الحركة التوافقية البسيطة| Simple harmonic motion

الحركة التوافقية البسيطة

في الميكانيكا والفيزياء، تعتبر الحركة التوافقية البسيطة (بالإنجليزية: Simple Harmonic Motion التي يتم اختصارها أحيانًا SHM) نوعًا خاصًا من الحركة الدورية حيث تتناسب قوة الاستعادة على الكائن المتحرك بشكل مباشر مع حجم إزاحة الكائن وتعمل تجاه موضع توازن الكائن. ينتج عنه تذبذب يستمر إلى ما لا نهاية إذا لم يعوقه الاحتكاك أو أي تبديد آخر للطاقة.

يمكن للحركة التوافقية البسيطة أن تكون بمثابة نموذج رياضي لمجموعة متنوعة من الحركات، ولكنها تتميز بتذبذب كتلة على زنبرك عندما تخضع لقوة الاستعادة الخطية المرنة المنصوص عليها في قانون هوك. تكون الحركة جيبية بمرور الوقت وتوضح تردد طنين واحد. يمكن نمذجة الظواهر الأخرى من خلال الحركة التوافقية البسيطة، بما في ذلك حركة البندول البسيط، على الرغم من أنه لكي يكون نموذجًا دقيقًا، يجب أن تكون القوة الكلية على الجسم في نهاية البندول متناسبة مع الإزاحة (وحتى مع ذلك، إنه تقريب جيد فقط عندما تكون زاوية التأرجح صغيرة؛ انظر تقريب الزاوية الصغيرة). يمكن أيضًا استخدام الحركة التوافقية البسيطة لنمذجة الاهتزاز الجزيئي أيضًا.

توفر الحركة التوافقية البسيطة أساسًا لتوصيف الحركة الدورية الأكثر تعقيدًا من خلال تقنيات تحليل فورييه.

حركة الجسيم التي تتحرك على طول خط مستقيم بعجلة يكون اتجاهها دائمًا نحو نقطة ثابتة على الخط ويكون حجمها متناسبًا مع المسافة من النقطة الثابتة تسمى الحركة التوافقية البسيطة.

الحركة التوافقية البسيطة
حركة توافقية بسيطة تظهر في كل من الفضاء الحقيقي وفضاء الطور. المدار دوري. (هنا تم عكس محوري السرعة والموضع من الاصطلاح القياسي لمحاذاة المخططين).

في الرسم البياني، يظهر مذبذب توافقي بسيط، يتكون من وزن مرتبط بأحد طرفي الزنبرك. الطرف الآخر من الزنبرك متصل بدعامة صلبة مثل جدار. إذا تُرك النظام في حالة سكون في وضع التوازن، فلا توجد قوة صافية تؤثر على الكتلة. ومع ذلك، إذا تم إزاحة الكتلة من وضع التوازن، فإن الزنبرك يمارس قوة مرنة مستعادة تخضع لقانون هوك.

رياضيا، قوة الاستعادة F تعطى من خلال:

    \[ {\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} ,} \]

حيث F هي القوة المرنة للاستعادة التي يمارسها الزنبرك (بوحدات SI  N:)، k هو ثابت الزنبرك (N·m–1)، و x هو الإزاحة من موضع التوازن (m).

لأي مذبذب توافقي ميكانيكي بسيط:

  • عندما يتم إزاحة النظام من موضع توازنه، فإن قوة الاستعادة التي تخضع لقانون هوك تميل إلى إعادة النظام إلى التوازن.

بمجرد إزاحة الكتلة من موقع توازنها، فإنها تتعرض لقوة استعادة صافية. نتيجة لذلك، تتسارع وتبدأ في العودة إلى وضع التوازن. عندما تقترب الكتلة من وضع التوازن، تنخفض قوة الاستعادة. في وضع التوازن، تختفي قوة الاستعادة الصافية. ومع ذلك، عند x = 0، يكون للكتلة زخم بسبب التسارع الذي أحدثته قوة الاستعادة. لذلك، تستمر الكتلة بعد وضع التوازن، وتضغط على الزنبرك. ثم تقوم قوة استعادة صافية بإبطائها حتى تصل سرعتها إلى الصفر، وعندها يتم تسريعها إلى وضع التوازن مرة أخرى.

طالما أن النظام ليس به فقد للطاقة، تستمر الكتلة في التأرجح. وبالتالي فإن الحركة التوافقية البسيطة هي نوع من الحركة الدورية. إذا فقدت الطاقة في النظام، فإن الكتلة تظهر تذبذبًا مخمدًا.

لاحظ أنه إذا لم يكن الفضاء الحقيقي ومخطط الفضاء الطور خطيًا، فإن حركة مساحة الطور تصبح بيضاوية الشكل. تعتمد المنطقة المغلقة على السعة وأقصى قوة دفع.

ديناميات

في ميكانيكا نيوتن، بالنسبة للحركة التوافقية البسيطة أحادية البعد، يمكن الحصول على معادلة الحركة، وهي معادلة تفاضلية خطية عادية من الدرجة الثانية مع معاملات ثابتة، عن طريق قانون نيوتن الثاني وقانون هوك للكتلة في الزنبرك.

    \[ { F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,} \]

حيث m هي الكتلة بالقصور الذاتي للجسم المتذبذب، و x هي إزاحتها من موضع التوازن (أو الوسط)، و k ثابت (ثابت الزنبرك لكتلة في زنبرك).

وبالتالي،

    \[  { {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x,}\]

ينتج عن حل المعادلة التفاضلية أعلاه حلاً هو دالة جيبية:

    \[ { x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),} \]

حيث

    \[ {\textstyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.} \]

. يمكن إيجاد معنى الثوابت c1، c2بسهولة: بضبط t = 0 على المعادلة أعلاه نرى أن x(0)=c1، بحيث أن c1 هي الموضع الأولي للجسيم، c1=x0؛ بأخذ مشتق هذه المعادلة وإيجاد القيمة عند الصفر، نحصل على

    \[ { {\dot {x}}(0)=\omega c_{2}} \]

، لذا فإن c2 هي السرعة الأولية للجسيم مقسومة على التردد الزاوي، c2=v0/ω.

هكذا نكتب:

    \[ {\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).} \]

يمكن أيضًا كتابة هذه المعادلة بالشكل:

    \[ { x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),} \]

أين:

    \[ {\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},\qquad \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}},\;\sin \varphi ={\frac {c_{2}}{A}},\;\cos \varphi ={\frac {c_{1}}{A}}} \]

أو مكافئ

    \[ {\displaystyle A=|c_{1}+c_{2}i|,\qquad \varphi =\arg(c_{1}+c_{2}i)} \]

في الحل، c1 و c2 هما ثابتان تحددهما الشروط الأولية (تحديدًا، الموضع الأولي في الوقت t = 0 هو c1، بينما السرعة الابتدائية c2ω) ويتم تعيين الأصل ليكون موضع التوازن. يحمل كل من هذه الثوابت معنى فيزيائيًا للحركة: A هو السعة (أقصى إزاحة من موضع التوازن)، ω = 2πf هو التردد الزاوي، و φ هي المرحلة الأولية.

باستخدام تقنيات حساب التفاضل والتكامل، يمكن إيجاد السرعة والتسارع كدالة للوقت:

    \[ {\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),} \]

سرعة:

    \[ {\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}} \]

السرعة القصوى: v = ωA (عند نقطة التوازن)

    \[ { a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).} \]

أقصى تسارع: Aω2  (عند النقاط القصوى)

بحكم التعريف، إذا كانت الكتلة m تحت SHM فإن تسارعها يتناسب طرديًا مع الإزاحة.

    \[ {\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.} \]

أين:

    \[ {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}} \]

منذ ω = 2πf،

    \[ {\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},} \]

وبما أن T = 1/f حيث T هي الفترة الزمنية،

    \[ {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.} \]

توضح هذه المعادلات أن الحركة التوافقية البسيطة متساوية التوقيت (الفترة والتردد مستقلان عن السعة والمرحلة الأولية للحركة).

طاقة

باستبدال ω2 بـ k m، تكون الطاقة الحركية K للنظام في الوقت t هي

    \[ {\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),} \]

.

والطاقة الكامنة هي

    \[ {\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).} \]

.

في حالة عدم وجود الاحتكاك وفقدان الطاقة الأخرى، فإن إجمالي الطاقة الميكانيكية لها قيمة ثابتة

    \[ {\displaystyle E=K+U={\tfrac {1}{2.}}kA^{2}.} \]

.

أمثلة

الحركة التوافقية البسيطة
يخضع نظام الربيع والكتلة غير المخمد لحركة توافقية بسيطة.

الأنظمة الفيزيائية التالية هي بعض الأمثلة على مذبذب توافقي بسيط.

وزن على نابض

تُظهر الكتلة m المرتبطة بنابض الثابت k حركة توافقية بسيطة في الفضاء المغلق. معادلة وصف الفترة

    \[ {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}} \]

.

يوضح أن فترة التذبذب مستقلة عن السعة، على الرغم من أن السعة يجب أن تكون صغيرة من الناحية العملية. المعادلة أعلاه صالحة أيضًا في حالة تطبيق قوة ثابتة إضافية على الكتلة، أي أن القوة الثابتة الإضافية لا يمكن أن تغير فترة التذبذب.

الحركة الدائرية المنتظمة

يمكن اعتبار الحركة التوافقية البسيطة الإسقاط أحادي البعد لحركة دائرية موحدة. إذا كان جسم يتحرك بسرعة زاوية ω حول دائرة نصف قطرها r متمركزة في أصل المستوى xy، فإن حركته على طول كل إحداثي هي حركة توافقية بسيطة مع السعة r والتردد الزاوي ω .

حركة متذبذبة

إنها حركة الجسم عندما يتحرك جيئة وذهابا حول نقطة محددة. يسمى هذا النوع من الحركة أيضًا بالحركة التذبذبية أو الحركة الاهتزازية.

كتلة بندول بسيط

Gif: حركة البندول غير المخمد تقترب من الحركة التوافقية البسيطة إذا كان التذبذب صغيرًا.

في تقريب الزاوية الصغيرة، يتم تقريب حركة البندول البسيط بحركة توافقية بسيطة. يتم الحصول على فترة الكتلة المرتبطة ببندول طوله l مع تسارع الجاذبية g بالصيغة التالية:

    \[ {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}} \]

يوضح هذا أن فترة التذبذب مستقلة عن سعة وكتلة البندول ولكنها ليست مستقلة عن التسارع بسبب الجاذبية، g، لذلك فإن البندول الذي له نفس الطول على القمر يتأرجح بشكل أبطأ بسبب انخفاض جاذبية القمر شدة المجال. نظرًا لأن قيمة g تختلف قليلاً على سطح الأرض، فإن الفترة الزمنية ستختلف قليلاً من مكان إلى آخر كما ستختلف أيضًا مع الارتفاع فوق مستوى سطح البحر.

هذا التقريب دقيق فقط للزوايا الصغيرة لأن التعبير عن التسارع الزاوي α يتناسب مع جيب زاوية الإزاحة:

    \[ {\displaystyle -mgl\sin \theta =I\alpha ,} \]

حيث I هو لحظة الجمود. عندما تكون θ صغيرة، فإن الخطيئة θ ≈ θ وبالتالي يصبح التعبير:

    \[ {\displaystyle -mgl\theta =I\alpha } \]

مما يجعل التسارع الزاوي متناسبًا طرديًا مع θ، مما يلبي تعريف الحركة التوافقية البسيطة.

Scotch yoke

يمكن استخدام آلية نير سكوتش للتحويل بين الحركة الدورانية والحركة الترددية الخطية. يمكن أن تتخذ الحركة الخطية أشكالًا مختلفة اعتمادًا على شكل الفتحة، لكن النير الأساسي مع سرعة دوران ثابتة ينتج حركة خطية متناسقة بسيطة في الشكل.

Gif: الرسوم المتحركة نير سكوتش.

للمزيد اقرأ: المذبذب التوافقي| Harmonic oscillator

منشور ذات صلة
مراحل نشأة الكون 7 Minutes

مراحل نشأة الكون

عاطفة عكرش

الإنفجار العظيم يحسب نقطة انطلاق ونشأة الكون للعديد من علماء الفيزياء. في هذه المقالة، ندرس […]

رينيه ديكارت 17 Minutes

من هو رينيه ديكارت وما هي فلسفة ديكارت؟

عاطفة عكرش

في السنوات الأخيرة من حياته، صرح ديكارت أنه كان يأمل ذات مرة في تمديد متوسط ​​العمر المتوقع إلى قرن أو أكثر، لكنه رأى لاحقًا أن الأمر سيستغرق أجيالًا من العمل لتحقيق هذا الهدف.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة