في الفيزياء والرياضيات والمجالات ذات الصلة، تعتبر الموجة اضطرابًا ديناميكيًا منتشرًا (تغييرًا من التوازن) لكمية واحدة أو أكثر، أحيانًا كما هو موضح في معادلة الموجة. في الموجات الفيزيائية، تشارك كميتان مجاليتان على الأقل في وسط الموجة. يمكن أن تكون الموجات دورية، وفي هذه الحالة تتأرجح هذه الكميات بشكل متكرر حول قيمة التوازن (السكون) عند بعض التردد. عندما يتحرك شكل الموجة بأكمله في اتجاه واحد يقال إنها موجة متنقلة؛ على النقيض من ذلك، فإن زوجًا من الموجات الدورية المتراكبة التي تتحرك في اتجاهين متعاكسين تصنع موجة ثابتة. في الموجة الواقفة، يكون لسعة الاهتزاز قيمة خالية في بعض المواضع حيث يظهر اتساع الموجة أصغر أو حتى صفر.

الموجة | Wave
موجات سطحية في الماء تظهر تموجات المياه

أنواع الموجات

أنواع الموجات الأكثر شيوعًا التي تمت دراستها في الفيزياء الكلاسيكية هي الموجات الميكانيكية والكهرومغناطيسية. في الموجة الميكانيكية، تتأرجح مجالات الإجهاد والانفعال حول توازن ميكانيكي. الموجة الميكانيكية هي تشوه موضعي (strain) في وسط مادي ينتشر من جسيم إلى جسيم عن طريق خلق ضغوط محلية تسبب إجهادًا في الجسيمات المجاورة أيضًا. على سبيل المثال، الموجات الصوتية هي اختلافات في الضغط المحلي وحركة الجسيمات التي تنتشر عبر الوسط. الأمثلة الأخرى للموجات الميكانيكية هي الموجات الزلزالية، وموجات الجاذبية، وموجات السطح، والاهتزازات الوترية (الموجات الواقفة)، والدوامات. في الموجة الكهرومغناطيسية (مثل الضوء)، اقتران بين المجالين الكهربائي والمغناطيسي الذي يحافظ على انتشار الموجة التي تتضمن هذه الحقول وفقًا لمعادلات ماكسويل. يمكن أن تنتقل الموجات الكهرومغناطيسية عبر فراغ ومن خلال بعض الوسائط العازلة (بأطوال موجية حيث تعتبر شفافة). تمتلك الموجات الكهرومغناطيسية، وفقًا لتردداتها (أو أطوالها الموجية)، تسميات أكثر تحديدًا بما في ذلك موجات الراديو والأشعة تحت الحمراء وموجات تيراهيرتز والضوء المرئي والأشعة فوق البنفسجية والأشعة السينية وأشعة جاما.

تشمل الأنواع الأخرى من الموجات موجات الجاذبية، وهي اضطرابات في الزمكان تنتشر وفقًا للنسبية العامة. موجات انتشار الحرارة؛ موجات البلازما التي تجمع بين التشوهات الميكانيكية والمجالات الكهرومغناطيسية؛ تفاعل ـ موجات انتشار، مثل تفاعل بيلؤوسوف-جابوتينسكي؛ و أكثر من ذلك بكثير.

تنقل الموجات الميكانيكية والكهرومغناطيسية الطاقة والزخم والمعلومات، لكنها لا تنقل الجزيئات في الوسط. تدرس الموجات في الرياضيات والإلكترونيات كإشارات. من ناحية أخر، تحتوي بعض الموجات على مغلفات لا تتحرك على الإطلاق مثل الموجات الواقفة (التي تعتبر أساسية للموسيقى) والقفزات الهيدروليكية. قد يكون بعضها، مثل الموجات الاحتمالية لميكانيكا الكم، ثابتًا تمامًا.

تكاد تكون الموجة الفيزيائية محصورة دائمًا في منطقة محدودة من الفضاء، تسمى مجالها. على سبيل المثال، تكون الموجات الزلزالية الناتجة عن الزلازل مهمة فقط في باطن وسطح الكوكب، لذلك يمكن تجاهلها خارجه. ومع ذلك، فإن الموجات ذات المجال اللانهائي، والتي تمتد عبر الفضاء بأكمله، يتم دراستها بشكل شائع في الرياضيات، وهي أدوات قيمة للغاية لفهم الموجات الفيزيائية في المجالات المحدودة.

الموجة المستوية هي مثال رياضي مهم حيث يكون الاضطراب متطابقًا على طول أي مستوى (لانهائي) طبيعي لاتجاه محدد للسفر. رياضيًا، أبسط موجة هي موجة مستوية جيبية حيث يختبر المجال في أي نقطة حركة توافقية بسيطة عند تردد واحد. في الوسائط الخطية، يمكن عمومًا أن تتحلل الموجات المعقدة كمجموع للعديد من الموجات المستوية الجيبية التي لها اتجاهات انتشار مختلفة و/أو ترددات مختلفة. تُصنف الموجة المستوية على أنها موجة عرضية إذا تم وصف اضطراب المجال عند كل نقطة بواسطة ناقل عمودي على اتجاه الانتشار (أيضًا اتجاه نقل الطاقة)؛ أو طولية إذا كانت هذه النواقل بالضبط في اتجاه الانتشار. تشمل الموجات الميكانيكية كلاً من الموجات المستعرضة والطولية؛ من ناحية أخرى، تكون الموجات المستوية الكهرومغناطيسية مستعرضة بدقة بينما الموجات الصوتية في السوائل (مثل الهواء) يمكن أن تكون طولية فقط. يُشار أيضًا إلى هذا الاتجاه المادي لحقل متذبذب بالنسبة لاتجاه الانتشار باسم استقطاب الموجة والذي يمكن أن يكون سمة مهمة للموجات التي لها أكثر من استقطاب واحد ممكن.

الوصف الرياضي

موجات واحدة

يمكن وصف الموجة تمامًا مثل الحقل، أي كدالة f(x, t) حيث x موضع و t وقت.

قيمة x هي نقطة من الفضاء، وتحديداً في المنطقة حيث تم تعريف الموجة. من الناحية الرياضية، عادة ما يكون متجهًا في الفضاء الديكارتي ثلاثي الأبعاد R3. ومع ذلك، في كثير من الحالات، يمكن للمرء أن يتجاهل بُعدًا واحدًا، ويجعل x نقطة في المستوى الديكارتي R2. هذا هو الحال، على سبيل المثال، عند دراسة اهتزازات جلد الأسطوانة. قد يقيد المرء x بنقطة من الخط الديكارتي R، أي مجموعة الأعداد الحقيقية. هذا هو الحال، على سبيل المثال، عند دراسة الاهتزازات في وتر الكمان أو المسجل. من ناحية أخرى، يُفترض دائمًا أن الوقت t هو عدد قياسي؛ هذا هو رقم حقيقي.

يمكن أن تكون قيمة F(x,t) أي كمية فعلية من الفائدة يتم تعيينها للنقطة x والتي قد تختلف بمرور الوقت. على سبيل المثال، إذا كانت F تمثل الاهتزازات داخل مادة صلبة مرنة، فإن قيمة F(x,t) عادة ما تكون متجهًا يعطي الإزاحة الحالية من x لجسيمات المادة التي ستكون عند النقطة x في حالة عدم وجود اهتزا. بالنسبة للموجة الكهرومغناطيسية، يمكن أن تكون قيمة F هي متجه المجال الكهربائي E، أو متجه المجال المغناطيسي H، أو أي كمية ذات صلة، مثل متجه  Poynting: H × E

في ديناميكيات الموائع، يمكن أن تكون قيمة F(x,t) متجه سرعة المائع عند النقطة x، أو أي خاصية عددية مثل الضغط أو درجة الحرارة أو الكثافة. في تفاعل كيميائي، يمكن أن يكون F(x,t) هو تركيز بعض المواد في جوار النقطة x من وسط التفاعل.

بالنسبة لأي بُعد (1 أو 2 أو 3)d، يكون مجال الموجة d مجموعة فرعية Rd، بحيث يتم تحديد قيمة الدالة F(x,t) لأي نقطة x في D. على سبيل المثال، عند وصف حركة جلد الأسطوانة، يمكن اعتبار D قرصًا (دائرة) على المستوى R2 مع المركز في الأصل (0, 0)، وترك F(x,t) هو الإزاحة الرأسية للقشرة عند النقطة x من  Dوفي الوقت t.

عائلات الموج

في بعض الأحيان يهتم المرء بموجة واحدة محددة. ومع ذلك، في كثير من الأحيان، يحتاج المرء إلى فهم مجموعة كبيرة من الموجات المحتملة؛ مثل كل الطرق التي يمكن أن يهتز بها جلد الطبلة بعد ضربه مرة واحدة بعصا طبلة، أو كل أصداء الرادار المحتملة التي يمكن أن يحصل عليها المرء من طائرة قد تقترب من المطار.

في بعض هذه المواقف، قد يصف المرء مثل هذه المجموعة من الموجات بواسطة دالة F(A, B,…, , t) التي تعتمد على معلمات معينة A, B، إلى جانب x و t. ثم يمكن للمرء الحصول على موجات مختلفة – أي دوال مختلفة لـ x و t ،عن طريق اختيار قيم مختلفة لتلك المعلمات.

Gif: الموجة الواقفة لضغط الصوت في أنبوب نصف مفتوح تلعب التوافقي السابع من الأساسي (n = 4).

على سبيل المثال، يكون ضغط الصوت داخل مسجل يقوم بتشغيل نغمة “نقيةpure، ” عادةً موجة واقفة، ويمكن كتابتها على النحو التالي:

    \[ { F(A,L,n,c;x,t)=A\left(\cos 2\pi x{\frac {2n-1}{4L}}\right)\left(\cos 2\pi ct{\frac {2n-1}{4L}}\right)} \]

تحدد المعلمة A سعة الموجة (أي أقصى ضغط صوت في التجويف المرتبط بارتفاع صوت النغمة)؛ c هي سرعة الصوت؛ L هو طول التجويف؛ و n هو عدد صحيح موجب (1،2،3،…) يحدد عدد العقد في الموجة الواقفة. (يجب قياس الموضع x من الفوهة، والوقت y من أي لحظة يكون فيها الضغط على الفوهة القصوى. الكمية

    \[ {\ \lambda =4L/(2n-1)} \]

 هي الطول الموجي للنغمة الصادرة، و

    \[ { f=c/\lambda } \]

هو ترددها.) يمكن استنتاج العديد من الخصائص العامة لهذه الموجات من هذه المعادلة العامة، دون اختيار قيم محددة للمعلمات.

وكمثال آخر، قد تكون اهتزازات جلد الأسطوانة بعد ضربة واحدة تعتمد فقط على المسافة r من مركز الجلد إلى نقطة الضربة، وعلى قوة الضربة. ثم يمكن وصف الاهتزاز لجميع الضربات الممكنة بواسطة دالة F(r، s, x، t).

في بعض الأحيان، تحتوي مجموعة موجات الاهتمام على العديد من المعلمات بشكل لا نهائي. على سبيل المثال، قد يرغب المرء في وصف ما يحدث لدرجة الحرارة في قضيب معدني عندما يتم تسخينه مبدئيًا عند درجات حرارة مختلفة عند نقاط مختلفة على طوله، ثم يُترك ليبرد من تلقاء نفسه في الفراغ. في هذه الحالة، بدلاً من الحجمي أو المتجه، يجب أن تكون المعلمة دالة h بحيث تكون h(x) هي درجة الحرارة الأولية في كل نقطة x من الشريط. ثم يمكن التعبير عن درجات الحرارة في أوقات لاحقة بواسطة دالة F تعتمد على الدالة h (أي عامل دالي)، بحيث تكون درجة الحرارة في وقت لاحق F(h, x،t).

معادلات الموجات التفاضلية

هناك طريقة أخرى لوصف ودراسة عائلة من الموجات وهي إعطاء معادلة رياضية، بدلاً من إعطاء قيمة F(x,t) صراحة، تقيد فقط كيف يمكن لهذه القيم أن تتغير بمرور الوقت. ثم تتكون مجموعة الموجات المعنية من جميع الدوال F التي تفي بهذه القيود – أي جميع حلول المعادلة.

هذا النهج مهم للغاية في الفيزياء، لأن القيود عادة ما تكون نتيجة للعمليات الفيزيائية التي تتسبب في تطور الموجة. على سبيل المثال، إذا كانت F(x،t) هي درجة الحرارة داخل كتلة من بعض المواد الصلبة المتجانسة والخواص فإن تطورها مقيد بالمعادلة التفاضلية الجزئية:

    \[ { {\frac {\partial F}{\partial t}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta Q(x,t)} \]

حيث Q(p،f) هي الحرارة التي يتم توليدها لكل وحدة حجم ووقت في المنطقة المجاورة لـ x في الوقت t (على سبيل المثال، من خلال التفاعلات الكيميائية التي تحدث هناك)؛ x1، x2، x3هي الإحداثيات الديكارتية للنقطة x؛

    \[ {\partial F/\partial t} \]

هو المشتق (الأول) لـ F بالنسبة إلى t وهو المشتق الثاني لـ

    \[ {\ \partial ^{2}F/\partial x_{i}^{2}} \]

يمكن اشتقاق هذه المعادلة من قوانين الفيزياء التي تحكم انتشار الحرارة في الوسائط الصلبة. لهذا السبب تسمى معادلة الحرارة في الرياضيات، على الرغم من أنها تنطبق على العديد من الكميات الفيزيائية الأخرى إلى جانب درجات الحرارة.

على سبيل المثال آخر، يمكننا وصف جميع الأصوات المحتملة التي يتردد صداها داخل حاوية غاز بواسطة دالة F(x,t)التي تعطي الضغط عند نقطة x والوقت t داخل تلك الحاوية. إذا كان الغاز في البداية عند درجة حرارة وتكوين منتظمين، فإن تطور F مقيد بالصيغة

    \[ { {\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta P(x,t)} \]

هنا P(x, t) هي قوة ضغط إضافية يتم تطبيقها على الغاز بالقرب من x بواسطة بعض العمليات الخارجية، مثل مكبر الصوت أو المكبس بجوار p مباشرةً.

تصف هذه المعادلة التفاضلية نفسها سلوك الاهتزازات الميكانيكية والمجالات الكهرومغناطيسية في مادة صلبة متجانسة غير موصلة للخواص. لاحظ أن هذه المعادلة تختلف عن معادلة التدفق الحراري فقط في أن الجانب الأيسر هو

    \[ { \partial ^{2}F/\partial t^{2}} \]

وهو المشتق الثاني لـ F فيما يتعلق بالوقت، وليس المشتق الأول لالزمان

    \[ { \partial ^{2}F/\partial t^{2}} \]

ومع ذلك، فإن هذا التغيير الصغير يحدث فرقًا كبيرًا في مجموعة الحلول F. هذه المعادلة التفاضلية تسمى معادلة الموجة في الرياضيات، على الرغم من أنها تصف نوعًا واحدًا خاصًا جدًا من الموجات.

موجة في وسط مرن

فكر في موجة عرضية متنقلة (والتي قد تكون نبضة) على خيط (الوسط). ضع في اعتبارك أن السلسلة لها بُعد مكاني واحد. اعتبر هذه الموجة مسافرة:

الموجة
الطول الموجي  λ ، يمكن قياسه بين أي نقطتين متطابقتين على شكل موجة

Gif: رسم متحرك لموجتين، تتحرك الموجة الخضراء إلى اليمين بينما تتحرك الموجة الزرقاء إلى اليسار، وسعة الموجة الحمراء الصافية عند كل نقطة هي مجموع اتساع الموجات الفردية. لاحظ أن f(x,t) + g(x,t) = u(x,t)

  • في اتجاه x في الفضاء. على سبيل المثال، اجعل الاتجاه الموجب x جهة اليمين، والاتجاه السالب x جهة اليسار.
  • ذات سعة ثابتة u
  • بسرعة ثابتة v، حيث يكون v:
  • مستقل عن الطول الموجي (بدون تشتت)
  • مستقلة عن السعة (وسائط خطية، وليست غير خطية).
  • مع شكل موجة أو شكل ثابت

يمكن بعد ذلك وصف هذه الموجة بدوال ثنائية الأبعاد:

    \[ { u(x,t)=F(x-vt)} \]

    \[ { u(x,t)=G(x+vt)} \]

أو بشكل أعم بصيغة دالمبرت (d’Alembert’s formula):

    \[ { u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt).} \]

يمثلان شكلين موجيين مكونين F و G ينتقلان عبر الوسيط في اتجاهين متعاكسين. يمكن الحصول على تمثيل معمم لهذه الموجة كمعادلة تفاضلية جزئية

    \[{ {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}  \]

تستند الحلول العامة على مبدأ دوهاميل ( Duhamel’s principle).

شكل موجي

أشكال موجة جيبية ومربعة ومثلث وسن المنشار

يتضمن شكل أو شكل F في صيغة دالمبرت الوسيطة x – vt . تتوافق القيم الثابتة لهذه الوسيطة مع القيم الثابتة لـ F، وتحدث هذه القيم الثابتة إذا زادت x بنفس معدل زيادة vt. أي أن الموجة التي على شكل الدالة F ستتحرك في اتجاه x الموجب بسرعة v (وستنتشر G بنفس السرعة في الاتجاه x السالب).

في حالة دالة دورية F مع فترة λ أي F(x + λ – vt) = F(x – vt)، فإن دورية F في الفضاء تعني أن لقطة الموجة في وقت معين يجدها t تتغير الموجة بشكل دوري في الفضاء مع الدورة λ (الطول الموجي للموجة). بطريقة مماثلة، تشير دورية F هذه إلى دورية في الوقت أيضًا: F (x – v (t + T)) = F (x – vt) المقدمة vT = λ ، لذا فإن ملاحظة الموجة في موقع ثابت يجد x الموجة المتموجة بشكل دوري في الوقت الذي تكون فيه الدورة T = λ/v.

السعة والتعديل

Gif: يمكن تحقيق تعديل السعة من خلال gf(x,t) = 1.00×sin(2π/0.10×(x−1.00×t))  و g(x,t) = 1.00×sin(2π/0.11×(x−1.00×t)) فقط الناتج يكون مرئيًا لتحسين وضوح شكل الموجة.

موجة معدلة الاتساع
رسم توضيحي للغلاف (المنحنى الأحمر المتغير ببطء) لموجة معدلة الاتساع. المنحنى الأزرق سريع التغير هو الموجة الحاملة، والتي يتم تعديلها

قد يكون اتساع الموجة ثابتًا (في هذه الحالة تكون الموجة عبارة عن موجة مستمرة أو c.w)، أو يمكن تعديلها بحيث تتغير مع الوقت و/أو الموقع. يسمى مخطط التباين في السعة بغلاف الموجة. رياضياً، يمكن كتابة الموجة المعدلة بالشكل:

    \[ { u(x,t)=A(x,t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),} \]

حيث A(x،t) هو غلاف السعة للموجة، k هو الرقم الموجي و φ هو الطور. إذا كانت سرعة المجموعة vg (انظر أدناه) مستقلة عن الطول الموجي، فيمكن تبسيط هذه المعادلة على النحو التالي:

    \[ { u(x,t)=A(x-v_{g}t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),} \]

يوضح أن المغلف يتحرك بسرعة المجموعة ويحتفظ بشكله. بخلاف ذلك، في الحالات التي تختلف فيها سرعة المجموعة باختلاف الطول الموجي، يتغير شكل النبضة بطريقة يتم وصفها غالبًا باستخدام معادلة الغلاف.

سرعة الطور سرعة الزمرة

Gif: يتحرك المربع الأحمر بسرعة الطور، بينما تنتشر الدوائر الخضراء بسرعة المجموعة

هناك سرعتان مرتبطتان بالموجات، سرعة الطور وسرعة المجموعة (Phase velocity and group velocity).

سرعة الطور هي المعدل الذي تنتشر به طور الموجة في الفضاء: أي مرحلة معينة من الموجة (على سبيل المثال، القمة) ستظهر أنها تتحرك بسرعة الطور. يتم إعطاء سرعة المرحلة من حيث الطول الموجي λ  (لامدا) والفترة T مثل

    \[ v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}. \]

Gif: موجة تسير سرعات المجموعة والطور في اتجاهات مختلفة.

سرعة المجموعة هي خاصية للموجات التي لها غلاف محدد، تقيس الانتشار عبر الفضاء (أي سرعة الطور) للشكل العام لاتساع، تعديل أو غلاف الموجة.

موجات الجيب

Gif: الموجات الجيبية تتوافق مع الحركة التوافقية البسيطة.

من الناحية الرياضية، فإن الموجة الأساسية هي (مكانيًا) الموجة الجيبية أحادية البعد (وتسمى أيضًا الموجة التوافقية أو الجيبية) بسعة u موصوفة بالمعادلة:

    \[ { u(x,t)=A\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),} \]

أين:

  • A هي أقصى سعة للموجة، وهي المسافة القصوى من أعلى نقطة للاضطراب في الوسط (القمة) إلى نقطة التوازن خلال دورة موجة واحدة. في الرسم التوضيحي إلى اليمين، هذه هي أقصى مسافة رأسية بين خط الأساس والموجة.
  • c هو إحداثي الفضاء، space coordinate
  • t هو إحداثي الوقت، time coordinate
  • k هو الرقم الموجي، wavenumber
  • ω هو التردد الزاوي، angular frequency
  • φ هو ثابت المرحلة، phase constant

تعتمد وحدات السعة على نوع الموجة. الموجات الميكانيكية المستعرضة (على سبيل المثال، موجة على سلسلة) لها سعة يتم التعبير عنها كمسافة (على سبيل المثال، متر)، تستخدم الموجات الميكانيكية الطولية (على سبيل المثال، الموجات الصوتية) وحدات ضغط (على سبيل المثال، باسكال)، وكهرومغناطيسية تعبر الموجات (شكل من أشكال موجة الفراغ المستعرضة) عن السعة من حيث مجالها الكهربائي (على سبيل المثال، فولت/متر).

الطول الموجي λ هو المسافة بين قمتين متتابعتين أو قاع (أو نقاط مكافئة أخرى)، ويقاس عمومًا بالأمتار. يمكن أن يقترن الرقم الموجي k، وهو التردد المكاني للموجة بوحدات الراديان لكل وحدة مسافة (عادةً لكل متر)، بطول الموجة من خلال العلاقة:

    \[ { k={\frac {2\pi }{\lambda }}.} \]

الفترة {T} هي الوقت المناسب لدورة كاملة واحدة من اهتزاز الموجة. التردد {f} هو عدد الفترات لكل وحدة زمنية (في الثانية) ويتم قياسه عادةً بالهرتز المشار إليه بالرمز Hz. هذه مرتبطة بـ:

    \[ f = \frac{1}{T}. \]

وبعبارة أخرى، فإن تردد الموجة ودورتها هما أمران متبادلان.

يمثل التردد الزاوي ω التردد بالتقدير الدائري في الثانية. إنه مرتبط بالتردد أو الفترة حسب

    \[ { \omega =2\pi f={\frac {2\pi }{T}}.} \]

يُعطى الطول الموجي  λ لشكل موجة جيبية يتحرك بسرعة ثابتة v بالصيغة التالية:

    \[ \lambda ={\frac {v}{f}}, \]

حيث يُطلق على v سرعة الطور (مقدار سرعة الطور) للموجة و f هو تردد الموجة.

يمكن أن يكون الطول الموجي مفهومًا مفيدًا حتى لو لم تكن الموجة دورية في الفضاء. على سبيل المثال، في موجة المحيط التي تقترب من الشاطئ، تتموج الموجة الواردة بطول موجة محلي متغير يعتمد جزئيًا على عمق قاع البحر مقارنة بارتفاع الموجة. يمكن أن يعتمد تحليل الموجة على مقارنة الطول الموجي المحلي بعمق الماء المحلي.

على الرغم من أن أشكال الموجات التعسفية ستنتشر دون تغيير في الأنظمة الزمنية الخطية غير المتغيرة، إلا أن الموجة الجيبية هي الشكل الفريد الذي سينتشر دون تغيير ولكن بالنسبة للطور والسعة، مما يجعل من السهل تحليلها. نظرًا لعلاقات كرامرز وكروني، فإن الوسيط الخطي مع التشتت يُظهر خسارة أيضًا، لذلك يتم إضعاف انتشار الموجة الجيبية في وسط مشتت في نطاقات تردد معينة تعتمد على الوسيط. دالة الجيب دورية، لذا فإن الموجة الجيبية أو الجيب الجيبي لها طول موجي في الفضاء وفترة زمنية.

يتم تعريف الجيب الجيبي لجميع الأوقات والمسافات، بينما في المواقف المادية نتعامل عادةً مع الموجات الموجودة لفترة محدودة في الفضاء والمدة الزمنية. يمكن أن يتحلل شكل موجة اعتباطي إلى مجموعة لانهائية من الموجات الجيبية باستخدام تحليل فورييه. نتيجة لذلك، يمكن تطبيق الحالة البسيطة لموجة جيبية واحدة على الحالات الأكثر عمومية. على وجه الخصوص، تكون العديد من الوسائط خطية، أو ما يقرب من ذلك، لذلك يمكن العثور على حساب سلوك الموجة التعسفي عن طريق إضافة استجابات للموجات الجيبية الفردية باستخدام مبدأ التراكب لإيجاد حل لشكل موجة عام. عندما يكون الوسط غير خطي، لا يمكن تحديد الاستجابة للموجات المعقدة من تحلل الموجة الجيبية.

موجة ميكانيكية

موجات على الاوتار

تتناسب سرعة الموجة المستعرضة التي تنتقل على طول سلسلة اهتزازية (v) طرديًا مع الجذر التربيعي لشد الخيط (T) على كثافة الكتلة الخطية : (μ)

    \[ { v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}},} \]

حيث الكثافة الخطية μ هي الكتلة لكل وحدة طول من السلسلة.

الموجات الصوتية

تنتقل الموجات الصوتية أو Acoustic waves بالسرعة المعطاة

    \[ { v={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}},} \]

أو الجذر التربيعي لمعامل الكتلة الحافظة للحرارة مقسومًا على كثافة السائل المحيط.

موجات الماء

موجات الماء
  • التموجات على سطح البركة هي في الواقع مزيج من الموجات المستعرضة والطولية؛ لذلك، تتبع النقاط الموجودة على السطح المسارات المدارية.
  • الصوت – موجة ميكانيكية تنتشر عبر الغازات والسوائل والمواد الصلبة والبلازما؛
  • موجات القصور الذاتي، والتي تحدث في دوران السوائل ويتم استعادتها بتأثير كوريوليس؛
  • وموجات سطح المحيط، وهي اضطرابات تنتشر عبر الماء.

موجات زلزالية

الموجات الزلزالية هي موجات من الطاقة تنتقل عبر طبقات الأرض، وهي نتيجة للزلازل والانفجارات البركانية وحركة الصهارة والانهيارات الأرضية الكبيرة والانفجارات الكبيرة من صنع الإنسان التي تنتج طاقة صوتية منخفضة التردد.

تأثير دوبلر

تأثير دوبلر (Doppler shift، Doppler effectأو انزياح دوبلر) هو التغير في تردد الموجة بالنسبة لمراقب يتحرك بالنسبة لمصدر الموجة. سميت على اسم الفيزيائي النمساوي كريستيان دوبلر، الذي وصف هذه الظاهرة في عام 1842.

موجات الصدمة

موجات الصدمة
الصورة: تشكيل موجة صدمة بواسطة طائرة.

موجة الصدمة هي نوع من اضطراب الانتشار. عندما تتحرك الموجة أسرع من السرعة المحلية للصوت في السائل، فإنها تكون موجة صدمة. مثل الموجة العادية، تحمل موجة الصدمة الطاقة ويمكن أن تنتشر عبر وسيط؛ ومع ذلك، فإنه يتميز بتغير مفاجئ شبه متقطع في ضغط ودرجة حرارة وكثافة الوسط.

  • موجات حركة المرور، أي انتشار كثافات مختلفة للمركبات، وما إلى ذلك، والتي يمكن تشكيلها على شكل موجات حركية
  • تشير موجة Metachronal إلى ظهور موجة متنقلة ناتجة عن إجراءات متسلسلة منسقة.

موجات كهرومغناطيسية

تتكون الموجة الكهرومغناطيسية من موجتين ذبذبات في المجالين الكهربائي والمغناطيسي. تنتقل الموجة الكهرومغناطيسية في اتجاه يكون بزاوية قائمة لاتجاه التذبذب لكلا المجالين. في القرن التاسع عشر، أظهر جيمس كلارك ماكسويل أن المجالين الكهربائي والمغناطيسي في الفراغ يرضيان معادلة الموجة بسرعة مساوية لسرعة الضوء. من هنا ظهرت فكرة أن الضوء عبارة عن موجة كهرومغناطيسية. يمكن أن يكون للموجات الكهرومغناطيسية ترددات مختلفة (وبالتالي أطوال موجية)، مما يؤدي إلى ظهور أنواع مختلفة من الإشعاع مثل موجات الراديو، والموجات الدقيقة، والأشعة تحت الحمراء، والضوء المرئي، والأشعة فوق البنفسجية، والأشعة السينية، وأشعة جاما.

موجات ميكانيكا الكم

تصف معادلة شرودنجر السلوك الشبيه بالموجة للجسيمات في ميكانيكا الكم. حلول هذه المعادلة هي دوال موجية يمكن استخدامها لوصف كثافة احتمال الجسيم.

معادلة ديراك

معادلة ديراك هي معادلة موجية نسبية توضح بالتفصيل التفاعلات الكهرومغناطيسية. أعطت موجات ديراك التفاصيل الدقيقة لطيف الهيدروجين بطريقة صارمة تمامًا. تضمنت معادلة الموجة أيضًا وجود شكل جديد من المادة، المادة المضادة، التي لم تكن متوقعة سابقًا وغير ملحوظة والتي تم تأكيدها تجريبياً. في سياق نظرية المجال الكمومي، أعيد تفسير معادلة ديراك لوصف الحقول الكمية المقابلة لجسيمات السبين ½.

Gif: حزمة موجة منتشرة؛ بشكل عام، يتحرك غلاف الحزمة الموجية بسرعة مختلفة عن الموجات المكونة.

افترض لويس دي بروجلي أن جميع الجسيمات ذات الزخم لها طول موجي

    \[ \lambda ={\frac {h}{p}}, \]

حيث h هو ثابت بلانك، و p هو مقدار زخم الجسيم. كانت هذه الفرضية أساس ميكانيكا الكم. في الوقت الحاضر، يُطلق على هذا الطول الموجي اسم موجة مادية لـ de Broglie wavelength. على سبيل المثال، للإلكترونات في شاشة CRT طول موجة دي برولي يبلغ حوالي   m10−13.

يتم التعبير عن الموجة التي تمثل مثل هذا الجسيم الذي يسافر في الاتجاه k بواسطة الدالة الموجية على النحو التالي:

    \[ { \psi (\mathbf {r} ,\,t=0)=Ae^{i\mathbf {k\cdot r} },} \]

حيث يتم تحديد الطول الموجي بواسطة متجه الموجة k على النحو التالي:

    \[ { \lambda ={\frac {2\pi }{k}},} \]

والزخم من خلال:

    \[ { \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .} \]

ومع ذلك، فإن مثل هذه الموجة ذات الطول الموجي المحدد ليست موضعية في الفضاء، وبالتالي لا يمكن أن تمثل جسيمًا موضعيًا في الفضاء. لتحديد موقع جسيم، اقترح دي برولي تراكبًا لأطوال موجية مختلفة تتراوح حول قيمة مركزية في حزمة موجية، وهو شكل موجة يستخدم غالبًا في ميكانيكا الكم لوصف دالة الموجة للجسيم. في حزمة الموجة، يكون الطول الموجي للجسيم غير دقيق، وينحرف الطول الموجي المحلي على جانبي قيمة الطول الموجي الرئيسية.

عند تمثيل الدالة الموجية لجسيم موضعي، غالبًا ما تُؤخذ الحزمة الموجية على شكل غاوسي وتسمى حزمة الموجة الغاوسية. تُستخدم حزم الموجات الغاوسية أيضًا لتحليل موجات الماء.

على سبيل المثال، قد تأخذ الدالة الموجية الغوسية ψ الشكل:

    \[ { \psi (x,\,t=0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}+ik_{0}x\right),} \]

في بعض الأوقات الأولية t = 0، حيث يرتبط الطول الموجي المركزي بمتجه الموجة المركزي k0 مثل λ0 = 2π/k0. من المعروف جيدًا من خلال نظرية تحليل فورييه، أو من مبدأ عدم اليقين في هايزنبرج (في حالة ميكانيكا الكم) أن نطاقًا ضيقًا من الأطوال الموجية ضروري لإنتاج حزمة موجية محلية، وكلما كان المغلف أكثر توطينًا، زاد حجم الموجة. تنتشر في الأطوال الموجية المطلوبة. تحويل فورييه للغاوس هو نفسه غاوسي. بالنظر إلى Gaussian:

    \[ { f(x)=e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)},} \]

تحويل فورييه هو:

    \[ { {\tilde {f}}(k)=\sigma e^{-\sigma ^{2}k^{2}/2}.} \]

لذلك يتكون Gaussian في الفضاء من موجات:

    \[ { f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\ {\tilde {f}}(k)e^{ikx}\ dk;} \]

أي عدد من موجات الأطوال الموجية λ بحيث يكون  kλ = 2 π.

تحدد المعلمة σ الانتشار المكاني لـ Gaussian على طول المحور x، بينما يُظهر تحويل Fourier انتشارًا في متجه الموجة k يحدده  1/σ. أي أنه كلما كان المدى أصغر في الفضاء، زاد المدى في k، وبالتالي في λ = 2π/k.

Gif: رسم متحرك يُظهر تأثير موجة الجاذبية المستقطبة المتقاطعة على حلقة من جسيمات الاختبار.

موجات الجاذبية

موجة ثقالية

موجات الجاذبية هي موجات تتولد في وسط سائل أو عند السطح البيني بين وسيطين عندما تحاول قوة الجاذبية أو الطفو استعادة التوازن. ومن الأمثلة على ذلك تموج على بركة.

تنتقل موجات الجاذبية أيضًا عبر الفضاء. تم الإعلان عن أول ملاحظة لموجات الجاذبية في 11 فبراير 2016. موجات الجاذبية هي اضطرابات في انحناء الزمكان تنبأت بها نظرية أينشتاين للنسبية العامة.

للمزيد اقرأ:
الإضطراب| Turbulence
ديناميات الموائع| Fluid dynamics

منشور ذات صلة
الطرد المركزي 15 Minutes

قوة الطرد المركزي

عاطفة عكرش

يستخدم مفهوم قوة الطرد المركزي التفاعلية أحيانًا في الميكانيكا والهندسة. يشار إليها أحيانًا على أنها مجرد قوة طرد مركزي بدلاً من قوة طرد مركزي تفاعلية على الرغم من أن هذا الاستخدام يتم إهماله في الميكانيكا الأولية.

فكره واحده بخصوص “الموجة| Wave

  1. احلام

    ما مدى روعة توفر هذا المحتوى باللغة العربية، عذا الموقع مكتمل للغاية. هل هناك أي مقال عن النسبية العامة؟

    مارس 30, 2022 - 5:15 ص

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

السلة