلب هو سؤال معقد. لوحظ سلوك مماثل للبندول المزدوج المكون من نقطتين بدلاً من قضيبين بكتلة موزعة.

أدى عدم وجود تردد إثارة طبيعي إلى استخدام أنظمة البندول المزدوج في تصميمات المقاومة الزلزالية في المباني، حيث يكون المبنى نفسه هو البندول الأساسي المقلوب، ويتم توصيل كتلة ثانوية لإكمال البندول المزدوج.

بندول فوكو

بندول فوكو أو رقاص فوكو (بالإنجليزية: Foucault pendulum)‏ هو جهاز بسيط سمي على اسم الفيزيائي الفرنسي ليون فوكو وتم تصميمه كتجربة لإثبات دوران الأرض. تم إدخال البندول في عام 1851 وكان أول تجربة تقدم دليلًا بسيطًا ومباشرًا على دوران الأرض. نواسات فوكو اليوم هي عروض شعبية في متاحف العلوم والجامعات.

بندول فوكو الأصلي

طباعة لبندول فوكو، ١٨٩٥.

أقيم المعرض العام الأول لبندول فوكو في فبراير 1851 في ميريديان بمرصد باريس. بعد بضعة أسابيع، صنع فوكو البندول الأكثر شهرة عندما علق بوبًا رصاصيًا يبلغ وزنه 28 كيلوجرامًا (62 رطلاً) بسلك طوله 67 مترًا (220 قدمًا) من قبة بانثيون في باريس. كانت الفترة الصحيحة للبندول حوالي

    \[ { 2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\approx 16.5} \]

ثانية. نظرًا لأن خط عرض موقعه كان

    \[  { \phi \,} \]

، فإن مستوى أرجوحة البندول قام بدائرة كاملة في حوالي

    \[  { {\frac {23h56'}{\sin \phi }}}{\frac  {23h56'}{\sin \phi }} ≈ 31.8 \]

ساعة (31 ساعة و 50 دقيقة)، بالتناوب في اتجاه عقارب الساعة تقريبًا 11.3 درجة لكل ساعة.

تم نقل البوب ​​الأصلي المستخدم في عام 1851 في بانثيون في عام 1855 إلى Conservatoire des Arts et Métiers في باريس. تم إجراء تثبيت مؤقت ثانٍ للاحتفال بالذكرى الخمسين في عام 1902.

أثناء إعادة بناء المتحف في التسعينيات، تم عرض البندول الأصلي مؤقتًا في بانثيون (1995)، ولكن تم إرجاعه لاحقًا إلى متحف الفنون والحرف قبل إعادة افتتاحه في عام 2000. في 6 أبريل 2010، قام الكابل بتعليق البوب ​​في انقطع Musée des Arts et Métier، مما تسبب في أضرار لا يمكن إصلاحها لبندول البندول والأرضيات الرخامية للمتحف. يتم عرض البوب ​​الأصلي الذي تعرض للتلف الآن في حالة منفصلة مجاورة لعرض البندول الحالي.

تعمل نسخة طبق الأصل من البندول الأصلي تحت قبة البانثيون في باريس منذ عام 1995.

منشور ذات صلة
الحركة 7 Minutes

أنواع الحركة

عاطفة عكرش

الحركة الانتقاليّة تُعرف بأنها انتقال الجسم من مكان لآخر، فعندما يتحرك الجسم فهو يقطع مسافة معينة خلال مدة معينة، أو هي الحركة التي ينتقل بها الجسم من نقطة إلى أخرى في الفضاء.

تسوس ألفا 7 Minutes

تسوس ألفا

عاطفة عكرش

ينتج تسوس ألفا عن قوة التنافر كولوم بين جسيم ألفا وبقية النواة، وكلاهما له شحنة كهربائية موجبة ولكن يتم التحكم فيهما أيضًا بواسطة القوة النووية.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة